2018年中考数学专题训练 材料阅读

2018级中考数学专题训练材料阅读1如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，都是“和谐数”（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1x4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式2“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如图1，其中1=11，8=（4）2，而2=12+1（4）x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=11，3=（1）3，2=12；而2=13+1（1），1=（1）2+31，3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y）2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4）x2xy6y2+2x6y=（x3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积，求m的值3能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）4定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为36能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（1530）能被（15+30）整除，（1560）能被（15+60）整除，（3060）能被（30+60）整除（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n1）（n2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想（3）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a5如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”例如：321，6543，98，都是“妙数”（1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由6连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（abc）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；由此获得启发，若存在n（7n11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数7我们对多项式x2+x6进行因式分解时，可以用特定系数法求解例如，我们可以先设x2+x6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=6，解得a=3，b=2或者a=2，b=3所以x2+x6=（x+3）（x2）当然这也说明多项式x2+x6含有因式：x+3和x2像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法利用上述材料及示例解决以下问题（1）已知关于x的多项式x2+mx15有一个因式为x1，求m的值；（2）已知关于x的多项式2x3+5x2x+b有一个因式为x+2，求b的值8阅读下列材料解决问题：材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数把数 1，3，6，10，15，21换一种方式排列，即1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，叫做三角形数“名副其实”（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由9如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”如：2=13（1）3，26=3313，所以2、26均为“麻辣数”【立方差公式a3b3=（ab）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的麻辣数之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示，再结合立方差公式”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程10下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的A、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解11阅读材料：材料一：对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足为整数，则称k是x的一个“整商系数”例如：x=2时，k=3=2，则3是2的一个整商系数；x=2时，k=12=8，则12也是2的一个整商系数；x=时，k=6=1，则6是的一个整商系数；结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为k（x），例如k（2）=材料二：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中，两根x1，x2有如下关系：x1+x2=；x1x2=应用：（1）k（）= k（）=（2）若实数a（a0）满足k（）k（），求a的取值范围？（3）若关于x的方程：x2+bx+4=0的两个根分别为x1、x2，且满足k（x1）+k（x2）=9，则b的值为多少？12定义符号mina，b的含义为：当ab时，mina，b=b；当ab时，mina，b=a如：min1，2=2，min1，2=1（1）求minx21，2；（2）已知minx22x+k，3=3，求实数k的取值范围；（3）已知当2x3时，minx22x15，m（x+1）=x22x15直接写出实数m的取值范围13对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果nxn+，则x=n如：0=0.46=0，0.64=1.49=1，3.5=4.28=4，试解决下列问题：（1）填空：=（为圆周率）；如果2x1=3，则实数x的取值范围为；（2）试举例说明：当x=，y=时，x+y=x+y不恒成立；（3）求满足x=x的所有非负实数x的值14设a，b是整数，且b0，如果存在整数c，使得a=bc，则称b整除a，记作b|a例如：8=18，1|8；5=51，5|5；10=25，2|10（1）若n|6，且n为正整数，则n的值为；（2）若7|2k+1，且k为整数，满足，求k的值15对于实数a、b，定义一种新运算“”为：ab=，这里等式右边是通常的四则运算例如：13=（1）解方程（2）x=1x；（2）若x，y均为自然数，且满足等式y5=，求满足条件的所有数对（x，y）16韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值解：该一元二次方程的=b24ac=424（2）1=240由韦达定理可得，x1+x2=2，x1x2=x12+x22=（x1+x2）22x1x2=222（）=5然后解答下列问题：（1）设一元二次方程2x2+3x1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；（2）若关于x的一元二次方程（k1）x2+（k21）x+（k1）2=0的两根分别为，且2+2=4，求k的值17阅读材料：关于x的方程：x+的解为：x1=c，x2=x（可变形为x+）的解为：x1=c，x2=x+的解为：x1=c，x2=x+的解为：x1=c，x2=根据以上材料解答下列问题：（1）方程x+的解为方程x1+=2+的解为（2）解关于x方程：x（a2）18认真阅读下面的材料，完成有关问题材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|53|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5（3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|50|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|ab|问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）问题（2）：利用数轴探究：找出满足|x3|+|x+1|=6的x的所有值是，设|x3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x2|的最小值是问题（3）：求|x3|+|x2|+|x+1|的最小值以及此时x的值问题（4）：若|x3|+|x2|+|x|+|x+1|a对任意的实数x都成立，求a的取值2018级中考数学专题训练-材料阅读参考答案与试题解析一解答题（共18小题）1（2015重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，都是“和谐数”（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1x4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式【分析】（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则 =91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则=9x+y+为正整数故y=2x（1x4，x为自然数）【解答】解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666（答案不唯一）任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：最高位到个位排列：a，b，c，d个位到最高位排列：d，c，b，a 由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，则 =91a+10b为正整数四位“和谐数”能被11整数，又a，b，c，d为任意自然数，任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：x，y，z 最高位到个位排列：z，y，x 由题意，两组数据相同，则：x=z，故 =101x+10y，故=9x+y+为正整数故y=2x（1x4，x为自然数）【点评】本题考查了因式分解的应用解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题意的数2（2016重庆模拟）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1c2，并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如图1，其中1=11，8=（4）2，而2=12+1（4）x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=11，3=（1）3，2=12；而2=13+1（1），1=（1）2+31，3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y）2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4）x2xy6y2+2x6y=（x3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积，求m的值【分析】（1）直接用十字相乘法分解因式；把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；同的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值【解答】解：（1）6x217xy+12y2=（3x4y）（2x3y），2x2xy6y2+2x+17y12=（x2y+3）（2x+3y4），x2xy6y2+2x6y=（x3y）（x+2y+2），故答案为）（3x4y）（2x3y），（x2y+3）（2x+3y4），（x3y）（x+2y+2），（2）如图，m=39+（8）（2）=43或m=9（8）+3（2）=78【点评】此题是因式分解十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解3（2016重庆校级模拟）能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得153（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，=333a+33b+3c+e，333a+33b+3c+e是整数，1000a+100b+10c+d可以被3整除故答案为：351，153，153，153【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法同时考查了数的整除性问题注意四位数的表示方法与整体思想的应用4（2016重庆校级二模）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为36能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（1530）能被（15+30）整除，（1560）能被（15+60）整除，（3060）能被（30+60）整除（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n1）（n2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想（3）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a【分析】（1）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题（2）首先判断出a是5，9，11的倍数，由此即可解决问题【解答】解：（1）nn（n1）n+n（n1）=n2（n1）n2=n1，n和n（n1）（n2，n为整数）组成的数组是祖冲之数组（2）=，=，=都是整数，a是5，9，11的倍数，满足条件的所有三位正整数a为495或990【点评】本题考查因式分解的应用，整数等知识，解题的关键是理解题意，题目比较抽象，有一定难度5（2016重庆校级一模）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”例如：321，6543，98，都是“妙数”（1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为765（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设这个“妙数”个位数字为a，根据题意判断“妙数”的尾位数，从而得知这个“妙数”为3位数，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；（2）设四位“妙数”的个位为x、两位“妙数”的个位为y，分别表示出四位“妙数”和两位“妙数”，再将四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可；（3）设三位“妙数”的个位为z，可知A=1000m+111z+210，继而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+nz，由8nz9、1000（9m+z+1）1000（99+9+1）=91000知其百位数一定是8，且该数为5位数，若存在则该数为88888，从而得出即9m+z=87、nz=2，由mz+2知zm2，而z=879mm2，解之可得m8.9，即可得m值，进一步即可得答案【解答】解：（1）设这个“妙数”个位数字为a，若这个“妙数”为4位数，则其个位数字最大为6，根据题意可知这个“妙数”最大为6153=918，不合题意；这个“妙数”为3位数，根据题意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，解得：x=5，则这个“妙数”为765，故答案为：765；（2）由题意，设四位“妙数”的个位为x，则此数为1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210，设两位“妙数”的个位为y，则此数为10（y+1）+y=11y+10，=101xy+291，x、y为整数，101xy+291也为整数，任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除；（3）设三位“妙数”的个位为z，由题意，得：A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，9A+n=9000m+999z+1890+n=9000m+1000z+1890+nz=1000（9m+z+1）+800+90+nz，m、n是一位自然数，0z9，且z为整数，8nz9，9A+n的百位为8，且1000（9m+z+1）1000（99+9+1）=91000，9A+n为五位数，且9A+n=88888，9m+z=87，nz=2，mz+2，zm2，z=879mm2，m8.9，m是一个自然数，m=9，于是z=6，n=4，答：m=9，n=4【点评】本题主要考查因式分解的应用及新定义下数字的规律，理解新定义是解题的根本，将9A+n分解成1000（9m+z+1）+800+90+nz并判断出其百位数是解题的关键6（2016重庆校级三模）连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（abc）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；由此获得启发，若存在n（7n11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数【分析】（1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）1，2，3及2，3，4（2）由已知可得：32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，故可知n=9，可设这9个数为m4，m3，m2，m1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：（m4）2+（m3）2+（m2）2+（m1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2，整理得：m240m=0，由题意m不为0，故m=40，这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44【点评】本题考查了新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键7（2015重庆校级模拟）我们对多项式x2+x6进行因式分解时，可以用特定系数法求解例如，我们可以先设x2+x6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=6，解得a=3，b=2或者a=2，b=3所以x2+x6=（x+3）（x2）当然这也说明多项式x2+x6含有因式：x+3和x2像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法利用上述材料及示例解决以下问题（1）已知关于x的多项式x2+mx15有一个因式为x1，求m的值；（2）已知关于x的多项式2x3+5x2x+b有一个因式为x+2，求b的值【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx15=（x1）（x+n）=x2+（n1）xn，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；（2）解答思路同（1）【解答】解：（1）由题设知：x2+mx15=（x1）（x+n）=x2+（n1）xn，故m=n1，n=15，解得n=15，m=14故m的值是14；（2）由题设知：2x3+5x2x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，2k+t+4=5，4k+2t+kt=1，2kt=b解得：k1=，k2=1t1=2，t2=3b1=b2=2kt=6【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，但有一定的难度8（2016重庆校级一模）阅读下列材料解决问题：材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数把数 1，3，6，10，15，21换一种方式排列，即1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，叫做三角形数“名副其实”（1）设第一个三角形数为a1=1，第二个三角形数为a2=3，第三个三角形数为a3=6，请直接写出第n个三角形数为an的表达式（其中n为正整数）（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由【分析】（1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）66是三角形数，理由为：根据得出的规律确定出原因即可；（3）表示出的T表示后，利用拆项法整理判断即可【解答】解：（1）根据题意得：an=（n为正整数）；（2）66是三角形数，理由如下：当=66时，解得：n=11或n=12（舍去），则66是第11个三角形数；（2）T=+=+=2（1+）=，n为正整数，01，则T2【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键9（2016重庆校级一模）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”如：2=13（1）3，26=3313，所以2、26均为“麻辣数”【立方差公式a3b3=（ab）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的麻辣数之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示，再结合立方差公式”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程【分析】（1）根据相邻两个奇数的立方差，可得答案；（2）根据相邻两个奇数的立方差，麻辣数的定义，可得答案【解答】解：设k为整数，则2k+1、2k1为两个连续奇数，设M为“麻辣数”，则M=（2k+1）3（2k1）3=24k2+2；（1）98=5333，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；（2）令M2016，则24k2+22016，解得k284，故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，故M的和为24（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+210=6860【点评】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键10（2013泉州校级模拟）下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的CA、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x2）4（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）x24x+4还可以分解，所以是不彻底（3）按照例题的分解方法进行分解即可【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）x24x+4还可以分解，分解不彻底；（3）设x22x=y（x22x）（x22x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x22x+1）2，=（x1）4【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等11（2016重庆校级模拟）阅读材料：材料一：对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足为整数，则称k是x的一个“整商系数”例如：x=2时，k=3=2，则3是2的一个整商系数；x=2时，k=12=8，则12也是2的一个整商系数；x=时，k=6=1，则6是的一个整商系数；结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为k（x），例如k（2）=材料二：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中，两根x1，x2有如下关系：x1+x2=；x1x2=应用：（1）k（）=2 k（）=（2）若实数a（a0）满足k（）k（），求a的取值范围？（3）若关于x的方程：x2+bx+4=0的两个根分别为x1、x2，且满足k（x1）+k（x2）=9，则b的值为多少？【分析】（1）求出最小的个整商系数即可（2）根据k（）k（）分类讨论列出不等式解不等式即可（3）利用根与系数关系把k（x1）+k（x2）=9，转化为含有b的方程，记得分类讨论即可【解答】解：（1）k（）=2，k（）=故答案分别为2，（2）k（）k（），当1a0时，原式化为3（a+1）a，即1a，当a1时，原式化为3（a+1）解得a2，故可知a的取值范围为2a1或1a（3）设方程的两个根有x1x2，由于x1x2=，故x1与x2同号当x20时，k（x1）+k（x2）=，解得b=12当x10时，k（x1）+k（x2）=，解得b=12综上b=12【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解题意，根据整商系数的定义解决问题，学会用转化的思想把问题转化为方程或不等式，题中也体现了分类讨论的数学思想12（2015东城区一模）定义符号mina，b的含义为：当ab时，mina，b=b；当ab时，mina，b=a如：min1，2=2，min1，2=1（1）求minx21，2；（2）已知minx22x+k，3=3，求实数k的取值范围；（3）已知当2x3时，minx22x15，m（x+1）=x22x15直接写出实数m的取值范围【分析】（1）比较x21与2的大小，得到答案；（2）把x22x+k化为（x1）2+k1的形式，确定k的取值范围；（3）根据当2x3时，y=x22x15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可【解答】解：（1）x20，x211，x212minx21，2=2，（2）x22x+k=（x1）2+k1，（x1）2+k1k1minx22x+k，3=3，k13k2，（3）对于y=x22x15，当x=2时，y=7，当x=3时，y=12，由题意可知抛物线y=x22x15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（2，7），（3，12），所以m的范围是：3m7【点评】本题考查的是与二次函数和一次函数有关的新定义，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键，注意：一次函数和二次函数的性质的运用13（2015重庆校级二模）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果nxn+，则x=n如：0=0.46=0，0.64=1.49=1，3.5=4.28=4，试解决下列问题：（1）填空：=3（为圆周率）；如果2x1=3，则实数x的取值范围为；（2）试举例说明：当x=0.6，y=0.7时，x+y=x+y不恒成立；（3）求满足x=x的所有非负实数x的值【分析】（1）根据取近似值的方法确定x的取值范围即可，反过来也可确定未知数的值；（2）分0a时和a1时两种情况分类讨论即可；（3）据取近似值的方法确定x的取值范围即可【解答】解：（1）3；如果2x1=3，可得；故答案为：3；（2）说明：设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分 （0a1）分两种情况：（）当0a时，有x=nx+y=（n+y）+a，这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a为（x+y）的小数部分，x+y=n+y又x+y=n+yx+y=x+y（）当a1时，有x=n+1x+y=（n+y）+a这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a为（x+y）的小数部分，x+y=n+y+1又x+y=n+1+y=n+y+1x+y=x+y综上所述：x+y=x+y，此时x=0.6，y=0.7；故答案为：0.6；0.7；（3）设（k为非负整数），则x=，根据题意可得：，即2k2，则k=0，1，2，x=0，【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据取近似值的方法确定x的取值范围14（2015重庆校级模拟）设a，b是整数，且b0，如果存在整数c，使得a=bc，则称b整除a，记作b|a例如：8=18，1|8；5=51，5|5；10=25，2|10（1）若n|6，且n为正整数，则n的值为1，2，3，6；（2）若7|2k+1，且k为整数，满足，求k的值【分析】（1）根据新定义运算法则，本题实际上是求6的约数；（2）首先通过解不等式组求得k的取值范围，然后根据新定义运算法则得到：7是2k+1的约数，由此可以确定k的值【解答】解：（1）n的值为：1，2，3，6；故答案是：1，2，3，6；（2）解不等式组得：1k157|2k+1，存在正整数n，使2k+1=7n，k=，115，n，n=1，2，3，4，当n=1时，k=3，满足题意；当n=2时，k=6.5，不符合题意；当n=3时，k=10，满足题意；当n=4时，k=13.5，不符合题意综上所述：k的值为3或10【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用解（2）题的关键是掌握新定义的运算法则，根据新定义运算法则列出不等式115，并解答，并注意n是正整数15（2015重庆校级二模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：ab=，这里等式右边是通常的四则运算例如：13=（1）解方程（2）x=1x；（2）若x，y均为自然数，且满足等式y5=，求满足条件的所有数对（x，y）【分析】（1）所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可；（2）已知等式利用题中的新定义化简，整理得到x与y的方程，即可求出满足条件的所有数对（x，y）【解答】解：（1）根据题意，得=，去分母得：1+x=42x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解；（2）根据题意得：y5=，整理得：x+2y=11，x，y均为自然数，或或或或或，经检验，不是原方程的解，则满足条件的所有数对（x，y）为（3，4）；（5，3）；（7，2）；（9，1）；（11，0），共五对【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键16（2015重庆校级一模）韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值解：该一元二次方程的=b24ac=424（2）1=240由韦达定理可得，x1+x2=2，x1x2=x12+x22=（x1+x2）22x1x2=222（）=5然后解答下列问题：（1）设一元二次方程2x2+3x1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；（2）若关于x的一元二次方程（k1）x2+（k21）x+（k1）2=0的两根分别为，且2+2=4，求k的值【分析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1x2=，再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）22x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可；（2）根据一元二次方程（k1）x2+（k21）x+（k1）2=0的两根分别为，求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将2+2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可【解答】解：（1）一元二次方程的=b24ac=3242（1）=170，由根与系数的关系得：x1+x2=，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=；（2）由根与系数的关系知：=k1，=k1，2+2=（+）22=（k+1）22（k1）=k2+3k2+3=4，k=1，k10k1，k=1，将k=1代入原方程：2x2+4=0，=320，k=1成立，k的值为1【点评】本题不仅考查了一元二次方程根与系数的关系，要注意，利用根与系数的关系解题，首先要注意方程有根17（2015重庆校级二模）阅读材料：关于x的方程：x+的解为：x1=c，x2=x（可变形为x+）的解为：x1=c，x2=x+的解为：x1=c，x2=x+的解为：x1=c，x2=根据以上材料解答下列问题：（1）方程x+的解为方程x1+=2+的解为（2）解关于x方程：x（a2）【分析】（1）本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解（2）本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解【解答】解：（1）方程x+的解为：；根据题意得；x1=2，x1=，解得：故答案为：；（2）两边同时减2变形为x2=a2，解得：x2=a2，x2=即x1=a，【点评】本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致18（2015重庆校级一模）认真阅读下面的材料，完成有关问题材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|53|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5（3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|50|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|ab|问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x1|（用含绝对值的式子表示）问题（2）：利用数轴探究：找出满足|x3|+|x+1|=6的x的所有值是2，4，设|x3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x2|的最小值是2问题（3）：求|x3|+|x2|+|x+1|的最小值以及此时x的值问题（4）：若|x3|+|x2|+|x|+|x+1|a对任意的实数x都成立，求a的取值【分析】问题（1）根据两点间的距离公式，可得答案；问题（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；问题（3）：|x3|+|x2|+|x+1|=（|x3|+|x+1|）+|x2|，根据问题（2）中的探究可知，要使|x3|+|x+1|的值最小，x的值只要取1到3之间（包括1、3）的任意一个数，要使|x2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；问题（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案【解答】解：问题（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x1|；问题（2）2、4，4；不小于0且不大于2，2；问题（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；问题（4）|x3|+|x2|+|x|+|x+1|=（|x3|+|x+1|）+（|x2|+|x|）要使|x3|+|x+1|的值最小，x的值取1到3之间（包括1、3）的任意一个数，要使|x2|+|x1|的值最小，x取0到2之间（包括0、2）的任意一个数，显然当x取0到2之间（包括0、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x3|+|x2|+|x|+|x+1|=3+2+0+1=6 方法二：当x取在0到