第1课矩阵的初等变换课件

,单击此处编辑母版标题样式,第二级,线 性 代 数,线 性 代 数,线性代数课程简介,初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解,线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题,为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念,这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具,线性代数课程简介初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解,线性代数这门课程有两大作用,1、掌握几种重要的数学概念、方法,2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力,线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法2,参考资料,胡建华：线性代数解题指导,考研复习资料,(,华中科技大、清华等）,同济大学,线性代数,及配套辅导书）,参考资料胡建华：线性代数解题指导考研复习资料(华中科,为表示它是一个,整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。,定义,实矩阵,:,元素是实数,复矩阵：,元素是复数,例如：,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,实矩阵:元素是实数复矩阵：元素是复数例如：是一个,(1)11,的矩阵就是一个数。,(2),行数与列数都等于,n,的矩阵,A,，称为,n,阶方阵或,n,阶矩阵。,(3),只有一行的矩阵,称为行矩阵或,n,维行向量。,a,i,称为,A,的第,i,个分量。,称为列矩阵或,m,维列向量。,a,i,称为,A,的第,i,个分量。,(4),只有一列的矩阵,(1)11的矩阵就是一个数。(2)行数,(5),元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为,O,。,(6),矩阵,(,约定未写出元素全为零,),称为单位矩阵。,(7),矩阵,称为对角矩阵。记作,(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵(,定义,设 ，如果,(,此时称,A,与,B,是,同型矩阵,),且,则称,A,与,B,相等,，记作,A,=,B,。,问,：与 相等吗？,定义设,称矩阵的下面三种变换为,初等行变换,(1),交换矩阵的某两行，记为,(2),以不等于的数乘矩阵的某一行，记为,(3),把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，,记为,类似定义三种,初等列变换,以上六种变换统称为矩阵的,初等变换,定义,称矩阵的下面三种变换为初等行变换,矩阵的初等变换举例,1,5,-1,-1,1,-2,1,3,1,-9,3,7,3,8,-1,1,1,-2,1,3,1,-9,3,7,r,2,r,4,1,5,-1,-1,3,8,-1,1,矩阵的初等变换举例 1 5-1-1 1-2 1,-,1,1,3,-,1,1,5,-,1,-,1,1,-,2,1,3,1,-,9,3,7,3,8,-,1,1,c,1,c,3,5,-,2,-,9,8,-,1,3,7,1,1,1,1,3,1,5,-,1,-,1,1,-,2,1,3,1,-,9,3,7,3,8,-,1,1,4r,2,1,-,1,5,-,1,1,3,-,9,7,3,-,1,8,1,4,4,-,8,12,-1 1 3-1 1 5-1-1 1-2 1,第,i,行的,k,倍加到第,j,行记为,r,j,+,k,r,i,。,1,5,-1,-1,1,-2,1,3,1,-9,3,7,3,8,-1,1,r,3,-3r,1,1,5,-1,-1,1,-2,1,3,1,-9,3,7,0,-7,2,4,1,5,-1,-1,1,-2,1,3,1,-9,3,7,3,8,-1,1,0,2,4,2,1,5,-1,1,-2,3,1,-9,7,3,8,1,c,3,+c,1,三种初等变换都是可逆的。,注：矩阵间的初等变换不能用等号,第i行的k倍加到第j行记为rj+kri。,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,初等列变换也有类似的结果,逆变换,逆变换,逆变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同初等列变换也,初等变换的作用？,定义,行阶梯形矩阵,及,行最简,(,阶梯,),形矩阵,(,行最简,形就是所谓的最简单的“代表”,),书,P5,定义,4,行阶梯形矩阵,初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最,行最简阶梯形矩阵,（,1,）台阶左下方元素全为零；,（,2,）每个台阶上只有一行；,（,3,）每个台阶上第一个元素不为零。,行阶梯形矩阵：,行最简阶梯形,(1)(2)(3)+(4),台阶上的第一个元素为,1,且其所在列其它元素全为零。,行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上,只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。,书,P6,定理,1.1.1,定理,例,1,只用初等行变换必,化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。,化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。,(,等价关系,),定义,如果矩阵,A,经过,有限,次,初等变换,变成矩阵,B,，就称矩阵,A,与,B,等价，记作 。,等价满足：,自反性：,(2),对称性：,(3),传递性：,(等价关系)定义 如果矩阵A经过有限次初等变换变成,3,解线性方程组的消元法,讨论有,n,个未知数,m,个方程的线性方程组,是否有解？,若有解，解是否唯一？,如何求出所有的解？,3 解线性方程组的消元法讨论有n个未知数m个方程的线性方,若,B,=(,b,1,b,2,b,m,),T,O,，,则称,(1),为,非齐次线性方程组,若,B,=(,b,1,b,2,，,b,m,),T,O,，,即：,则称,(2),为,(1),对应的,齐次线性方程组,（或,(1),的导出组,）,若B=(b1,b2,bm)TO，则称(1)为非齐次,系数矩阵,增广矩阵,系数矩阵增广矩阵,解线性方程组,例,1,解线性方程组 例1,下列三种变换称为方程组的三种,同解变换：,（,1,）两个方程互换位置；,（,2,）用一个非零数,k,乘某个方程；,（,3,）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。,下列三种变换称为方程组的三种同解变换：（1）两个方程互换位置,解线性方程组,解,互换,(1),与,(2),的,位置得,例,1,解线性方程组解互换(1)与(2)的位置得 例1,(2)-(1)2,(3)-(1)4,(3)-(2),(2)-(1)2,(3)-(1)4(3)-(2),(3)(-1/2),消元过程结束，,以下过程称为“,回代过程,”。,(3)(-1/2)消元过程结束，以下过程称为“回代过程”,(2)(-1/3),(1)-(3)2,，,(2)+(3)2,(2)(-1/3)(1)-(3)2，(2)+(3)2,所以，消元法,增广矩阵的初等行变换,消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，,回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。,(1),(2),原方程组的解为：,所以，消元法增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶,解线性方程组,解：,增广矩阵,例,2,解线性方程组解：增广矩阵 例2,即,则原方程组的解为,有何特点？,即则原方程组的解为有何特点？,解：,同解方程组最后一个方程,0=-2,是矛盾方程，,所以方程组无解。,例,3,特点,解：同解方程组最后一个方程0=-2是矛盾方程，所以方程组无,例,4,求解齐次线性方程组,解,对系数矩阵,A,施行初等行变换化为最简阶梯形,:,例4求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施行初等行变换化为最简,写出等价方程组并移项,:,有何特点？,写出等价方程组并移项:有何特点？,令,写出参数形式的通解,通解,其中,为任意实数。,我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，,书,P12-15,，我们将在后面的章节中学习。,令写出参数形式的通解通解其中为任意实数。我们已经初步掌握了线,线性方程组有解的理论总结,线性方程组有解的理论总结,线性方程组进行初等行变换,同解方程组为：,（,1.3,）,其中,方程组中方程“,0=0”,表示恒等式。,线性方程组进行初等行变换同解方程组为：（1.3）其中方程组中,由方程组（,1.3,）可以看出：,（,1,）当,时，方程组（,1.3,）无解，,从而原方程组（,1.1,）无解；,由方程组（1.3）可以看出：（1）当时，方程组（1.3）无解,（,2,）当,时，方程组（,1.3,）有解，,故方程组（,1.1,）也有解，并且此时,1,）当,r=n,时，方程组（,1.3,）为：,由于,，由“回代过程”知此方程组有唯一解，,故方程组（,1.1,）有唯一解。,（2）当时，方程组（1.3）有解，故方程组（1.1）也有解，,2,）当,r,n,时，方程组（,1.1,）有无穷多解，,(1.4),称,为自由未知量，,一组值，,给定自由未知量,代入（,1.4,）可唯一得出,的一组值，这样得到的,的一组值就是方程组（,1.1,）的一个解。,2）当 r n 时，方程组（1.1）有无穷多解，(1.4,由于自由未知量,的取值是任意的，,所以方程组（,1.1,）有无穷多解。,由于自由未知量的取值是任意的，所以方程组（1.1）有无穷多解,作 业 p16,1,、（,1,）（,3,）,2,、（,2,）,作 业 p161、（1）（3）2、（2）,