第一模块逻辑代数基础

For personal use only in study and research; not for commercial use芅第一模块逻辑代数基础蚅一、二、螁本模块学习目标1、2、艿理解数字信号和数字系统的基本概念；掌握二进制数的表示方法，理解8421 BCD 码；3、4、 薈 熟练掌握逻辑代数的基本逻辑运算和基本定律，熟练掌握代数法和卡诺图法化简逻辑函数的基本方法；5、6、 膄 熟悉几种常用的数字器件及其逻辑符号的表示方法。三、四、蒁本模块重点内容肇 1、逻辑代数的基本公式、常用公式和定理。蚆 2、逻辑代数的表示方法（真值表、逻辑式、逻辑图、波形图、卡诺图）及其相关转换方法。薄 3、最小项的定义及其性质、逻辑函数最小项之和表示法。7、8、节逻辑函数的化简方法（公式化简法和卡诺图化简法）。9、10、肈无关项在化简逻辑函数中的应用11、12、螄计数体制权的概念、十进制数与二进制数、八进制数、十六进制数的相互转换。13、14、羃编码的概念与常用编码。羂三、本模块问题释疑腿 1、什么是数字信号和数字电路？膇答：在数值上和时间上均不连续的信号称为数字信号或脉冲信号。输入和输出信号均为数字信号的电路称为数字电路。这类电路研究的目标是它们的输入与输出间的逻辑关系。2、3、 莃 为什么数字逻辑是二值的？螃答：二值的数字逻辑的产生，是基于事物之间彼此相关又互相对立的逻辑状态，并分别用逻辑 1 和逻辑 O 来表示这种逻辑状态。这里的“ 0 ”和“ 1 ”并不表示大小关系，而是表示逻辑关系，即一对相对的物理量。羇 3、数字电路的特点？芅答：数字电路的特点如下：a)b)袂输和和输出信号均为脉冲信号；c)d)蒃电子元件工作在开关状态即要么饱和、要么截止；e)f)肈研究的目的是输入与输出间的逻辑关系，而不是大小和相位关系；g)h)蚈研究的工具是逻辑代数和二进制计数法。薅 4、什么是脉冲波形？罿答：当某波形仅有两个离散值时，通常称之为脉冲波形。肀螆 5、从工作信号和晶体管的工作状态来说明模拟电子电路和数字电子电路的区别。羅答：模拟电子电路中输入和输出信号都是不仅在时间上而且在数值上连续变化的模拟信号，电路中的晶体管是工作在线性放大区，研究内容是电路输出与输入信号之间的大小和相位关系。数字电子电路中输入和输出信号都是不仅在时间上而且在数值上不连续的脉冲信号， 电路中的晶体管是工作在要么饱和要么截止的开关状态，研究的内容是电路输出与输入之间的逻辑关系。蚀 6、十二进制之间的转换规则？袇答：将二进制转换为十进制，需要二进制按权展开再相加便得到二进制。十进制转化为二进制，整数部分除2 取余；小数部分乘2 取整。袄 (101.01)122 0 21 120 0 2 1 1 2 2 (5.25)DB蒀所以： (44.375)D (101100.011)B羈 7、十六二进制之间的转换规则？八二进制之间的转换规则？芇 答：将二进制数中的每4 位与十六进制数对应即得十六进制数；将每位十六进制数用4 位二进制数代替即得到相应的二进制数。将二进制数中的每3 位与八进制数对应即得到八进制数；将每位八进制数用3 位二进制数代替即得到相应的二进制数。螃(374.26)O=（ 011 111 100 . 010 110） B = （ 11 111 100. 010 11） B膀 (AF4.76) H=（ 1010 1111 0100 . 0111 0110） B = （ 1010 1111 0100 .0111 011） B15、16、羀 逻辑运算中“ 1”和“ 0”是否表示两个数字？逻辑加法运算和算术加法运算有何不同？莅 答：逻辑运算中的“ 1 ”和“ 0 ”只是表示两个相反的逻辑状态，如高和低，开和关，通和断，是和非等等，不是算术运算中的两个数字。逻辑加法运算是一种“或”逻辑关系，所以1+1=1 ，而不像十进制算术加法运算中1+1=2 ，或二进制加法运算中1+1=10 。17、18、芃列举逻辑函数的四种表示方法？羁答：逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、卡诺图和波形图。螇螈 10、“与”“或”“非”运算的规律？蚂 答：与运算：输入有0 得 0，全 1 得 1；或运算：有1 得 1，全 0 得 0；非运算：0 变 1， 1 变 0，即“始终相反蚁 11、逻辑代数和普通代数有什么区别？袈答：逻辑代数和普通代数的主要区别有：a)b)袆逻辑变量有原变量和反变量两类，普通代数中没有反变量一说。c)d)莆 逻辑变量的取值只有“0”和“ 1 ”两个，而普通代数中变量可取任意值。e)f)莂逻 辑代数中的各种运算都是逻算。同样，逻辑变量的两个取值“而只是代表两个相反的状态而已。辑运 算，而 不是 普通代数中 的数值 运0 ”和“ 1”，也不代表数值的大小，g)h)袀逻辑代数中的基本运算只有逻辑乘（“与”）、逻辑加（ “或” ）和逻辑“非”（求反或否定）三种，不像普通代数中有加、减、乘、除四种。羄 12、逻辑代数的特点？螅答：逻辑代数的特点如下：膂 1）它的所有变量与函数值仅有两个特征值0 和 1，具有排中性，它们所表示的是一对互为相反的差异，它的公式、规律、定理与主义均用二值逻辑的因果关系来理解；蚇 2 ）逻辑代数只有 3 种基本运算，即与、或、非。莇 13、什么是代入规则？膄答：在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替，则等式依然成立。袂 14 、什么是反演规则？蝿答：若求一个逻辑函数Y 的反函数时，只要将函数中所有“”换成“+”，“ +”换成“ ”；“ 0 ”换成“1”，“ 1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；则得到的逻辑函数式就是逻辑函数Y 的反函数。蒅YABCDEYABCDE蚄 15 、什么是对偶规则？蚃答： Y 是一个逻辑表达式，如果将Y 中的“ ”换成“+”，“ +”换成“ ”；“ 0”换成“ 1 ”，“ 1”换成“0 ”；所得到新的逻辑函数式Y，就是Y 的对偶函数。袀YABCDEYABCDE16、17、 袇运用基本规则的注意事项？肃答：运用规则必须注意运算符号的先后顺序，必须按照先括号，然后按先与、后或的顺序变换，而且保持两个及两个以上变量的非号不变。莃 17、最小的性质？蚇答：最小的性质如下：1)2)羆 对于任意一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为1 ，而取其它值时，这个最小项的值都是0。3)4)蒂若两个最小项之间只有一个变量不同，其余各变量均相同，则称这两个最小项满足逻辑相邻。5)6)衿对于任意一种取值全体最小项之和为1 。7)8)虿 对于一个 n 输入变量的函数，每个最小项有n 个最小项与之相邻。肄 18、最小项编号的方法？羂答：先将最小项的原变量用1，反变量用0 表示，构成二进制数；将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号。19、20、 薀什么是逻辑相邻项？螀答：卡逻辑相邻项是指：诺图中上下、左右之间的最小项；水平方向里同一行最左和最右；垂直方向同一列最上和最下以及四个角为逻辑相邻项。21、22、 蒇利用卡诺图全并最小项的规律？薅答：圈 0得到反函数，圈1 得到原函数。只有满足2m 个最小项的相邻项才能合并，并可消去m个不同变量，保相同变量。23、24、莀画卡诺圈的注意事项？薇答：注意事项如下：i)j)薅 卡诺圈应按2n 方格来圈，卡诺圈越大越好，越少越好；k)l)肅 卡诺圈中的“1”可以重复使用；m)n)肁 每个圈至少有一个从来没被圈过的“1”，否则为多余圈。o)p)蕿 包围圈越少越好，包围圈中“1 ”越多越好。25、26、 羇 4 变量和 5 变量的卡诺图有几个方格？蒄答： 4 变量的卡诺图为16 个方格。5 变量的卡诺图有32 个方格。27、28、 袁什么是最小项?蚀答： n 个变量X1 , X 2, ， Xn 的最小项是n 个因子的乘积, 每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现, 且仅出现一次。又称标准积项。29、30、 肆如何理解逻辑状态表和卡诺图是惟一的？袃答：逻辑状态表中包含了所有输入变量的全部取值组合及其对应的输出变量的取值，反映了逻辑问题的全部因果关系，因此对一个逻辑问题来说它是惟一的表示方法。薁卡诺图画出了所有变量组成的全部最小项所占有的小方块，这些小方块中取1的部分恰好是逻辑函数中取1 的最小项，它同样反映了逻辑问题的全部因果关系，所以也是唯一的。蒈由上可见，用最小项表示的逻辑式也应该是惟一的。31、32、 蒈什么是正逻辑和负逻辑？有何相互转换的方法？莃答：正逻辑：规定高电平为“1”，低电平为“0”。莂 负逻辑：规定低电平为“1”，高电平为“0”。葿33、34、 薆什么是无关项？卡诺图中无关项如何处理？螂答：在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关基或任意项。无关项的输出是任意的，如果它对函数化简有利，则认为它是“1 ”；反之，则认为它是“ 0”。肀四、本模块例题详解蕿【例 1】蚃 1、将 11110101.011 2 转换成十进制数蒄解：11110101.011 2 127126125124023122021120021122123袁245.37510莆 2、一数字信号的波形如图1.1.1所示，试问该波形所代表的二进制数是什么？肅袃 解： 0101 1010薁 3、将下列每一二进制数转换为十六进制码：蒇(1) 101001B(2) 11.01101B膄解： (1) 101001B=29H(2) 11.01101B=3.68H莂 4、将下列十六进制数转换为二进制数：肇(1) 23F.45H(2) A040.51H葿 解： (1) 23F.45H=10 0011 1111.0100 0101B薆(2) A040.51H=1010 0000 0100 0000.0101 0001B螂螈芆【例 2】将 245.42 8 转换为十进制数解：245.42 8224150481282165.53125 10蚅888膁【例 3】薈 1、将 245.42 16 转换为十进制数莇解： 245.42 16 22101612162581.2578125 10164 16516 4螃 2 、将下列十进制数转换为二进制数、八进制数、 十六进制数和8421BCD 码（要求转换误差不大于2-4 ）：薁(1) 43(2) 127(3) 254.25(4) 2.718艿 解： (1) 43D=101011B=53O=2BH ；43 的 BCD编码为 0100 0011BCD 。葿 (2) 127D=1111111B=177O=7FH； 127的 BCD编码为 0001 0010 0111BCD。膅 (3) 254.25D=11111110.01B=376.2O=FE.4H；001001010100.00100101BCD。肀 (4) 2.718D=10.1011 0111B=2.56O=2.B7H；0010.0111 0001 1000BCD。聿3 、 将下列十进制转换为十六进制数：芆(1) 500D(2) 59D(3) 0.34D(4) 1002.45D芄解 (1) 500D=1F4H(2) 59D=3BH(3) 0.34D=0.570AH(4) 1002.45D=3EA.7333H螃 4 、 将下列十六进制数转换为十进制数：蝿(1) 103.2H(2) A45D.0BCH芈解： (1) 103.2H=259.125D(2) A45D.0BCH=41024.046D蚆膃 【例 4】求 1110111.1101111 2? 8 ； 1110111.1101111 2 ? 16薀解： 001，110， 111 110，111， 100肅16 7674故： 1110111.1101111 2 167.674 8螄 0111， 0111 1101， 1110薂77DE故： 1110111.1101111 2 77.DE 16芀【例 5】求 374.28？2374.2 16 ? 2膆解：袃011, 111, 100.010故 374.2 8 11111100.01 2羁374.2羀0011, 0111, 0100 . 0010故 374.2 16 1101110100.001 2膈374.2芅【例 6】求5110 ?2蒁解：251余数螁2251b0 低位羅2 121b1莃2 60b2袀230b3蒁2 11b4肆01b5 高 位5110b543b21021100112b bb b蚆薄 【例 7】求0.785 10? 2 ，要求精确到小数点后第5 位。羈解： 0.78521.57b肈0.5721.14b袄0.1420.28b羃0.2820.56b蚈0.5621.12b12345110010.785 100.11001 2袅 【例 8】用逻辑代数证明下列不等式羃(a)AABAB莂证明：由交换律ABC( AB)( AC ) ，得蒈AAB(AA)(AB)AB羇(b)ABCAB CABCABACABCABCABC A(BC BC BC ) A(C BC )芅证明：B)AB ACA(C袂(c)AAB CA CDCD EACDEAABCACDCD EAACD(CD)E腿证明：_ACDCDEACDE_ _肈(d)ACABCB CABC_ _ _莃证明： ACA BCBCABCACBCB CABC_ _ACCABCCABCC芁(e) ABCDABC D AB AD ABCABCDABCDABADABCABABCDAD罿证明：A(BBCD)ADABACDADABA(DDC)ABADAC_袅(f) ( AB BD )C BD ( AC ) D ( A B )_(ABBD )CBD (AC )D (AB)螆证明：ABCBCDBD(AC)DABA BCBC DABDBCDABDABCBCDABBCD蚀【例 9】虿 1.利用与非门实现下列函数袇(a) L=AB+AC_ _袄LABAC_ _莄(b) LD ( A C )_ _蒀LD(AC)DAC_ _羈(c) L(AB)(CD )_ _羂L (A B)(C D) ABCD螃膀 2.将下列各式转换成与 或形式_螅(a)ABCD_莅芃羁1)当AB 0，C D 1时，真值为 1。于是(AB=01 ， CD=00 或 CD=11 时，真值为1；AB=10 ， CD=00 或 CD=11 时，真值为1。螇则有四个最小项不为0，即 ABC D 、 ABCD 、 ABC D 、 ABCD_蒃(2)当 A B1，C D0 时，真值为 1。蚂 AB=00 ， CD=10 或 CD=01 时，真值为 1；蚁AB=11 ，CD=10 或 CD=01 时，真值为 1。袈则有四个最小项不为0，即 AB CD 、 AB C D 、 ABCD 、 ABC D_ABCDm(1,2,4,7,8,11,13,14)袆_ _ _肁 (b) A B C D C D A D_ _ _ABCDCDAD(AB)(CD)(CD)(AD)(CD)(ABD)ACADBCBDCDD莁ACBCD_ _ _蚆 (c) AC BD BC AB_ _ _ _ _ _ _AC BDBC ABAC BDBC AB羄(A C)(B D) (B C)(A B)ABBC ADCD ABACB BCBADC DA C薁袈 【例 10】用代数法求FABACBCABCD 的最简与或式。蚇解： FABACBCABCDABACBC肂ABABCABABCABC羀 【例 11】求 FACABCBCABC 的最简与或式。蚈解：这种类型的题目，一般首先对是非号下的表达式化简，然后对整个表达式化简。螈FACABCBCACBCBCACCC蒅故：FFABCCABCC蚄莈 【例 12】 用卡诺图法求F1 A， B， C， D m 0，2，4，7，8，10，12，13 的最简与或式。薆解：F 1 的卡诺图及卡诺圈画法如图1.1 所示薃所得最简与或式为F 1B DC DABC ABCD肃注意：卡诺图左上角的变量分布根据不同的习惯有不同的写法，如另一种写法为对于这种写法，卡诺图中填1 的方格也要相应改变为如图1.2 所示。CD/AB，聿蚇羆蒂衿蚈图 1.1 F1 的卡诺图图 1.2F 1 的另一种卡诺图肄初学者常常犯这样的错误，在画卡诺图时， 变量的分布按图1.2 中的式样填写成CD/AB ，而在方格中填“ 1”时，却按图1.1 的样式填写，因而导致错误的结果。羂按照习惯，在画卡诺图时，从左上角到右上角，变量A 、 B、 C、 D 排列的顺序与函数F A，B， C，D 括号中的排列一致，或与真值表上的变量排列一致。薀 【例 13】 求 F 3 A，B，C，D m 0，1，4，5，6，7，9，10，11，13，14，15 的最简与或式。蒆解：F 2 的卡诺图及卡诺圈画法如图1.3 所示。蒆所得 F 2 最简与或式：F 2 ACCDBCAC莁注意：对同一个函数的卡诺图，有时存在不同的卡诺圈画法，因而所得的最简与或式的表达式不是唯一的， 但不同表达式中与项的数目应该是相同的。 例如：此题的另一种卡诺圈画法如图 1.4 所示。莀根据F 2 卡诺图后一种卡诺圈的画法，所得F 2 最简与或式为薇 F 2ACABADAC薅从上述的F 2 两种最简与或式中可知，它们的与项数目相同，化简程度一样，都是正确的答案。螀 【例 14】 求 F 3 A，B，C，D m 1，3，4，7，13，14 d 2，5，12，15 的最简与或式。肀解：这是利用无关最小项化简逻辑函数的例题，F 3 的卡诺图及卡诺圈画法如图1.5 所示。蕿所得最简与或式：F 3ABBCAD蚃注意：最小项 m2 所对应方格中的 d 既可看成 1，也可看成故可把它看成 0 而不圈它，如果圈它，就达不到化简的效果。蒄袁蒈莆图 1.3F 2的卡诺图F 2羇芅0，由于它对扩大圈1 无帮助，CD00011110肅AB葿莃薁螄薈 00膅 1袀蒇1薂肀d膄 1聿蒁芀莇01d袃图 1.5F 3 的卡诺图_袂ABCDm(1,2,4,7,8,11,13,14)_ _腿(b)ABCDCDAD_ _ _ABCDCDAD(AB)(CD)(CD)(AD)肈(CD)(ABD)ACADBCBDCDDACBCD_ _ _莃 (c) AC BD BC AB_ _ _ _ _ _ _AC BDBC ABAC BDBC AB芁(A C)(B D) (B C)(A B)ABBC ADCD ABACB BCBADC DA C罿袅螆蚀虿袇袄莄蒀以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 , .For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f r den pers?nlichen f r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales.For personal use only in study and research; not for commercial use