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（分类）滚动小专题（十一）与圆有关的计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明（2018安徽）20.如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.（1）用尺规作图作出BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.解：（1）画图略（2） AE平分BAC弧BE=弧EC，连接OE则OEBC于点F，EF=3连接OC、EC在RtOFC中，由勾股定理可得FC=在RtEFC中，由勾股定理可得CE=（2018湖州）21（8分）（2018湖州）如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连结BC（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，CBD=36，求的长（2018无锡）24、（本题满分8分）如图，四边形ABCD内接于圆心O，AB=17，CD=10，A=90，cos B=，求AD的长。【解答】DAABDAB=90在圆O中DCB=90延长AD、BC交于点E，易证B=EDC在EAB中，EA=DA=EA-ED=625（10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径COAO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM（1）若半圆的半径为10当AOM=60时，求DM的长；当AM=12时，求DM的长（2）探究：在点M运动的过程中，DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）当AOM=60时，OM=OA，AMO是等边三角形，A=MOA=60，MOD=30，D=30，DM=OM=10过点M作MFOA于点F，设AF=x，OF=10x，AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122x2=102（10x）2x=，AF=，MFOD，AMFADO，AD=MD=ADAM=（2）当点M位于之间时，连接BC，C是的重点，B=45，四边形AMCB是圆内接四边形，此时CMD=B=45，当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：CMD=B=45综上所述，CMD=45（2018温州）22.（本题10分）如图，D是ABC的BC边上一点，连接AD，作ABD的外接圆，将ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上.（1）求证：AE=AB.（2）若CAB=90，cosADB=，BE=2，求BC的长.（2018台州）24.如图，是的内接三角形，点在上，点在弦上（不与重合），且四边形为菱形.（1）求证：；（2）求证：；（3）已知的半径为3.若，求的长；当为何值时，的值最大？（2018南通）28.如图，的直径，是上（不与点重合）的任一点，点为上的两点.若，则称为直径的“回旋角”.（1）若，则是直径的 “回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为，求“回旋角”的度数；（3）若直径的“回旋角”为，且的周长为，直接写出的长.解：28（1）是； （2）45； （3）3或23（2018湘潭）（2018南京）26.如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、，与相交于点.（1）求证；（2）若正方形的边长为，求的半径（2018黄冈）18. 如图，是的直径，为的弦，与的延长线交于点，过点的切线交于点.（1）求证：.（2）若，求线段的长.（2018宜昌）21. 如图，在中，. 以为直径的半圆交于点，交于点.延长至点，使,连接.(1)求证:四边形是菱形；(2) 若，求半圆和菱形的面积.21.(1)证明：为半圆的直径，,又,四边形是平行四边形.又,（或，）平行四边形是菱形.(2)解：,设，则，解法一：连接，（如图）图1为半圆的直径，,或（舍去）解法二：连接.（如图）图2四边形是圆内接四边形或（舍去）解法三：如图1，连接，为半径的直径，可证或（舍去）,（2018福建）（2018张家界）20、（本小题满分6分）如图，点是的直径延长线上一点,且=4,点为上一个动点(不与重合),射线与交于点(不与重合)(1) 当在什么位置时,的面积最大,并求岀这个最大值；(2)求证:.20.解：（1）当点M在 AB弧的中点处时， 最大 1分 （其它表述合理均给分） 因为此时： 2分 3分 （2） 4分 5分 6分（2018贵阳）23.（本题满分 10 分）如图，AB 为 O 的直径，,，且 ， AB = 4 ，点 C 在半圆上，OC AB ， 垂足为点 O ， P 为半圆上任意一点，过 P 点作 PE OC 于点 E，设 DOPE 的内心为 M ,连接 OM、PM .（1）求 OMP 的度数；（2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长.103【解】（1） PE OC PEO = 90 EPO + EOP = 90 M 是 DOPE 的内心 EOM = POM，EPM = OPM POM + OPM = 1 (EPO + EOP) = 452在 DPOM 中， OMP = 180 - (POM + OPM ) = 180 - 45 = 135（2）连接 CM ，作过 O、M、C 三点的外接圆，即 N ，连接 NC、NO ，在 N的优弧上任取一点 H ，连接 HC、HO .如图所示：由题意知： OP = OC，POM = COM，OM = OM DPOM DCOM OMP = OMC = 135在 N 的内接四边形 CMOH 中， H = 180 - OMC = 180 - 135 = 45 N = 2 45 = 90由题意知： OC = 1 AB = 1 4 = 222在等腰直角三角形 CNO 中， NC = NO由勾股定理得： NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 NC = 2当点 P 在上运动时，点 M 在上运动90 p的长为：180与关于 OC 对称2 = 2 p2当点 P 在上运动时，点 M 所在弧上的运动路径长与当点 P 在上运动时，点 M 在上运动的路径长相等当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长为：2 2 p = 2p2（2018遵义）25. (12 分)如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是 AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点D，交 AC 于点 E，连接 DA，DC.已知半圆 0 的半径为 3，BC=2.(1) 求 AD 的长.(2) 点 P 是线段 AC 上一动点，连接 DP，作DPF=DAC，PF 交线段 CD 于点 F.当DPF 为等腰三角形时，求 AP 的长.（2018哈尔滨）类型2 与切线有关的计算与证明（2018十堰）23.如图，中，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，求的值.（2018德州）22.如图,是的直径,直线与相切于点,且与的延长线交于点.点是的中点.(1)求证:(2)若.的半径为3，一只蚂蚁从点出发，沿着爬回至点,求蚂蚁爬过的路程结果保留一位小数.（2018绵阳）如图，AB是的直径，点D在上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作的切线DE交BC于点E。（1） 求证：BE=CE；（2） 若DE平行AB，求的值。（2018滨州）22.如图，为的直径,点在上,于点,且平分.求证;(1)直线是的切线;(2).（2018内江）26.如图，以的直角边为直径作交斜边于点，过圆心作，交于点，连接.（1）判断与的位置关系并说明理由；（2）求证：；（3）若，求的长.（2018内江）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O交斜边AC于点D，过圆心O作OEAC，交BC于点E，连接DE（1）判断DE与O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2=CDOE；（3）若tanC=，DE=，求AD的长【解答】解：（1）DE是O的切线，理由：如图，连接OD，BD，AB是O的直径，ADB=BDC=90，OEAC，OA=OB，BE=CE，DE=BE=CE，DBE=BDE，OB=OD，OBD=ODB，ODE=OBE=90，点D在O上，DE是O的切线；（2）BCD=ABC=90，C=C，BCDACB，BC2=CDAC，由（1）知DE=BE=CE=BC，4DE2=CDAC，由（1）知，OE是ABC是中位线，AC=2OE，4DE2=CD2OE，2DE2=CDOE；（3）DE=，BC=5，在RtBCD中，tanC=，设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，x=1（舍）或x=1，BD=4，CD=3，由（2）知，BC2=CDAC，AC=，AD=ACCD=3=（2018甘肃）（2018南充）22.如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为3，.（1）求证：是的切线.（2）求的值.22.解：（1）证明：连接.的半径为3，.又，.在中，为直角三角形，.，故为的切线.（2）过作于点，.，.，.又，在中，.（2018金华/丽水）如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连结AD.已知CAD=B.（1）求证：AD是O的切线.（2）若BC=8，tanB=,求O的半径.（2018宁波）（2018衢州）如图，已知AB为O直径，AC是O的切线，连接BC交O于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EFAB于H。（1）求证：HBEABC；（2）若CF4，BF5，求AC和EH的长。（2018枣庄）23如图，在中，以为直径作交于点.（1）求线段的长度；（2）点是线段上的一点，试问：当点在什么位置时，直线与相切？请说明理由.解：（1）在RtACB中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接CD，BC为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB；，；（2）当点E是AC的中点时，ED与O相切；证明：连接OD，DE是RtADC的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED与O相切（2018成都）20.如图，在中，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，连接交于点.（1）求证：是的切线；（2）设，试用含的代数式表示线段的长；（3）若，求的长.23（10分）（2018自贡）如图，在ABC中，ACB=90（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的O与边AB交于异于点B的另外一点D，若O的直径为5，BC=4；求DE的长（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）解：（1）O如图所示；（2）作OHBC于HAC是O的切线，OEAC，C=CEO=OHC=90，四边形ECHO是矩形，OE=CH=，BH=BCCH=，在RtOBH中，OH=2，EC=OH=2，BE=2，EBC=EBD，BED=C=90，BCEBED，=，=，DE=（2018泸州）24.如图10，已知AB，CD是O的直径，过点C作O的切线交AB的延长线于点P，O的弦DE交AB于点F，且DF=EF.（1）求证：；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GHAB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长. 【解答】（1）证明：PC是O的切线，OCPC，PCO=90，AB是直径，EF=FD，ABED，OFD=OCP=90，FOD=COP，OFDOCP，=，OD=OC，OC2=OFOP（2）解：如图作CMOP于M，连接EC、EO设OC=OB=r在RtPOC中，PC2+OC2=PO2，（4）2+r2=（r+4）2，r=2，CM=，DC是直径，CEF=EFM=CMF=90，四边形EFMC是矩形，EF=CM=，在RtOEF中，OF=，EC=2OF=，ECOB，=，GHCM，=，GH=（2018宜宾）23（10分）（2018宜宾）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CEAD于点E（1）求证：直线EC为圆O的切线；（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知PCF=CBF，PC=5，PF=4，求sinPEF的值【解答】解：（1）证明：CEAD于点EDEC=90，BC=CD，C是BD的中点，又O是AB的中点，OC是BDA的中位线，OCADOCE=CED=90OCCE，又点C在圆上，CE是圆O的切线（2）连接ACAB是直径，点F在圆上AFB=PFE=90=CEAEPF=EPAPEFPEAPE2=PFPAFBC=PCF=CAF又CPF=CPAPCFPACPC2=PFPAPE=PC在直角PEF中，sinPEF=（2018衡阳）23.如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、.（1）求证：是的切线；（2）若，求的长度.（结果保留）解：（1）如图，连接OD，OA=OD，OAD=ODA，AD平分EAF，DAE=DAO，DAE=ADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O的切线；（2）如图，作OGAE于点G，连接BD，则AG=CG=AC=2，OGE=E=ODE=90，四边形ODEG是矩形，OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，DOG=90，DAE=BAD，AED=ADB=90，ADEABD，=，即=，AD2=48，在RtABD中，BD=4，在RtABD中，AB=2BD，BAD=30，BOD=60，则的长度为=（2018聊城）24.如图，在中，平分交于点，作交于点，是的外接圆.（1）求证：是的切线；（2）已知的半径为2.5，求，的长.（2018泰州）22.如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点.(1)试判断与的位置关系，并说明理由.(2)过点作于点，若，求图中阴影部分的面积.解：（1）DE与O相切，理由：连接DO，DO=BO，ODB=OBD，ABC的平分线交O于点D，EBD=DBO，EBD=BDO，DOBE，DEBC，DEB=EDO=90，DE与O相切；（2）ABC的平分线交O于点D，DEBE，DFAB，DE=DF=3，BE=3，BD=6，sinDBF=，DBA=30，DOF=60，sin60=，DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：3=2（2018白银、武威、张掖）20.如图，在中，.（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.20.解：（1）如图,作出角平分线CO; 作出O.（2）AC与O相切 （2018白银、武威、张掖）27.如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，且.（1）求证：；（2）当，时，求的长.27（1）证明：连接OE,BE DE=EF， =, OBE=DBE. OE=OB,OEB=OBE,OEB =DBE,OEBC.O与边AC相切于点E， OEAC BCAC,C=90. （2）解：在ABC中，C=90，BC=3，AB=5设O的半径为r，则AO=5-r，在Rt AOE中，, （2018常德）24.如图12，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点,使,交于.（1）求证：是的切线；（2）求证：.【解答】证明：（1）连接OD，O是等边三角形ABC的外接圆，OAC=30，BCA=60，AEBC，EAC=BCA=60，OAE=OAC+EAC=30+60=90，AE是O的切线；（2）ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=ABC=60，A、B、C、D四点共圆，ADF=ABC=60，AD=DF，ADF是等边三角形，AD=AF，DAF=60，BAC+CAD=DAF+CAD，即BAF=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF（2018娄底）25.如图， 是以为直径的上的点， ，弦交于点.(1)当是的切线时，求证: ；(2)求证: ；(3)已知，是半径的中点，求线段的长.解：（1）AB是O的直径，ADB=90，即BAD+ABD=90，PB是O的切线，ABP=90，即PBD+ABD=90，BAD=PBD；（2）A=C、AED=CEB，ADECBE，=，即DECE=AEBE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DECE=AEBE=（OAOE）（OB+OE）=r2OE2，=，AOC=BOC=90，CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2CE2=2r2（OE2+r2）=r2OE2，BC2CE2=DECE；（3）OA=4，OB=OC=OA=4，BC=4，又E是半径OA的中点，AE=OE=2，则CE=2，BC2CE2=DECE，（4）2（2）2=DE2，解得：DE=（2018永州）24.如图，线段为的直径，点、在上，垂足为点，连接，弦与线段相交于点.（1）求证：；（2）若，在的延长线上取一点，使，的半径为，求证：直线是的切线.25、(本题满分10分)如图，已知AB为O的直径，AB=8，点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且BOC90，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且GAFGCE（1）求证：直线CG为O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CBCH，CBHOBC；求OHHC的最大值.（1） 证明：C、D关于AB对称 GAF=CAFGAF=GCE,GCE=CAFOA=OC,CAF=ACO,GCE=ACOAB为直径ACO+OCB=90GCE+OCB=90即OCG=90，CG为圆O的切线.（2） OC=OB,CH=BCOCB=OBC,CHB=CBHCBH=OBC=OCB=CHBCBHOBC设BC=x，则CH=x，BH=当x=2时，最大值为5.（2018宿迁）26. （本题满分10分）如图，AB、AC分别是 O的直径和弦，ODAC于点D，过点A作 O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F. 求证：PC是 O的切线； 若ABC=600,AB=10,求线段CF的长，（2018盐城）25.如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，求线段的长.（2018扬州）25.如图，在中，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点.（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长.（1）证明：作OHAC于H，如图，AB=AC，AOBC于点O，AO平分BAC，OEAB，OHAC，OH=OE，AC是O的切线；（2）解：点F是AO的中点，AO=2OF=3，而OE=3，OAE=30，AOE=60，AE=OE=3，图中阴影部分的面积=SAOES扇形EOF=33=；（3）解：作F点关于BC的对称点F，连接EF交BC于P，如图，PF=PF，PE+PF=PE+PF=EF，此时EP+FP最小，OF=OF=OE，F=OEF，而AOE=F+OEF=60，F=30，F=EAF，EF=EA=3，即PE+PF最小值为3，在RtOPF中，OP=OF=，在RtABO中，OB=OA=6=2，BP=2=，即当PE+PF取最小值时，BP的长为（2018江西省卷）20.如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且.（1）求证：为的切线；（2）若，求的长.（2018呼和浩特）（2018临沂）（2018临沂）如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D，OB与O相交于点E（1）求证：AC是O的切线；（2）若BD=，BE=1求阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OD，作OFAC于F，如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AOBC，AO平分BAC，AB与O相切于点D，ODAB，而OFAC，OF=OD，AC是O的切线；（2）解：在RtBOD中，设O的半径为r，则OD=OE=r，r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，OD=1，OB=2，B=30，BOD=60，AOD=30，在RtAOD中，AD=OD=，阴影部分的面积=2SAODS扇形DOF=21=（2018潍坊）22如图,为外接圆的直径,且(1)求证:与相切于点；(2)若, ,求的长（2018天津）21. 已知是的直径，弦与相交，.（）如图，若为的中点，求和的大小；（）如图，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.（2018武汉）21（本题8分）如图，PA是O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PAPB(1) 求证：PB是O的切线(2) 若APC3BPC，求的值（2018邵阳）21如图（十二）所示，AB是O的直径，点C为O上一点，过点B作BDCD，垂足为点D，连结BCBC平分ABD求证：CD为O的切线21（8分）证明：BC平分ABD，OBCDBC2分OBOC，OBCOCB4分DBCOCBOCBD6分BDCD，OCCD又点C为O上一点，CD为O的切线8分（2018淄博）22. （本小题满分8分）如图，以为直径的外接于，过点的切线与的延长线交于点，的平分线分别交于点，其中的长是一元二次方程的两个实数根（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由.解：（1）DP平分APB，APE=BPD，AP与O相切，BAP=BAC+EAP=90，AB是O的直径，ACB=BAC+B=90，EAP=B，PAEPBD，PABD=PBAE；（2）过点D作DFPB于点F，作DGAC于点G，DP平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易证：DFAC，BDF=BAC，由于AE，BD（AEBD）的长是x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四边形ADFE是平行四边形，AD=AE，四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，cosBAC=cosAPC=，sinBAC=，DG=，在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DGAE=2=（2018德阳）（2018广东省卷）24.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的O经过点C，连接AC、OD交于点E.（1）证明：OD/BC；（2）若tanABC=2，证明：DA与O相切；（3）在（2），连接BD交O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长.（2018菏泽）22.如图，内接于，过点作，与的平分线交于点，与交于点，与交于点.（1）求的度数；（2）求证：；（3）求证：是的切线.（2018随州）（2018咸宁）（2018孝感）23.如图，中，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）已知，求和的长.（2018巴中）26. 已知如图9所示，中，是的角平分线，以为圆心，为半径画圆，交所在直线于、两点，连接、.（1）求证：直线是的切线.（2）若，求的长（2018郴州）23.已知是的直径，点是延长线上一点，是的弦，.（1）求证：直线是的切线；（2）若，垂足为，的半径为，求的长.（2018深圳）22如图9，是的外接圆，,， 。点为上的动点，连接并延长，交的延长线于点。（1）试求的长；（2）试判断的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值，若不为定值，请说明理由。（3）如图10，连接，过点作于点，连接，求证：。图10图922.解：(1)作，在中，.(2)连接四边形内接于圆，公共.（3）在上取一点，使得在和中.（2018黔东南、黔西南、黔南）22.如图，是的直径，切于点，连接，作交于点，的延长线与的延长线交于点. （1）求证：是的切线；（2）若的半径为，求的长.（2018恩施）23.如图，为直径，点为半径上异于点和点的一个点，过点作与直径垂直的弦，连接，作，交于点，连接、交于点. （1）求证：为切线；（2）若的半径为，求；（3）请猜想与的数量关系，并加以证明.23（10分）（2018恩施州）如图，AB为O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BEAB，OEAD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点（1）求证：DE为O切线；（2）若O的半径为3，sinADP=，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，AB是O的直径，ADB=90，ADBD，OEAD，OEBD，BM=DM，OB=OD，BOM=DOM，OE=OE，BOEDOE（SAS），ODE=OBE=90，DE为O切线；（2）设AP=a，sinADP=，AD=3a，PD=2a，OP=3a，OD2=OP2+PD2，32=（3a）2+（2a）2，9=96a+a2+8a2，a1=，a2=0（舍），当a=时，AD=3a=2，AD=2；（3）PF=FD，理由是：APD=ABE=90，PAD=BAE，APFABE，PF=，OEAD，BOE=PAD，OBE=APD=90，ADPOEB，PD=，AB=2OB，PD=2PF，PF=FD（2018黄石）21、（本小题8分）如图，已知A、B、C、D、E是O上五点，O的直径,BCD=120，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE（1）求线段BD的长（2）求证：直线PE是O的切线.（2018荆门）23.如图，为的直径，为上一点，经过点的切线交的延长线于点，交的延长线于点，交于，于，分别交、于、，连接，.（1）求证：平方；（2）若，求的半径；求的长.23.（1）证明：连接，直线与相切于点，又，.，平方.（2）解：，又，设的半径为，则，解得连接，为的直径，在中，为的直径，.（2018淮安）24（本题满分10分）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，点E是AC的中点（1）试判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为2，B50，AC4.8，求图中阴影部分的面积（1）先根据“SSS”证明AEODEO，从而得到ODEOAE90，即可判断出直线DE与O相切； （2）阴影部分面积为：22（12分）（2018建设兵团）如图，PA与O相切于点A，过点A作ABOP，垂足为C，交O于点B连接PB，AO，并延长AO交O于点D，与PB的延长线交于点E（1）求证：PB是O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值（2018河北）25. 如图15，点在数轴上对应的数为26，以原点为圆心，为半径作优弧，使点在右下方，且.在优弧上任取一点，且能过作直线交数轴于点，设在数轴上对应的数为，连接.（1）若优弧上一段的长为，求的度数及的值；（2）求的最小值，并指出此时直线与所在圆的位置关系；（3）若线段的长为，直接写出这时的值.（2018北京）22. 如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证:OPCD;(2)连接AD，BC，若DAB=50，CBA = 70，OA=2，求OP的长.（2018安顺）25.如图，在中，为的中点，与半圆相切于点. （1）求证：是半圆所在圆的切线；（2）若，求半圆所在圆的半径.（2018遂宁）如图，过O外一点P作O的切线PA切O于点A，连接PO并延长，与O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM。（1）求证：CM2=MNMA（2）若P=300，PC=2，求CM的长（2018仙桃）22（满分8分）如图，在O中，AB为直径，AC为弦过BC延长线上一点G，作GDAO于点D，交AC于点E，交O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM （1）判断CM与O的位置关系，并说明理由； （2）若ECF2A，CM6，CF4，求MF的长（第22题图）ABCDEFMGO（2018玉林）（2018河南）19.（9分）如图，AB是圆0的直径，DO垂直于点O，连接DA交圆O于点C，过点C作圆O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F。（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交圆O于点G，填空：当D的度数为_时，四边形ECFG为菱形；当D的度数为_时，四边形ECOG为正方形。（2018广西北部湾经济区）（2018兰州）（2018齐齐哈尔）（2018大庆）（2018怀化）（2018陕西）23（本题满分8分）如图，在RtABC中，ACB90，以斜边AB上的中线CD为直径作O，分别与AC、BC相交于点M、N(1)过点N作O的切线NE与AB相交于点E，求证：NEAB；(2)连接MD，求证：MDNB23题图 23题解图(1)解：(1)如图，连接ONCD是RtABC斜边AB上的中线ADCDDBDCBDBC又DCBONCONCDBCONABNE是O的切线，ON是O的半径ONE90NEB90，即NEAB；(2)如解图(1)所示，由(1)可知ONAB，O为O的圆心，OCOB，CMD90CNNBCB，MDCB又D是AB的中点，MDCBMDNB（2018长春）（2018沈阳）（2018东营）22(本题满分8分)如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长 22(本题满分8分)（1）证明：连接ODOB=ODOBD=ODB1分CD是O的切线，OD是O的半径ODB+BDC=902分AB是O的直径ADB=90OBD +CAD = 903分CAD=BDC4分（2）解:C=C，CAD=BDCCDB CAD5分6分7分 AC=3 CD=28分（2018烟台）（2018陕西）（2018南京）27.结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积.解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.根据切线长定理，得，.根据勾股定理，得.整理，得.所以.小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知：的内切圆与相切于点，.可以一般化吗？（1）若，求证：的面积等于.倒过来思考呢？（2）若，求证.改变一下条件（3）若，用、表示的面积.（2018桂林）25.（本题满分10分）如图1，已知O是ADB的外接圆，ADB的平分线DC交AB于点M，交O于点C，连接AC，BC.（1）求证：AC=BC；（2）如图2，在图1 的基础上做O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A做O的切线AH，若AH/BC，求ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若ABD的面积为，ABD与ABC的面积比为2：9，求CD的长.25. （本题10分）（1） DC平分ADB ADC=BDC AC=BC（2） 连接AO并延长交BC于I交O于JAH是O的切线且AHBCAIBC垂径定理BI=ICAC=BCIC=ACIAC=30ABC=60=F=ACBFC是直径FAC=90ACF=180-90-60=30（3） 过点D作，连接AO由（1）（2）知ABC为等边三角形ACF=30AE=BEAB=在RtAEO中，设EO=x，则AO=2xx=6，O的半径为6CF=12DG=2过点D作,连接OD,CF/DG四边形GDGE为矩形在Rt中(2018通辽)（2018昆明）（2018云南）（2018曲靖）（2018毕节）26.(本题14分)如图,在ABC中,以BC为直径的O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且ABG=2G.(1)求证:EG是O的切线；(2)若，AC=8，求O的半径。（2018铜仁）（2018广安）（2018资阳）（2018苏州）（2018赤峰）（2018上海）
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