四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：13正弦定理与余弦定理(含解析)

四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义正弦定理与余弦定理A13.正弦定理与余弦定理一、基础知识1 .正弦定理：在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c则 -a- -b- 2R. R为外接圆半径.sin A sin B sinC2 .余弦定理：在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.则c2 a2 b2 2abcosC.12a sin Bsin C3.二角形面积公式 ：S absinC 2R sin Asin Bsin C .22sin A二、典型例题与基本方法1.在 ABC 中，若 A 60, B 45 ,BC 3”，则 AC 等于2.在 ABC 中，A 60 ,AC3,面积为型,那么BC的长度为23 .已知锐角 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a 1,b2 c2 bc 1 ,则ABC面积的取值范围是4 .在 ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足b c,b 1 cosB,若点。是 acos AABC外一点，AOB 0,OA 2,OB 1,则平面四边形 OACB面积的最大值是 2BC 2CD,则 cos DAC5 .在直角梯形 ABCD 中，AB/CD, ABC 90 , AB6.在 ABC 中，ABuuuuuurBABD-tuuBA sin A4、6,cosB3uuurBC-uuuBC sinC枭 D 在AC，BD75,且(0),则sin A的值为1uuu uurmu!7 .在 ABC 中，AC 6,BC 7,cosA ,O 是 ABC 的内心，若 OP xOA yOB ,其 5中0 x 1,0 y 1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为 8 .已知平面四边形 ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线 ，其余各 边均在此直线的同侧），且AB 2, BC 4,CD 5,DA 3,则平面四边形 ABCD面积的 最大值为9 .在 ABC中，B 60 , AC 73,则AB 2BC的最大值为 10 . ABC中，sin A B sinC sinB,D是边BC的一个三等分点（靠近点B ）,记sin ABD,sin BAD则当取最大值时，tan ACD uur uur uuir 2 uuir 2t B11 .在 ABC 中，若 AB AC BC -BC，则巴nB3 tanC12 .在 ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos2A 3cos B C 1. 求角A的大小；(2) 若 ABC的面积S 5j3,b 5,求sinBsinC的值.13 .在 ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, rrrr已知 asin B sin C,sin C sin A ,bsin B sin C,sin A，且 ab.(1)求角B的大小;面积.(2)若b c cosA, ABC的外接圆的半径为1,求 ABC的B13.练习 姓名：1 .已知 ABC中，a J2,b 后B 60 ,那么角A等于2 .在 ABC 中，已知 cosAsin Bsin C 2cos Bsin C sin A 3cosCsin Asin B ,则 sinC 的最大值是3 .已知a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C的对边，且a 2, 2 b sinA sinB c b sinC,则ABC面积的最大值为4 .在平面四边形 ABCD中，A B C 75 ,BC 2 ,则AB的取值范围是 5 .已知a,b,c分别为 ABC的三个内角 A,B,C的对边，且2. 22a b c ab,4sin Asin B 3,ABC贝U tantan tan 一 2226 .在锐角 ABC中，A, B,C的对边分别为a, b, c, b a 6cosC ,则更C 里C a btanA tanB7 .在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a,b,c,已知A 60 ,b 5,c 4.(1)求 a ；(2) 求 sinBsinC 的值.8 .设函数 f (x) sin xcosx sin2 x x4(1)求函数f(x)的单调区间;(2)在锐角 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 f0,c 2,求 ABC 面积的最大值.A13,正弦定理与余弦定理、基础知识1.正asin A弦定理：bsin B2.余弦定理：在csinCABC中，角A,B,C所对2R. R为外接圆半径.分别为a,b,c则ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.则c2a2 b2 2abcosC.3.三角形面积公式：S2a sin Bsin C2sin A12一 absinC 2R sin Asin BsinC 2二、典型例题与基本方法1.在ABC中，若 A60 , B 45 ,BC 3衣，则 AC解:AC BC ,ACsin B sin AsnBBC 红” 3.2 2.3.sin A sin602.在33ABC中，A 60 , AC 3,面积为3X3 ,那么BC的长度为 2解:3.已知锐角 ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,若 a 1,b2 cbc 1 ,则ABC面积的取值范围是解：因为a 1,b2cosA2 c2 abcbc2bc2bc1 ,所以b2a2 bc,所以所以sinA ,所以由21732bsinBsinC,可得2 3b sin B,c323 . sin32TB.,所以c1 .S ABC bcsin A2二 2JsinB sin 2-3sinB3-3cosBsinB 22:3 .sin62Bsin2B62,1也因为12B为锐角，可得一6一 2B 65 一5-,所以6可得S ABCVsin 2B 612、336 , 44.在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满足b c,b a-cosB,若点。是 cosAABC外一点，AOB,OA 2,OB 1,则平面四边形 OACB面积的最大值是1 cosB ,_,化为 sin BcosA cosAsin A sin AcosB,所以 sin A B sin A,所以sinC角形的边长为sin A, A,C0,.所以CA,又b c,所以 ABC是等边三角形，设该三则 a2 12 22 2 21.Soacb 1 2sin2cos .3 2.a sin4322一 122 2cos 2sin4当时,SoACB 取得最大值 -645.在直角梯形 ABCD 中，AB/CD, ABC 90 , AB2BC 2CD,则 cos DAC解：过点D作DE AB于点E ,连接AC ,如图所示，设BC t t 0 ,则AC J5t,易知E为AB的中点，所以AD 72t.在ACD中，由余弦定理得cos DAC2225t22t2t22 、5t , 2t3.10106.在 ABC 中，ABuuu器BABD-tuuBA sin A4.6,cosB3uurBC-uuuBC sinCD在边A(0),则sin A的值为uuuuunuuuuuiruuuuuirBABCBABC2 BF uuu I 1 uuu I於1J BDuuuuuuruuur(0)BAsinABC sinC阔lBElBE解：如图，过B作BEAC ,垂足E为，取AC中点F ,连接BF ,uuur uur所以BD和BF共线，所以D点和F点重合，所以D是AC的中点.由中线长定理可得 BD 1 .2AB2 2BC2 AC2 1 , 64 2BC2 AC2 . 5 ,22 . 322223228又 AC AB BC 2AB BC cosB,所以 AC BC - BC.33可得BC 2,AC,A BC sin B sin A AC2,21,由正弦定理可得330_261 且2 . 214 .3BCsinAACsinB，所以7.在中0ABC 中，AC x 1,0 y1uuu uur6,BC 7,cosA 1,O 是 ABC 的内心，若 OP xOA 51,则动点P的轨迹所覆盖的面积为 uuuyOB,其解：因为uuu uuuOP xOAuuuyOB 其中 0 x 1,0 y 1,所以动点P的轨迹为以OA,OB为邻边的平行四边形ADBO的内部（含边界）.因为 AC 6, BC 7,cos A -,BC2 AC 2 AB2 2AB AC cos A 5112所以 49 36 AB2 2 6 AB ,所以 5AB 12AB 65 0,5解得AB5.又 sinA1cos2 A 256所以 S ABC 1 6 5 2-66、, 6.25设ABC内切圆的半径为2:63所以S AOB2 s AOB-AB 10 6 .32.65.6 一 ,所以动点P的轨迹所覆盖的面积为338 .已知平面四边形 ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线 ，其余各 边均在此直线的同侧），且AB 2, BC 4,CD 5,DA 3,则平面四边形 ABCD面积的 最大值为解：设？? ?,在 ?,由余弦定理有?= ?+ ?- ?x ?x ?,同理，在 ?冲,由余弦定理有?= ? ?- ?x ?x ?.? ?所以？?？?？?？.又平面四边形 ?面积为？?=?T?X ?X ? ?x ?=? ?所以？?？?？. 平方相加得 ? ? ?所以-? ? = ?- ? , ,当？? ?= ?时，？取最大值 2?2?9 .在 ABC中，B 60 , AC 收，则AB 2BC的最大值为 解：由正弦定理,知等后?=?建?您以?= ?, ? ? ?= 3?所以?+ ? ? ?. 0 .?(?+?+?)?(?)?/?+? ? . h . 其中？?=?是第一象限的角.因为？ ?10. ABC中，sin A B sinC sinB,D是边BC的一个三等分点(靠近点B ),记sin ABD,sin BAD则当取最大值时，tan ACD 解：因为？?？ ？ = ?W ?=?+?.所以？?所以 ？=?由？e（?,可得:?=?在?冲,由正弦定理可将?=?变形为?赤?= ?即？ ?-?,在 ?冲，由余弦定理得:?= ?+ ?- ?,? ?因为娜？ = ?+ ?=? ? , , ?,? .=廨? ?(?+ ?由?=得？?=?得?=? ?2+ :+? ?7T77-, ?+ ?2? _?+?舜？+?一 =?= ?= 受 = ?(? =?,( )?-?+? , ( )-?+?+?X7；XV 令(浮？ + ?+V? ,即Yu 士？时,？最大.结合可得？?=（许？?）?,?= 口?在?冲,由正弦定理得?=? ?+ V?umr uur uuir11.在 ABC 中，若 AB AC BC2 uuir 2-BC，则3tanBtanC=孕?+凿？ 所以 ?=(?+ ? 即?= ?+ ?+ ?,?解：由(?+?:?辔?？，得(瘀?+?)?(?= ?吵？，即？?-? 孑?=?幽彳?所以？?-?=?即?=?+?，又因为？?= ?+?-，一? OO OO OO一一， 一、?=? ?.?,由与得 ？+ ?= ?+ ?- ?= ?弦 定理得？?？?？?,?W ?W ?勿?？?,?？?？?第=? ?故?12.在 ABC中，角A,B, C所对的边分别是a,b,c.已知 cos2A 3cos B C 1.求角A的大小;(2)若 ABC 的面积 S 573,b 5,求 sinBsinC 的值.解： 由？?+ ? = ?得？?+ ?= ?即（？ ?（? = ?解得 ？?？? 或？?？?（舍去）.因为 ？? ? ?所以 /?=嘏(2)由？?=?v?6?部?？西=行？?？? ?双?= ?故?= ? , rj/V .V?由余弦定理，得？?= ?+ ?- ? ? ? ?做?=?_?_? ? ?又由正弦定理，得？?=赤?为=913.在 ABC中，三个内角A, B,C所对的边分别为 a,b,c,rrrr已知 asin B sin C,sin C sin A ,bsin B sin C,sin A，且 a b.求角B的大小；(2) 若b c cosA, ABC的外接圆的半径为1,求 ABC的面积.解： 因为 ?! ?所以？?- ?+ ?,即?=? ?+ ?- ?由正弦定理得：？?+?- ?所以?衿?= ? 因为?e（?,所以？=?.?99 Q?.Q/?QQ?(2)因为？?？=?所以=，即?= ?- ?又? ?+?-?= ?解得：？?= ?= ?所以？么 ?折?？?:?B13.练习姓名：1 .已知 ABC中，a J2,b 招B 60 ,那么角A等于 解：452 .在 ABC 中，已知 cosAsin Bsin C 2cos Bsin Csin A 3cosCsin Asin B ,则 sinC 的最大值是解：由正、余弦定理转换为边则有V ? ? ? ?= ?= ?时取等号，此时 ?为等边三角形，且面积最大V?_?/？?= ?x 广4 .在平面四边形 ABCD中，A B C 75 ,BC 2 ,则AB的取值范围是 解：延长？?*?交于点 ? ?作?/ ?交？?于点？?？贝U ?x ?x ?x ?=?则?=V?(2)由正弦定理得，?一 诉?=?=?=?K? = ?/?所以?” = r : ?/?= 一, ?第？?所以?=?-?= ?28.设函数 f(x) sinxcosx sin x x R 4(1)求函数f(x)的单调区间； C(2)在锐角 ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若f 2积的最大值.解： 函数 ?= ?- ?j(?e ?.化简可得：? = ?- ? ?) = ?泉? ?+?(? ?,? ?W?W ?+ ?(? ?,即?的递增区间为 ? ?,0,c 2,求 ABC 面?+ ?(? ?,?+?w ? ?+? ? ?,?+ ?w?w ?+ ? ?，可得？?？的递减区间为? ?,?+ 笋(？?e ?.(2)由？7?) =?得，？?因为 ?是锐角三角形，所以？?二 ?由余弦定理得？?=?+?-?=?= ?代入得？?=?+?-V?由基本不等式得 ？?+ ?= ?+ V?,? ?实？?(?+ V?)所以？区?=? ?(?+ v?)?!?= ?+ V?即ABC面积的最大值为 ？?+ V?1415