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第13讲二次函数及其应用1二次函数的概念及解析式(1)概念：形如yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0) 的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数yax2bxc表示成ya(x)2.(2)二次函数解析式的三种形式：一般式yax2bxc(a，b，c是常数，a0)；交点式ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)(x1，0)、(x2，0)是函数与x轴的交点坐标；顶点式ya(xh)2k(a，h，k是常数，a0)，其顶点坐标为 三种解析式之间的关系：顶点式一般式交点式解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件：a已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式b已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式c已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式2二次函数的图象和性质二次函数yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0)的图象是抛物线(1)当a0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线x；当x时，y有最小值，为；在对称轴左边(即x)时，y随x的增大而减小；在对称轴右边(即x)时，y随x的增大而增大；顶点(，)是抛物线上位置最低的点；(2)当a0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x；当x时，y有最大值，为，在对称轴左边(即x)时，y随x的增大而减小；顶点(，)是抛物线上位置最高的点4二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移： 二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移 平移规律：将抛物线ya(xh)2k向左移m个单位得ya(xhm)2k；向右平移m个单位得ya(xhm)2k；向上平移m个单位得ya(xh)2km；向下平移m个单位得ya(xh)2km简记为“h：左加右减，k：上加下减” (2)二次函数图象的对称： 两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反； 两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变； (3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反5二次函数与一元二次方程之间的关系 方程ax2bxc0的解是二次函数yax2bxc与x轴交点的横坐标解一元二次方程ax2bxck就是求二次函数yax2bxc与直线yk的交点的横坐标 (1)当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； (2)当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根； (3)当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根 6二次函数与一元二次不等式之间的关系 “一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y0, y0或y0，y0”，一元二次不等式的解集从图象上看是指抛物线在x 轴上方或x 轴下方的部分对应x的取值范围 考点1： 二次函数的图象与性质【例题1】（2019广西河池3分）如图，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，则下列结论中，错误的是（）Aac0Bb24ac0C2ab0Dab+c0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：A.由抛物线的开口向下知a0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c0，因此ac0，故本选项正确，不符合题意；B.由抛物线与x轴有两个交点，可得b24ac0，故本选项正确，不符合题意；C.由对称轴为x1，得2ab，即2a+b0，故本选项错误，符合题意；D.由对称轴为x1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（1，0），所以ab+c0，故本选项正确，不符合题意故选：C归纳：本题考查二次函数的图象性质：(1)a的正负决定图象的开口方向，c的正负决定图象与y轴的交点位置，a和b的正负决定图象对称轴的位置；(2)二次函数与方程的关系，即二次函数图象与坐标轴的交点情况可转化为二次方程根的判别式的正负；(3)二次函数的开口方向与对称轴决定其增减性考点2： 二次函数的实际应用【例题2】（2019湖北省鄂州市10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；（2）利用销量每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值；（3）利用总利润4220+200，求出x的值，进而得出答案【解答】解：（1）由题意可得：y100+5（80x）整理得 y5x+500；（2）由题意，得：w（x40）（5x+500）5x2+700x200005（x70）2+4500a50w有最大值即当x70时，w最大值4500应降价807010（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：5（x70）2+45004220+200解之，得：x166，x2 74，抛物线开口向下，对称轴为直线x70，当66x74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x66当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠归纳: 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式考点3： 二次函数与几何图形的综合应用【例题3】(2018唐山乐亭县二模)如图，直线yx2与抛物线yax2bx6相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PCx轴，交抛物线于点C.(1)点B坐标为(4，6)，并求抛物线的解析式；(2)求线段PC长的最大值【点拨】(1)点B坐标代入一次函数解析式可得m6，将A，B坐标代入yax2bx6，可求出抛物线的解析式；(2)垂直于x轴的线段PC的长就是将二次函数的解析式减去一次函数的解析式，整理后会发现仍然是二次函数的形式，利用二次函数的性质可得最大值【解答】解：(1)A(，)，B(4，6)在抛物线yax2bx6上，解得抛物线的解析式为y2x28x6.(2)设动点P的坐标为(n，n2)，则点C的坐标为(n，2n28n6)PC(n2)(2n28n6)2n29n42(n)2.20，n y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12【答案】A【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标（1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x1时，y随x的增大而减小.因为11 y1 y2 .故选A.2. （2018广西）将抛物线y=x26x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）Ay=（x8）2+5By=（x4）2+5Cy=（x8）2+3Dy=（x4）2+3【答案】D【解答】y=x26x+21=（x212x）+21= （x6）236+21=（x6）2+3，故y=（x6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x4）2+3故选：D3. （2019江苏连云港3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C120若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A18m2B18 m2C24 m2Dm2【答案】C【解答】解：如图，过点C作CEAB于E，则四边形ADCE为矩形，CDAEx，DCECEB90，则BCEBCDDCE30，BC12x，在RtCBE中，CEB90，BEBC6x，ADCEBE6x，ABAE+BEx+6xx+6，梯形ABCD面积S（CD+AB）CE（x+x+6）（6x）x2+3x+18（x4）2+24，当x4时，S最大24即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C4. （2018滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（1，0），则二次函数的最大值为a+b+c；ab+c0；b24ac0；当y0时，1x3，其中正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】B解：二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故正确；当x=1时，ab+c=0，故错误；图象与x轴有2个交点，故b24ac0，故错误；图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（1，0），A（3，0），故当y0时，1x3，故正确故选：B二、填空题：5. （2018四川自贡4分）若函数y=x2+2xm的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为1【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值【解答】解：函数y=x2+2xm的图象与x轴有且只有一个交点，=2241（m）=0，解得：m=1故答案为：16. (2018四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加_m。【答案】4-4 【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,C（0,2）在此抛物线上，a=- ，此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,水面下降2m，- （x-2）（x+2）=-2,x1=2，x2=-2，下降之后的水面宽为：4.水面宽度增加了：4-4.故答案为：4-4.7. （2019四川省凉山州5分）当0x3时，直线ya与抛物线y（x1）23有交点，则a的取值范围是3a1【答案】：3a1【解答】解：法一：ya与抛物线y（x1）23有交点则有a（x1）23，整理得x22x2a0b24ac4+4（2+a）0解得a3，0x3，对称轴x1y（31）231a1法二：由题意可知，抛物线的 顶点为（1，3），而0x3抛物线y的取值为3y1ya，则直线y与x轴平行，要使直线ya与抛物线y（x1）23有交点，抛物线y的取值为3y1，即为a的取值范围，3a1，故答案为：3a19. 在平面直角坐标系中，抛物线yx2的图象如图所示已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为（1010，10102）【答案】（1010，10102）【解答】解：A点坐标为（1，1），直线OA为yx，A1（1，1），A1A2OA，直线A1A2为yx+2，解得或，A2（2，4），A3（2，4），A3A4OA，直线A3A4为yx+6，解得或，A4（3，9），A5（3，9），A2019（1010，10102），故答案为（1010，10102）三、解答题：10. 某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件他想采用提高售价的办法来增加利润经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件（1）请写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？【分析】（1）题中等量关系为：利润=（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式；（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值【解答】解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价进价）售出件数，列出方程式为：y=（x8）10010（x10），即y=10x2+280x1600（10x20）；（2）将（1）中方程式配方得：y=10（x14）2+360，当x=14时，y最大=360元，答：售价为14元时，利润最大11. (2018石家庄十八县大联考)如图，曲线BC是反比例函数y(4x6)的一部分，其中点B(4，1m)，C(6，m)，抛物线yx22bx的顶点记作A.(1)求k的值；(2)判断点A是否与点B重合；(3)若抛物线与BC有交点，求b的取值范围【解析】：(1)B(4，1m)，C(6，m)在反比例函数y的图象上，k4(1m)6(m)解得m2.k41(2)12.(2)m2，B(4，3)抛物线yx22bx(xb)2b2，A(b，b2)若点A与点B重合，则有b4，且b23，显然不成立，点A不与点B重合(3)当抛物线经过点B(4，3)时，有3422b4.解得b.显然抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C(6，2)时，有2622b6.解得b.这时仍然是抛物线右半支经过点C，b的取值范围为b.12. （2019贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030y（袋）252010若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可（2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为ykx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：yx+40（2）依题意，设利润为w元，得w（x10）（x+40）x2+50x+400整理得w（x25）2+22510当x2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元13. （2019湖北省咸宁市12分）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标【分析】（1）求得A.B两点坐标，代入抛物线解析式，获得B.c的值，获得抛物线的解析式（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标（3）B.O、E.F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EFOB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标【解答】解：（1）在中，令y0，得x4，令x0，得y2A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入，得，解得抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为FBEx轴，BACABEABD2BAC，ABD2ABE即DBE+ABE2ABEDBEABEDBEBAC设D点的坐标为（x，），则BFx，DFtanDBE，tanBAC，即解得x10（舍去），x22当x2时，3点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OBEF，OBEF设E（m，），F（m，）EF|（）（）|2解得m12，当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OFAB，直线OF交抛物线于点F（）和（）求得直线EF解析式为或直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）15
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