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1第1页/共55页2第二节 一阶微分方程v1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第2页/共55页3一、可分离变量的微分方程与分离变量法 第3页/共55页可分离变量的微分方程的解法两边积分，得则如果 方程的通解,必须予以补上。在分离变量时，解可能它不包含在第4页/共55页第5页/共55页令，得此外， 也是方程的解.因此原方程的通解为其中为任意常数. 第6页/共55页练习练习. 解微分方程解微分方程解: 当 y0 时分离变量得两边积分得即( C0 )另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为( C为任意常数 ).第7页/共55页第8页/共55页9也是解。第9页/共55页10求解方程 并求满足初始条件 的特解.解 当 两边积分得 因而，通解为 (这里 c 为任意常数)此外，方程还有解 . 时， 将 代入通解中，得 .因此所求特解为第10页/共55页11解: 当 y0 时分离变量得另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为( B为任意常数 ).第11页/共55页微分方程微分方程分离变量分离变量是否可分离变量是否可分离变量 y 2xy 3x2 5x y 0 (x2 y2)dx xydy=0 y 1 x y2 xy2 y 10 x y练习：下列方程那些是可分离变量的微分方程？ 是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx第12页/共55页13第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0F x y yyf x yP x y dxQ x y dyv1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第13页/共55页形如的方程叫做齐次微分方程.第14页/共55页15令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.分离变量: 第15页/共55页16如果 有实根 那末 （i=1，2，k）也为方程的解。第16页/共55页17 解微分方程解微分方程第17页/共55页18第18页/共55页19 求解微分方程整理得第19页/共55页20第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0F x y yyf x yP x y dxQ x y dyv1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程第20页/共55页21第21页/共55页22是非齐次线性方程 y3x25x 是非齐次线性方程 (2)3x25xy0 (3)yycos xesin x 第22页/共55页23线性的;非线性的.第23页/共55页24齐次方程的通解为分离变量积分第24页/共55页则令两边积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:第25页/共55页常数变易法第26页/共55页27例例5 解方程解方程 解1: 先解即积分得即用常数变易法把C换成 u(x)，即令则代入非齐次方程得 u=(x+1)1/2解得故原方程通解为第27页/共55页28例例5 解方程解方程 解2: 公式法由通解公式得 第28页/共55页 解方程 先解即积分得即令则代入非齐次方程得代入(*)式得原方程通解为第29页/共55页例. . 解方程 第30页/共55页31第31页/共55页第32页/共55页33 dxdyxydxdyxy22练习：解下列微分方程（1）（2）（3）第33页/共55页34解：原方程可写成 即1-=uudxdux分离变量 得 两边积分 得 uln|u|Cln|x| 或写成 ln|xu|uC dxdyxydxdyxy=+22练习1（P378-例4）：解方程第34页/共55页35练习2分离变量得：dyxyxdx)(2134整理方程得：解第35页/共55页 解方程 将方程改写为令代入方程（1）得解得所以原方程通解为与（1）对应的齐次方程的通解为（1）另外，y=0也为解。第36页/共55页练习：判别下列方程类型.第37页/共55页38第二节 一阶微分方程v1、可分离变量的微分方程v2、齐次方程v3、一阶线性微分方程v4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性第38页/共55页作业作业P384P3841，2（偶数），3（奇数），4（偶数），6，7第39页/共55页40第40页/共55页解 分离变量得：两端积分得：例2第41页/共55页解：由条件：衰变规律第42页/共55页解：一阶线性非齐次微分方程练习第43页/共55页例6 求方程的特解.满足初始条件 解 分离变量, 得 两边积分，得于是原方程的通解为又将初始条件 故满足初始条件的特解为代入通解中, 得 第44页/共55页 例7 已知需求价格弹性为 = -1/Q2, 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q).解 由需求价格弹性的定义, 有 这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得即又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为第45页/共55页练 习 题第46页/共55页第47页/共55页练习题答案第48页/共55页练习:解法 1 分离变量即( C 0 )解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:第49页/共55页例例. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:第50页/共55页例例 解初值问题解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为第51页/共55页例例成正比,求解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时第52页/共55页微分方程微分方程分离变量分离变量是否可分离变量是否可分离变量 y 2xy 3x2 5x y 0 (x2 y2)dx xydy=0 y 1 x y2 xy2 y 10 x y 如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程: 是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx第53页/共55页54第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页
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