数学与应用数学毕业论文范德蒙行列式的应用研究

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：范德蒙行列式的应用研究 作者、学号：学院、年级：数学与信息科学学院 2006级学科、专业：数学 数学与应用数学指 导 教 师： 完 成 日 期：2010年5月26日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院 本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。 答辩小组签名主席 姓 名工 作 单 位 职 称曲靖师范学院数学与信息科学学院副教授成员曲靖师范学院数学与信息科学学院教授曲靖师范学院数学与信息科学学院副教授曲靖师范学院数学与信息科学学院讲 师曲靖师范学院数学与信息科学学院助 教 答辩日期：2010年5月26日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 2010年5月26日 。论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。签名： 指导教师签名： 日期： 2010年5月26日。范德蒙行列式的应用研究摘 要行列式是一个重要的数学工具,它不仅有着悠久的历史,更具有广泛的应用.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有十分广泛的应用.正确的掌握使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单,化繁琐为简便.然而要正确、适当的构造和应用范德蒙行列式去有效解决问题绝非易事.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面较为系统的探讨了范德蒙行列式的应用,并对方法和技巧作了一点总结，希望帮助初学者更好的理解和掌握范德蒙行列式及其广泛的应用.关键词: 行列式;范德蒙行列式;应用;构造 Study on Application of Vandermonde DeterminantAbstract: Determinant is an important mathematical tool, it is not only has a long history, but also more widely used. vandermonde determinant was proposed a mathematician whose name is Vandermonde in 1772. As a special determinant vandermonde determinant not only unique in the structure and graceful form, and it is of wide application. The right to use vandermonde determinant to solve the problem can be reached the effect of half paying double getting. The nature of using vandermonde determinant to solve problem is to make complex become simple, complicated to easy. However, it is not easy to solve the problem effectively by constructing and application vandermonde determinant is not in a right and proper way. Therefore, this thesis systematically researches the application of the vandermonde determinant and makes a little summary of its methods and techniques from six aspects: the calculation of determinant, solving n-order k loop determinant, solving problems finding roots of polynomials, linear correlation vectors answer questions, questions and answers divisible. In the hope that it can help beginners to better understand and master the vandermonde determinant and its wide range of applications.Keywords: determinant; Vandermonde determinant; applications; structure目 录1 引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.2 国内外研究现状评价12.3 提出问题23 范德蒙行列式简介24 范德蒙行列式的应用探讨34.1 计算行列式34.2 求解n阶k循环行列式64.3 解决多项式的求根问题84.4 解答向量线性相关性问题94.5 解答整除问题114.6 解答微积分问题145 结论155.1 主要发现155.2 启示155.3 局限性155.4 努力方向15 参考文献161 引言行列式是一个重要的数学工具,活跃在数学的各个分支.行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中,行列式的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的.18世纪,法国著名数学家范德蒙（A,T,Vandermonde,17351796）将行列式的理论脱离线性方程组,放到理论高度作为专门的理论进行研究,在此基础上确立了行列式的一些性质,从而使行列式逐步发展成一门独立的数学课题.到了19世纪,数学家柯西、凯莱和西尔维斯特等人给出了真正现代意义上的行列式理论.行列式(Determinant)这个名称是柯西1815年首先使用的,随其后,凯莱于1841年使用了行列式记号| |1.范德蒙行列式是数学家范德蒙在1772年提出的.作为一种特殊的行列式,范德蒙行列式不仅结构独特、形式优美,而且具有广泛而丰富的应用.基于范德蒙行列式结构的独特性,学习者在计算行列式时不易掌握,尤其是需要通过变换构造这一行列式来解决相关方面的问题就显得更加困难.因此,本毕业论文从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面来探究范德蒙行列式的应用,希望对初学者提供一定的参考.2 文献综述2.1 国内外研究现状从目前参阅的文献资料120中了解的信息来看,针对范德蒙行列式的应用,近几年来研究者们得出了许多成果.真所谓仁者见仁,智者见智,不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同.例如:北京大学第三版高等代数教材2和其他不同版高等代数教材3、4、习题集5、6中就提到了范德蒙行列式在行列式的计算和多项式根存在问题中的应用.在许多高校的学报中我们可以找到范德蒙行列式应用的文章.比如:在范德蒙行列式应用三则一文7中张文治、赵艳给出了通过构造范德蒙行列式计算缺项行列式;在范德蒙行列式的应用一文8中徐杰探讨了应用范德蒙行列式证明向量的线性相关性问题;在范德蒙行列式在微积分中的应用一文9中程伟健、贺冬冬研究了利用范德蒙行列式求高阶无穷小和证明k阶导数极限的存在问题;此外文献10、11、12中也提到了范德蒙行列式的相关应用,等等.2.2 国内外研究现状评价综上所述,目前国内外对范德蒙行列式的应用研究虽然是比较多的，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺,比较零散,不够全面,系统性、规范性不足.同时对如何构造范德蒙行列式的研究不是很透彻,使初学者在实际处理具体问题时不易运用和掌握.2.3 提出问题利用范德蒙行列式解题的本质在于化复杂为简单、化繁琐为简便.正确的使用范德蒙行列式解题可以达到事半功倍的效果.虽然对范德蒙行列式在各个方面的应用研究是许多学者关注的焦点,但是对范德蒙行列式应用的方法、技巧的总结还比较欠缺、零散、不够全面.因此本毕业论文通过探讨范德蒙行列式在计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题中的一些应用,总结了构造范德蒙行列式解题的一些方法和技巧,希望能给广大学者提供一定的参考.3 范德蒙行列式简介形如:的行列式称为n级范德蒙(Vandermonde)行列式.可以证明：对任意的n，n级范德蒙（Vandermonde）行列式等于,这n个数的所有可能的差的乘积即：因为，所以范德蒙行列式还可以写成： 从定义可以得出，范德蒙行列式等于零的充分必要条件是,这n个数中至少有两个相等4 范德蒙行列式的应用探讨 范德蒙行列式常做为行列式理论的一个教学实例而出现，虽然未被明确提出和探讨研究，但出于它结构独特、形式优美，在数学的各个分支都具有十分广泛的应用下面将从计算行列式、求解n阶k循环行列式、解决多项式的求根问题、解答向量的线性相关性问题、解答整除问题和解答微积分问题六个方面探讨研究范德蒙行列式的应用4.1 计算行列式 范德蒙行列式在行列式的计算问题中起着举足轻重的作用利用范德蒙行列式计算行列式已被确立为一种特殊的方法被广泛使用下面先来看几个例子例113计算行列式：,其中分析：不是范德蒙行列式，但仔细观察发现它具有范德蒙行列式的影子，可考虑构造范德蒙行列式解：将第1行提出,第2行提出,第行提出,第行提出,则有:因此,构造出了一个阶的范德蒙行列式:.点评:本例的解题技巧在于从第行中提出,从而构造了一个阶的范德蒙行列式.例28计算行列式:分析:不是范德蒙行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造阶范德蒙行列式,再根据范德蒙行列式的结果间接地求出的值.解:考察此行列式,构造阶范德蒙行列式:则行列式等于中元素的余子式,将行列式按列展开得:其中的系数为:即行列式等于阶范德蒙行列式的展开式中的系数的相反数.又因为 .对展开得的系数为,因此在中的系数为: .故行列式.点评:本例通过添加了第行、第列构造了阶范德蒙行列式,再利用行列式与中某元素余子式的关系来计算行列式.例37 计算行列式:解:利用二项式定理的展开式和行列式的乘法规律得: 点评:本例先按照二项式定理的展开式将行列式中的每一个元素展开,可变为乘积之和,再根据行列式的乘法规则分别构造出阶范德蒙行列式进行计算.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式计算行列式的一点技巧:(1)、观察要计算的行列式是否具有范德蒙行列式的某些结构特征;(2)、通过适当方法(如:拆项法、添项法等)构造出范德蒙行列式;(3)、结合范德蒙行列式和题目的要求进行计算.4.2 求解n阶k循环行列式形如11:的行列式，称为n阶k循环行列式，其中是常数且.特别地,当时,叫做阶循环行列式;当时,叫做阶反循环行列式.对于阶循环行列式的计算.利用范德蒙行列式可证明以下定理.定理1:对阶循环行列式构造多项式函数:若方程的个根为,则必有: .证明:考察方程,设,则,由于存在,.使得:故得多项式与互质,因此多项式没有重根,即方程没有重根.也即方程有n个互异根.以方程的n个根构造n阶范德蒙行列式:显然,.因为,故.考察= 所以.例414计算行列式:解:经观察,此行列式为n阶循环行列式且.设.若方程的根记为.不妨设则故对必有:.既有,故得:.阶循环行列式的解法以多项式理论为基础，结合范德蒙行列式进行探讨阶循环行列式的初等解法，方法简便易行，有一定的实用价值4.3 解决多项式的求根问题多项式是一类最常见，最简单的函数，它的应用非常广泛多项式理论是高等代数的重要内容，是学习代数学及其他数学分支的必要基础，是中学数学有关知识的加深和扩充虽然它在整个高等代数中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数的基本内容提供了理论依据研究学习多项式、多项式根的存在问题、多项式求根等是多项式理论的重点和难点由于多项式理论的高度抽象性，初学者在学习时不好把握多数多项式的求根问题又与行列式相关联，巧妙的应用它们之间的联系，对解决会起到化繁为简的作用例58证明一个次多项式至多有个互异根.证明:设次多项式为，假设有个互异的根为,则有:即: 因此,这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为:.因为是互异的.所以, 因此.矛盾.故至多有n个互异的根,即n次多项式至多有n个互异根,证毕.例66设.其中是互不相同的数,证明:是一个关于的次的多项式,并求出的根.证明:因为中只有第一行含有的幂次,而最高幂次为,另外展开后的系数为:故是一个关于的次多项式.又因为当时.都有两行相同,从而.故互不相同的数就是的根.在多项式理论中，很多问题都涉及求根问题，在分析题目时，范德蒙行列式起到了关键作用,再结合范德蒙行列式为零的充要条件,更起到了化繁为简的作用.若能熟练有效的运用范德蒙行列式,对我们最终解决问题会有直接帮助.4.4 解答向量线性相关性问题向量的线性相关性是向量研究的一个重点也是一个难点,比较抽象,且对逻辑推理有较多要求,不容易理解其实质.无论是判断还是证明或者计算,初学者往往会感到困惑,难以掌握.但将其与行列式适当相结合,对于判断、证明和计算相应问题就比较容易理解、掌握,尤其是与特殊行列式范德蒙行列式相结合,效果更显而易见.例710设是t个互不相同的数，.证明:向量组线性无关,. 证明:考察向量组,可构造一个t阶的范德蒙行列式:因为是互不相同的,所以.故,线性无关.在每个的后面再添上个分量所得向量组,仍线性无关.例815 设A是n阶矩阵，证明：A的不同特征值的特征向量线性无关.证明：是是A的两两不相同的t个特征值，存在非零向量有：，.假设，那么.所以即： 所以 考察系数矩阵B，则有因为是两两互不相同的特征值.所以,因此必有.于是,因此线性无关.在向量空间理论中,我们经常会碰到证明向量线性无关的问题,而有些问题需要用范德蒙行列式进行转化,通过转化,我们就很容易地得到所需要的结论,这就要求我们充分掌握范德蒙行列式及其结构特征.达到灵活应用.4.5 解答整除问题 多项式整除性理论是多项式理论中的重点，也是难点.由于多项式整除多项式的抽象性，它也成为学生学习时的难点15.下面将结合范德蒙行列式来探讨多项式整除的相关问题.先介绍两个特殊的行列式的计算 (1)、行列式其中证明：因为,所以=(2)、行列式证明：因为，所以再令,所以例911设是正整数，证明n阶行列式能被整除证明；直接运用以上两行列式的结果得因为=，所以能被整除例1016设是（）个多项式,证明:多项式能被整除,则每个的所有系数之和为0.证明:设. 要证的系数之和为0,即要证. 设的个根为,它们都是n次单位根即有,现令,并把依次代入得 这是一个关于的齐次线性方程组,其系数行列式是一个阶的范德蒙行列式,由于是互不相同的,因此,从而方程组只有零解,即即.因此,原命题得证.通过对上述例题的分析,可归纳出构造范德蒙行列式解此类问题的方法:(1)、变换形式,构造出范德蒙行列式；(2)、结合题目已知信息进行解题.4.6 解答微积分问题 无穷大量、无穷小量、高阶导数和极限是微积分研究的主要内容，这些概念的正确理解和掌握对学好微积分是必要的18然而初学者在学习掌握这些概念时常常会遇到困难在解决此类问题时，有时构造范德蒙行列式变换一下形式，可巧妙地得到解答 例1019 设至少有k阶导数,且对某个实数r,有和.试证:.其中. 证明:因为至少有k阶导数,对某个实数r，有和. 要证，只要将写成与的线性组合即可.利用泰勒公式20: (*)其中,这是线性方程组,其系数行列式为:.故构造了一个k阶的范德蒙行列式,其值为,所以.于是可将方程组(*)中的写成的线性组合.我们只要证明即可.事实上,设,于是在此式中分别令和令,则得.通过对以上例题的分析,可归纳出利用范德蒙行列式解这类问题方法:(1)、运用泰勒公式构造范德蒙行列式；(2)、结合范德蒙行列式和题目要求解题. 从范德蒙行列式在以上六个方面的应用可以看出,巧妙的构造范德蒙行列式确实可化繁为简,达到事半功倍的效果.5 结论5.1 主要发现范德蒙行列式的构造，为问题的求解提供十分有效的手段对范德蒙行式的应用，不仅需要对范德蒙行列式的形式、特点及性质熟练掌握，而且要能灵活的运用，善于将知识之间衔接起来因此，只有不断地分析解决典型的题目，找出内在规律，对范德蒙行列式的应用才能进一步掌握总之，以上问题出现的形式灵活多变，题目有一定难度，又有一定的技巧性，但只要我们善于思考、总结，就能找到解决问题的突破口，最终解决问题 5.2 启示范德蒙行列式应用中构造范德蒙行列式是解决问题的难点，也是关键点要巧妙的构造范德蒙行列式进行解题，必须对高等数学的基础知识熟练掌握，能够将知识融会贯通5.3 局限性 由于本人的能力水平有限，这里提供的仅是范德蒙行列式在几方面的应用不能提供更多的有关范德蒙行列式的应用，这是本毕业论文的不足之处.5.4 努力方向 在今后的学习研究中将不断地深入探讨，发现更多范德蒙行列式的应用和构造范德蒙行列式的方法，为学习者提供更多的帮助除了文中所涉及的几种应用外，根据问题不同可能还有其他的用法，这些方法将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本毕业论文的不足 参考文献1 李文林.数学史概论M.北京:高等教育出版社,2002:177-206.2 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.第三版.北京:高等教育出版社,2003:55-83.3 姚慕生.高等代数学M.上海:复旦大学出版社,1999:23-32.4 丘维声.高等代数学习指导书（上册）M.北京:清华大学出版社,2005:42-43.5 刘丁西.高等代数习题精解M.第二版.合肥:中国科学技术大学出版社,2004:38-66.6 杨子胥.高等代数习题解M.济南:山东科学技术出版社,2009:307-366.7 张文治,赵艳.范德蒙行列式应用三则J.北华航天工业学院学报,2007,17（4）:38-39.8 徐杰.范德蒙行列式的应用J.职校论坛,2009,(17):584-586.9 程伟健,贺冬冬.范德蒙行列式在微积分中的应用J.大学数学,2004,20（3）:127-130.10徐仲,陆全等.高等代数（导数.导学.导考）M.西安:西北工业大学出版社,2004:85-130.11孙宗明.高等代数的内容与方法M.兰州:兰州大学出版社,1990:109-114.12陈文磊,肖俊起,莫延文.一类特殊矩阵多项式计算方法浅谈J.高等函授学报（自然科学版）,2008,21（4）:58-59. 13牛海军.范德蒙行列式在行列式计算中的应用J.中国科教创新导刊,2008,(17):140.14杨培国.n阶k循环行列式的初等解法J.上海工程技术大学学报,2004,18（1）:37-39.15王寿生.考研数学常见题型解析及模拟试题M.西安:西北工业大学出版社,2000:216-218.16邓敏.多项式余数定理的推广形式J.数学理论与应用,2006,26（3）:108-110.17刘玉琏,傅沸仁,林玎等.数学分析讲义M.第四版.北京:高等教育出版社,2003:97-205.18华青,邵之泉,俞颂.基础微积分M.上海:知识出版社,1987:1-12.19斐礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,1993:180-181.20邹应.数学分析习题及其解答M.武汉:武汉大学出版社,2001:168-169.16