x026函数的极值课件

x026函数的极值PPT课件2-62-6函数的极大（小）值与最大（小）值函数的极大（小）值与最大（小）值x026函数的极值PPT课件.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.1.函数极大（小）值求法函数极大（小）值求法x026函数的极值PPT课件oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x局部最大（小）值点（极值点）局部最大（小）值点（极值点）x026函数的极值PPT课件 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 xx026函数的极值PPT课件( (1 1) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值. .( (2 2) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .( (3 3) )如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符符号号相相同同, ,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值. .判别法判别法1(1(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)设设 是可能的极值点，是可能的极值点，0 xx026函数的极值PPT课件xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数(2) 求临界点即（驻点和不可导点）(3)( ),;fx检查在临界点左右的正负号 判断极值点.)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)x026函数的极值PPT课件例例解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xfMx026函数的极值PPT课件 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值; ;( (2 2) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .判别法判别法2(2(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 00()()fxxfxx 故由保号性与异号，时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).x026函数的极值PPT课件220000()()()()()2fxf xhf xfx hho h2200()()()2fxf xho h22000()()()()2fxf xhf xho h220212 ()( ()2o hfxhh000()()()hf xhf xfx当 很小时与同号证明2x026函数的极值PPT课件例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下x026函数的极值PPT课件3、最大（小）值的求法、最大（小）值的求法oxyoxybaoxyabab只要函数只要函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，它在上连续，它在a,b上必有最大值和最小值。上必有最大值和最小值。x026函数的极值PPT课件步骤步骤1.求临界点（驻点和不可导点）求临界点（驻点和不可导点）;2.求区间端点及临界点的函数值求区间端点及临界点的函数值,比较大小比较大小,那那个大那个就是最大值个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)x026函数的极值PPT课件例例1：求：求 在在-1,4上的最值，上的最值，32)5()(xxxf 解：解： f (x)在在-1,4上连续，上连续，33)2(5)( xxxf x=0处处f (x)不存在，不存在，x=2为为f (x)的驻点，的驻点，, 0)0( f,43)2(3 f, 6)1( f.16)4(3 f经比较知：经比较知：f (x)的最大值为的最大值为f(0)=0，最小值为，最小值为f (-1)= -6。x026函数的极值PPT课件解解,0000)( xxexxxexfxx 000)(xxeexxxeexfxxxx不可导不可导令令f (x)=0, 得得 x =1，, 01| )()1(1 xxxxxeeef x=1为极大值点，极大值为极大值点，极大值f(1) 在在(-1，0)内，内， f (x)0;例例2 求求 的极值，并求其在的极值，并求其在-1,1上的最值。上的最值。xexxf |)( x=0为极小值点，极小值为极小值点，极小值 f (0)=0. 0)0(,)1(,0)0()1(,)1(1 feffefef最最小小值值得得最最大大值值比比较较与与又又x026函数的极值PPT课件实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;小小）值值值值即即为为所所求求的的最最（或或最最点点，则则该该点点的的函函数数若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻x026函数的极值PPT课件例例1 1某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 xx026函数的极值PPT课件 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 x026函数的极值PPT课件例例2 2形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 xx026函数的极值PPT课件, 0)1616643(41020 xxS解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .274096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s经整理得：经整理得：)25632(4102030 xxxS因此，因此，x026函数的极值PPT课件x026函数的极值PPT课件niinxxxxxxxxxf1222221)()()()()(niixxxf1)(2)(0)( xf得驻点niixnx1102)( nxfniixx12)(为最小niixnx11x026函数的极值PPT课件例例4 4 讨论方程讨论方程 lnx=kx(klnx=kx(k不等不等0)0)有几个根有几个根？(P128)解：f(x)=lnx-kx f (x)=1/x k=0 x=1/k K0 (0,1/k) f(x)0 (1/k,) f(x) k=1/e只有一个根x=1/k=e 2）f(1/k)=-lnk-1 k1/e 无根。 3）f(1/k)=-lnk-10 = 0k1/e有两个根, 位于（0，1/k),(1/k,+ )；0lim( )xf x 4) k0 至少有一个根位于（0，1) f (x)=1/x k0 所以有唯一的一个根lnlim( )lim(),xxxf xxkx x026函数的极值PPT课件公公里里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最最小小值值点点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分钟射击最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我警从故得我警从B例例5罪犯乘汽车从河北岸罪犯乘汽车从河北岸A处以处以1千米千米/分钟速度向正北逃窜，分钟速度向正北逃窜，警车从河南岸警车从河南岸B处向正东追击，速度为处向正东追击，速度为2千米千米/分钟问警车分钟问警车车何时射击最好（相距最近射击最好）？车何时射击最好（相距最近射击最好）？解解x026函数的极值PPT课件例例6 某人正处在森林地带中距公路某人正处在森林地带中距公路2公里的公里的A处，在公路右方处，在公路右方8公公里处有一个车站里处有一个车站B，假定此人在森林地带中每步行的速度为，假定此人在森林地带中每步行的速度为6公里公里/小时，沿公路行走的速度为小时，沿公路行走的速度为8公里公里/小时，为了近快赶到车站，他小时，为了近快赶到车站，他选择选择ACB，问，问C应在公路右方多少？他最快能在多少时间内应在公路右方多少？他最快能在多少时间内到达到达B？解：设解：设C点在公路右方点在公路右方x 公里处（公里处（0 x8），则），则,42 xACxCB 8行走时间为行走时间为8864)(2xxxT 32434( )244xxT xxACBox唯一驻点唯一驻点 , 0)( xT760 x22. 11271)(0 xT37. 16/68)8(,33. 13/4)0( TT)(0 xT为最小值，为最小值，C点应在公路右方点应在公路右方 公里处。公里处。776x026函数的极值PPT课件2.: 2ln(1)xarctgxx例 求证2:( )2ln(1)f xxarctgxx证 令22( )20,01fxxx又是极小点).1ln(22xxarctgx 即即证明不等式：( )20,0fxarctgxx得唯一驻点(0)0.( )0,ff x是最小值x026函数的极值PPT课件例证明(P124) ( )(01)(0,)f xxx在区间最大值f(1)=1-并证明不等式1111(0,0,0,0,1)pqabababpqpqpq12( )0,( )(1)0(01)fxxfxxx 唯一驻点x =1 (0,)在区间最大值f(1)=1-1,pqapxb111()(1)1qppqpqafaba bfbppq ()pqafb1qpqpaba bp11pqababpq两端同乘 bq 得x026函数的极值PPT课件思考与练习思考与练习(L. P500 题4)1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .x026函数的极值PPT课件2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .x026函数的极值PPT课件3. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx x026函数的极值PPT课件4.试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大