二项式定理的应用

二项式定理的应用二项式定理是中学代数中的一个重要定理，它的应用课本上谈得不多。本文举例说明，它在近似计算、整除求余、求和、证明等式、不等式以及其他相关问题中的应用。1近似计算例1：计算(0.998)4的近似值(精确到0.001)解 (0.998)4=(10.002)4=140.00260.000220.0024，根据精确度的要求，从第三项起以后各项都可删去。(0.998)4140.002=0.992。2证明组合恒等式例2：求证：。证 。而左边的展开式中含x2n项的系数为=，右边含项的系数为，故。例3：求证。证 3求解整数部分问题例4：证明的整数部分为奇数。证 设的整数部分为I，小数部分为R，则IR=， (1)032n1(n3，nN)证 例9:已知、b0，则(nN)证 =其中例10:设 (1)等号当且仅当时成立。这就是著名的平均值不等式，课本上没有给出其证明，而用数学归纳法证明一般要采用所谓“逆向归纳法”，但这已超出中学教材的范围。现在我们应用二项式定理给出不等式(1)的一个普通归纳法证明。证 当n=1时，(1)显然成立。假设当n=k时，(1)成立，则当n=k1时，不妨设012kk1，记=R，令k1=Rt(t0)，则由归纳假设有R，即Rk12k。 (2)现只须证，即证，亦证， (3)注意到k1=Rt及(2)式有。(3)式成立故(1)式成立。6其他问题例11：设=。(1)求证，其中(2)若，试求n的最小值。解 设f(x)= ，则由题设及二项式定理有 (1)f(1)=3nn=f(1)=1n=(2)易知f(0)=ao=2nn，由f(x)=(1x)nn，知，于是知。21993)，由21993，必有1994，即n5981。故。