资源描述
对应学生用书P46一、圆锥曲线的意义1椭圆平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点:两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点(2)焦距:两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2双曲线平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线(1)焦点:两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(2)焦距:两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 3抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa,bybaya,bxb顶点(a,0),(0,b)(0,a),(b,0)轴长短轴长2b,长轴长2a焦点(c,0)(0,c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴,y轴,对称中心(0,0)离心率0e13. 抛物线的标准方程和几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点准线xxyy范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下三、圆锥曲线的统一定义(1)定义:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常数e的点的轨迹当0e1时,表示双曲线;当e1时,表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线(2)对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,与焦点F1(c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x,x.四、曲线与方程1定义如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)0的解,且以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,方程f(x,y)0叫做曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)0的曲线2求曲线的方程的方法(1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式(2)代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动点转换为已知动点具体地说,就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式(3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法:选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数,用参数表示动点的坐标(x,y),即得动点轨迹的参数方程,消去参数,可得动点轨迹的普通方程(时间120分钟,满分160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析:令0,解得yx.答案:yx2抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_解析:因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为yx,所以所求距离为.答案:3方程1表示焦点在x轴上的椭圆,则a的取值范围是_解析:由题意得解之得a0,b0)与圆x2y22a2的一个交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且PF13PF2,则双曲线的离心率为_解析:由得PF13a,PF2a,设F1OP,则POF2180,在PF1O中,PFOFOP22OF1OPcos ,在OPF2中,PFOFOP22OF2OPcos(180),由cos(180)cos 与OPa,得c23a2,e.答案:6已知动圆P与定圆C:(x2)2y21相外切,又与定直线l:x1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是_解析:设P(x,y),动圆P在直线x1的左侧,其半径等于1x,则PC1x1,即2x.y28x.答案:y28x7已知双曲C11(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2,则抛物线C2的方程为_解析:双曲线C1:1(a0,b0)的率心率为2.2,ba.双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线C2:x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2.p8.所求的抛物线方程为x216y.答案:x216y8过抛物线x28y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1y28,则P1P2的值为_解析:由题意知p4,由抛物线的定义得P1P2P1FP2F(y1y2)p8412.答案:129椭圆1的右焦点到直线yx的距离是_解析:椭圆1的右焦点为(1,0),右焦点到直线x3y0的距离d.答案:10已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若AB10,BF8,cosABF,则C的离心率为_解析:在ABF中,AF2AB2BF22ABBFcosABF10282210836,则AF6.由AB2AF2BF2可知,ABF是直角三角形,OF为斜边AB的中线,cOF5.设椭圆的另一焦点为F1,因为点O平分AB,且平分FF1,所以四边形AFBF1为平行四边形,所以BFAF18.由椭圆的性质可知AFAF1142aa7,则e.答案:11(新课标全国卷改编)已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为_解析:因为直线AB过点F(3,0)和点(1,1),所以直线AB的方程为y(x3),代入椭圆方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,所以AB的中点的横坐标为1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3.所以E的方程为1.答案:112抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于_解析:令直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)由得4x28x10,x1x22,x1x2,AB.答案:13以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为_解析:如图,设椭圆的方程为1(ab0),焦半径为c.由题意知F1AF290,AF2F160.AF2c,AF12csin 60c.AF1AF22a(1)c.e1.答案:114给出如下四个命题:方程x2y22x10表示的图形是圆;椭圆1的离心率e;抛物线x2y2的准线的方程是x;双曲线1的渐近线方程是yx.其中所有不正确命题的序号是_解析:表示的图形是一个点(1,0);e;渐近线的方程为yx.答案:二、解答题(本大题共6小题,共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)求与椭圆1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解:椭圆1的焦点是(0,5),(0,5),焦点在y轴上,于是设双曲线方程是1(a0,b0),又双曲线过点(0,2),c5,a2,b2c2a225421,双曲线的标准方程是1,实轴长为4,焦距为10,离心率e,渐近线方程是yx.16(本小题满分14分)已知抛物线C:y24x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,若|AB|8,求直线l的方程解:抛物线y24x的焦点为F(1,0),当直线l斜率不存在时,|AB|4,不合题意设直线l的方程为yk(x1),代入y24x,整理得k2x2(2k24)xk20.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知k0,则x1x2.由抛物线定义知,|AB|AF|BF|x11x21x1x22,x1x228,即28.解得k1.所以直线l的方程为y(x1),即xy10,xy10.17(本小题满分14分) 如图,F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF260.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值解:(1)由题意可知,AF1F2为等边三角形,a2c,所以e.(2)法一:a24c2,b23c2,直线AB的方程为y(xc)代入椭圆方程3x24y212c2,得B.所以|AB|c0|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240,解得a10,b5.法二:设ABt.因为|AF2|a,所以|BF2|ta.由椭圆定义BF1BF22a可知,BF13at.由余弦定理得(3at)2a2t22atcos 60可得,ta.由SAF1Baaa240知,a10,b5.18(浙江高考)(本小题满分16分)如图,点P(0,1)是椭圆C1:1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2y24的直径l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解:(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为ykx1.又圆C2:x2y24,故点O到直线l1的距离d,所以AB22 .又l2l1,故直线l2的方程为xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0,y01.所以PD.设ABD的面积为S,则SABPD,所以S,当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.19(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M(x,y)到直线l:x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率解:(1)设M到直线l的距离为d,根据题意d2|MN|.由此得|4x|2,化简得1,所以,动点M的轨迹方程为1.(2)法一:由题意,设直线m的方程为ykx3,A(x1,y1),B(x2,y2)将ykx3代入1中,有(34k2)x224kx240,其中(24k)2424(34k2)96(2k23)0,故k2.由根与系数的关系得,x1x2,x1x2.又因为A是PB的中点,故x22x1,将代入,得x1,x,可得2,且k2,解得k或k,所以直线m的斜率为或.法二:由题意,设直线m的方程为ykx3,A(x1,y1),B(x2,y2)A是PB的中点,x1,y1.又1,1,联立,解得或即点B的坐标为(2,0)或(2,0),所以直线m的斜率为或.20(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E:x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1k22,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10,k20,证明: 0,k20,k1k2,所以0k1k221.故0,所以点M到直线l的距离d.故当k1时,d取最小值.由题设,解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.
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