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2010年高考数学试题分类汇编数列 含详解(2010上海文数)21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第一个小题满分6分,第2个小题满分8分。已知数列的前项和为,且,(1)证明:是等比数列;(2)求数列的通项公式,并求出使得成立的最小正整数.解析:(1) 当n=1时,a1=-14;当n2时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,又a1-1=-150,所以数列an-1是等比数列;(2) 由(1)知:,得,从而(nN*);由Sn+1Sn,得,最小正整数n=15(2010湖南文数)20.(本小题满分13分)给出下面的数表序列:其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n个数是1,3,5,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。(I)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n3)(不要求证明); (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,记此数列为 求和: (2010全国卷2理数)(18)(本小题满分12分)已知数列的前项和()求;()证明:【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用,数列极限和数列不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】【点评】2010年高考数学全国I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.(2010陕西文数)16.(本小题满分12分)已知an是公差不为零的等差数列,a11,且a1,a3,a9成等比数列.()求数列an的通项;()求数列2an的前n项和Sn.解 ()由题设知公差d0,由a11,a1,a3,a9成等比数列得,解得d1,d0(舍去), 故an的通项an1+(n1)1n.()由()知=2n,由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.(2010全国卷2文数)(18)(本小题满分12分)已知是各项均为正数的等比数列,且,()求的通项公式;()设,求数列的前项和。【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。(1)设出公比根据条件列出关于与的方程求得与,可求得数列的通项公式。(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出BN的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。(2010江西理数)22. (本小题满分14分)证明以下命题:(1) 对任一正整a,都存在整数b,c(bc),使得成等差数列。(2) 存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证,;类似勾股数进行拼凑。证明:考虑到结构特征,取特值满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。证明:当成等差数列,则,分解得:选取关于n的一个多项式,做两种途径的分解对比目标式,构造,由第一问结论得,等差数列成立,考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m,n,若m,相似:则三边对应成比例, 由比例的性质得:,与约定不同的值矛盾,故互不相似。(2010安徽文数)(21)(本小题满分13分)设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.()证明:为等比数列;()设,求数列的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】(1)求直线倾斜角的正弦,设的圆心为,得,同理得,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即中与的关系,证明为等比数列;(2)利用(1)的结论求的通项公式,代入数列,然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关于数列相邻项与之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时,通常是利用前n项和乘以公比,然后错位相减解决.(2010重庆文数)(16)(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分. )已知是首项为19,公差为-2的等差数列,为的前项和.()求通项及;()设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.(2010浙江文数)(19)(本题满分14分)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足+15=0。()若=5,求及a1;()求d的取值范围。(2010重庆理数)(21)(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分)在数列中,=1,其中实数。(I) 求的通项公式;(II) 若对一切有,求c的取值范围。(2010山东文数)(18)(本小题满分12分) 已知等差数列满足:,.的前n项和为. ()求 及;()令(),求数列的前n项和.(2010北京文数)(16)(本小题共13分)已知为等差数列,且,。()求的通项公式;()若等差数列满足,求的前n项和公式解:()设等差数列的公差。 因为 所以 解得所以 ()设等比数列的公比为 因为所以 即=3所以的前项和公式为(2010北京理数)(20)(本小题共13分)已知集合对于,定义A与B的差为A与B之间的距离为()证明:,且;()证明:三个数中至少有一个是偶数() 设P,P中有m(m2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明:(P).(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)证明:(I)设, 因为,所以, 从而 又由题意知,.当时,; 当时,所以(II)设, ,. 记,由(I)可知 所以中1的个数为,的1的个数为。 设是使成立的的个数,则 由此可知,三个数不可能都是奇数, 即,三个数中至少有一个是偶数。(III),其中表示中所有两个元素间距离的总和,设种所有元素的第个位置的数字中共有个1,个0则=由于所以从而(2010四川理数)(21)(本小题满分12分)已知数列an满足a10,a22,且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2()求a3,a5;()设bna2n1a2n1(nN*),证明:bn是等差数列;()设cn(an+1an)qn1(q0,nN*),求数列cn的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.解:(1)由题意,零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1,可得a52a3a18202分(2)当nN *时,由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2,即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.当q1时,Sn2462nn(n1)当q1时,Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q,可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2综上所述,Sn12分(2010天津文数)(22)(本小题满分14分)在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.()证明成等比数列;()求数列的通项公式;()记,证明.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。(I)证明:由题设可知,。从而,所以,成等比数列。(II)解:由题设可得所以 .由,得 ,从而.所以数列的通项公式为或写为,。(III)证明:由(II)可知,以下分两种情况进行讨论:(1) 当n为偶数时,设n=2m若,则,若,则 .所以,从而(2) 当n为奇数时,设。所以,从而综合(1)和(2)可知,对任意有(2010天津理数)(22)(本小题满分14分)在数列中,且对任意.,成等差数列,其公差为。()若=,证明,成等比数列()()若对任意,成等比数列,其公比为。【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。()证明:由题设,可得。所以=2k(k+1)由=0,得于是。所以成等比数列。()证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得当1时,可知1,k从而所以是等差数列,公差为1。()证明:,可得,从而=1.由()有所以因此,以下分两种情况进行讨论:(1) 当n为偶数时,设n=2m()若m=1,则.若m2,则+所以(2)当n为奇数时,设n=2m+1()所以从而综合(1)(2)可知,对任意,有证法二:(i)证明:由题设,可得所以由可知。可得,所以是等差数列,公差为1。(ii)证明:因为所以。所以,从而,。于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ,故。从而。所以,由,可得。于是,由(i)可知以下同证法一。(2010全国卷1理数)(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)已知数列中, .()设,求数列的通项公式;()求使不等式成立的的取值范围 .(2010四川文数)(20)(本小题满分12分)已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。()求数列的通项公式;()设,求数列的前n项和(2010山东理数)(18)(本小题满分12分)已知等差数列满足:,的前n项和为()求及;()令bn=(nN*),求数列的前n项和【解析】()设等差数列的公差为d,因为,所以有,解得,所以;=。()由()知,所以bn=,所以=,即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。(2010湖南理数)21(本小题满分13分)数列中,是函数的极小值点()当a=0时,求通项; ()是否存在a,使数列是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。(2010湖北理数)() 2. (2010安徽理数)20、(本小题满分12分) 设数列中的每一项都不为0。 证明:为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有。(2010江苏卷)19、(本小题满分16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列。(1)求数列的通项公式(用表示);(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力。满分16分。(1)由题意知:, ,化简,得:,当时,适合情形。故所求(2)(方法一), 恒成立。 又,故,即的最大值为。(方法二)由及,得,。于是,对满足题设的,有。所以的最大值。另一方面,任取实数。设为偶数,令,则符合条件,且。于是,只要,即当时,。所以满足条件的,从而。因此的最大值为。第 31 页 共 31 页
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