3.4.1第1课时

3.4函数的应用3.4.1函数与方程第1课时函数的零点【课时目标】1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理 解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系2理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3掌握函数零点的存在性定理.1 .函数y= ax2 + bx+ c(a丰0)的图象与x轴的交点和相应的ax2 + bx+ c= 0(a 0)的根的一般地，我们把使函数y = f(x)的值为0的实数x称为函数y= f(x)的.3. 函数y= f(x)的零点就是方程f(x) = 0的，也就是函数y= f(x)的图象与x轴的交点的.4 .方程f(x)= 0有实数根?函数y= f(x)的图象与x轴有?函数y= f(x)有.函数零点的存在性的判断方法若函数f(x)在区间a, b上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a) f(b)0，则函数y= f(x) 在区间(a, b)上有零点.作业设计一、填空题1. 二次函数 y= ax2 + bx + c中，a c0，不存在实数 c (a, b)使得f(c) = 0; 若f(a)f(b)0，有可能存在实数c (a, b)使得f(c)= 0; 若f(a)f(b)0b的取值范围是6.已知函数y= ax3 + bx2 + cx+ d的图象如图所示，则实数7已知函数f(x)是定义域为 R的奇函数，一2是它的一个零点，且在(0， 函数，则该函数有 个零点，这几个零点的和等于 .&函数f(x)= In x x+ 2的零点个数为 .9.根据表格中的数据，可以判定方程ex x 2= 0的一个实根所在的区间为 N)，贝U k的值为.g )上是增(k, k+ 1)(kx10123x e0.3712.727.3920.09x+ 212345二、解答题10 .证明：方程x4 4x 2 = 0在区间1,2内至少有两个实数解.11.关于x的方程mx2 + 2(m+ 3)x+ 2m+ 14= 0有两实根，且一个大于 4, 求m的取值范围.个小于4,【能力提升】x2 + bx+ c, x0,解的个数是.13.若方程x2+ (k 2)x+ 2k 1 = 0的两根中，一根在 0和1之间，另一根在 间，求k的取值范围.f(x) = x 的1和2之圃反思感悟1. 方程的根与方程所对应函数的零点的关系函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)= 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x) = 0是否有实根，有几个实根.函数F(x) = f(x) g(x)的零点就是方程f(x)= g(x)的实数根，也就是函数y= f(x)的图象与y = g(x)的图象交点的横坐标.12并不是所有的函数都有零点，如函数y= x.3对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不 一定变号如函数 y= x2有零点xo= 0,但显然当它通过零点时函数值没有变号.2.5函数与方程2. 5.1函数的零点知识梳理1. 2个1个 0个 2个1个2零点 3实数根 横坐标4. 交点 零点作业设计1. 2个解析 方程 ax2 + bx+ c= 0 中，T ac0 , 即方程ax2 + bx+ c= 0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为 2个.2. 解析 对于，可能存在根； 对于，必存在但不一定唯一；显然不成立.3. 0, 1解析/0,2a + b= 0,小a-0, b =12.令 bx2 ax= 0,得 x= 0 或 x= a= 1b 24. 4解析由图象可知，当x0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称,故此函数的零点至少有4个.5. 2解析 xw 0 时，令 x2+ 2x 3= 0,解得 x= 3.x0 时，f(x)= In x 2 在(0,+ s )上递增，33f(1) = 20,. f(1)f(e )0，可得 a0,. b0.7. 30解析/ f(x)是R上的奇函数， f(0) = 0,又/ f(x)在(0 ,+s)上是增函数，由奇函数 的对称性可知，f(x)在(一R, 0)上也单调递增，由f(2) = f( 2) = 0因此在(0,+)上 只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为2 + 0+ 2= 0.8. 2解析该函数零点的个数就是函数y= In x与y= x 2图象的交点个数在同一坐标系中作出y= ln x与y = x 2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x) = ln x x+ 2有2个零点.9. 1解析 设 f(x)= e2 (x+ 2)，由题意知 f( 1)0，f(0)0，f(1)0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k= 1.10. 证明 设f(x)= x4 4x 2,其图象是连续曲线. 因为 f( 1) = 30 , f(0) = 20.所以在(1,0), (0,2)内都有实数解.从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.211. 解 令 f(x)= mx + 2(m + 3)x+ 2m + 14.m0m0依题意得或，f(4 0m0m019即或，解得79m0.26m + 3801312. 3解析由已知16 4b+ c= c,4 2b+ c= 2,b = 4, 得.c= 2.o o O - 2-30 12k f f f 0.当x0时，方程为x= 2,方程f(x)= x有3个解.13. 解 设 f(x) = x2+ (k 2)x+ 2k 1.方程f(x)= 0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内,2k 10,即 1 + k 2+ 2k 10