专题研究数列的求和例题解析

专题研究：数列的求和例题解析【例1】 求下列数列的前n项和Sn：(3)先对通项求和【例2】 求和：【例3】 求下面数列的前n项和：比数列，另一个数组成以3n2为通项的等差数列，分别求和后再合并解 设数列的通项为an，前n项和为Sn说明 等比数列的求和问题，分q=1与q1两种情况讨论的前n项之和是 数列bn的前n项和Sn=b1b2bn【例5】 求在区间a，b(ba，a，bN)上分母是3的不可约分数之和其中，可约分数是a，a1，a2，b故不可约分数之和为=b2a2解法二两式相加：2S=(ab)(ab)(ab)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数即3(ba)1(ba1)=2(ba) 2S=2(ba)(ab) S=b2a2【例6】 求下列数列的前n项和Sn：(1)a，2a2，3a3，nan，(a0、1)；(2)1，4，9，n2，；(3)1，3x，5x2，(2n1)xn-1，(x1)解 (1)Sn=a2a23a3nan a0 aSn=a22a33a4(n1)annan+1SnaSn=aa2a3annan+1 a1(2)Sn=149n2 (a1)3a3=3a23a1 2313=3123113323=3223214333=332331n3(n1)3=3(n1)23(n1)1(n1)3n3=3n23n1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n1)313=3(1222n2)3(12n)n 122232n2(3) Sn=13x5x27x3(2n1)xn-1 xSn=x3x25x3(2n3)xn-1(2n1)xn两式相减，得(1x)Sn=12x(1xx2xn-2)(2n1)xn两式相减，得说明 求形如anbn的数列的前n项和，若其中an成等差数列，bn成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想nN*，若bn=(1)nSn，求数列bn的前n项和Tn分析 求bn的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求an的前n项和Sn，而由已知只需求an的通项an即可3，由a2=1，解得a3=1即a1=1，a2=3，a3=5， d=2an=12(n1)=2n1Sn=135(2n1)=n2bn=(1)nSn=(1)nn2Tn=12223242(1)nn2当n为偶数时，即n=2k，kN*Tn=(1222)(3242)(2k1)2(2k)2=37(4k1)当n为奇数时，即n=2k1，kN*Tn=12223242(2k1)2=12223242(2k1)2(2k)2(2k)2=(2k1)k(2k)2=k(2k1) an1 an=2n1 以下同解法一说明 本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列an的通项an，在求数列bn的前n项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题由于(1)n的作用，在变形中对n须分两种情况讨论