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第4讲导数的热点问题专题二 函数与导数 栏目索引 高考真题体验1 1 热点分类突破2 2 高考押题精练3 3(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围； 高考真题体验解析答案解解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点设a0，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增故f(x)存在两个零点解析答案设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.证明证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.解析答案22ex2ex22ex2ex利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大考情考向分析返回热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力热点分类突破例1已知函数f(x)exx2a，xR，曲线yf(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为ybx.(1)求函数yf(x)的解析式；解解根据题意，得f(x)ex2x，则f(0)1b.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入yf(x)，得a1，故f(x)exx21.解析答案解析答案证明证明令g(x)f(x)x2xexx1.由g(x)ex10，得x0，当x(，0)时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)ming(0)0，f(x)x2x.(2)当xR时，求证：f(x)x2x；解析答案思维升华(3)若f(x)kx对任意的x(0，)恒成立，求实数k的取值范围解解f(x)kx对任意的x(0，)恒成立等价于 对任意的x(0，)恒成立思维升华由(2)可知，当x(0，)时，exx10恒成立，令(x)0，得x1；令(x)0，得0 x1.y(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)，(x)min(1)e2，k(x)mine2，实数k的取值范围为(，e2)用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0)令(x)0，则x1，当0 x1时，(x)1时，(x)0，所以(x)在(1，)上单调递增，故(x)在x1处取到极小值也是最小值，故(x)(1)0，解析答案(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围故h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以h(x)h(1)0.因为h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在区间(1，e)上单调递增，热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解解析答案例2已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；解解当a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(x2x1)ex(2x1)ex(x23x)ex，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e.又因为f(1)e，所以所求切线的方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.思维升华解析答案解解当a1时，f(x)(x2x1)ex，f(x)(x2x)ex，所以yf(x)在(，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减，解析答案思维升华思维升华因为函数yf(x)与yg(x)的图象有3个不同的交点，所以f(1)g(0)，(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势思维升华跟踪演练2已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；解解当a2时，f(x)2ln xx22x，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即2xy10.解析答案解析答案解析答案热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优解析答案例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解解因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，思维升华(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大解析答案利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答思维升华解析答案跟踪演练3经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x14)百元时，该商品的月供给量为y1万吨， 月需求量为y2万吨， 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积因为1x14，所以1x0，得x0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，押题依据 高考押题精练解析答案(1)当a0时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；返回解析答案押题依据押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力解析答案在(0,2a1)，(1，)上单调递增；当2a11，即a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当2a11，即a0时，函数f(x)在(1,2a1)上单调递减，在(0,1)，(2a1，)上单调递增当2a10，即a- 时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；解析答案解析答案解析答案即x37x26x0对任意的x1,2恒成立令h(x)x37x26x，x1,2，则h(x)3x214x60恒成立，故函数h(x)在区间1,2上是减函数，所以h(x)minh(2)8，只要80即可，即8，故实数的取值范围是8，)返回
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