中考数学专题动态几何与函数问题

中考数学专题中考数学专题-动态几何与动态几何与函数问题函数问题 晋江市新侨中学晋江市新侨中学唐水英唐水英2013年年6月月5日日试题特点试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中统一，体现了数学中“变变”与与“不变不变”、“一般一般”与与“特殊特殊”的辩证思想其主要类的辩证思想其主要类型有：型有：1点的运动（单点运动、多点运点的运动（单点运动、多点运动）；动）；2线段（直线）的运动；线段（直线）的运动；3图形的图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）等）方式趋势方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型在近几年各地的中考试卷中，以动点问型在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力化中看到不变实质的数学洞察力一、点的运动一、点的运动（2011盐城）如图盐城）如图1，已知一次函数，已知一次函数yx7与正比例函数与正比例函数y x的图象交于点的图象交于点A，且与，且与x轴交于点轴交于点B (1)求点求点A和点和点B的坐标；的坐标； (2)过点过点A作作ACy轴于点轴于点C，过点，过点B作直线作直线ly轴，动点轴，动点P从点从点O出发，以每秒出发，以每秒1个单位长的速度，沿个单位长的速度，沿OCA的路线向的路线向点点A运动；同时直线运动；同时直线l从点从点B出发，以相同速度向左平移，在平移出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线过程中，直线l交交x轴于点轴于点R，交线段，交线段BA或线段或线段AO于点于点Q当点当点P到达点到达点A时，点时，点P和直线和直线l都停止运动在运动过程中，设动点都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为运动的时间为t秒秒 当当t为何值时，以为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为为顶点的三角形的面积为8? 是否存在以是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求求t的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由43【思路】【思路】 (1)联立方程联立方程yx7和和y x即可求出点即可求出点A的坐标，令的坐标，令x70即可得点即可得点B的坐标的坐标 (2)只要把三角形的面积用只要把三角形的面积用t表示，求出即可应注表示，求出即可应注意分意分P在在OC上运动和上运动和P在在CA上运动两种情况上运动两种情况 （D只要把有关线段用只要把有关线段用t表示，找出满足表示，找出满足APAQ，APPQ，AQPQ的条件时的条件时t的值即可，应注意分别讨论的值即可，应注意分别讨论P在在OC上运动（此时直线上运动（此时直线与与AB相交）和相交）和P在在CA上运动上运动（此时直线（此时直线与与AO相交）时相交）时APAQ，APPQ，AQPQ的条件的条件43【失分点】以【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周有多种可能，容易考虑不周 【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定判定 【牛刀小试】1（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB90，AD2DC4，AB6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线CDA向点A运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线AD，与线段CD的交点为E，与折线ACB的交点为Q点M运动的时间为t（秒） (1)当t0.5时，求线段QM的长 (2)当0t2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究是否为定值若是，试求这个定值；若不是，请说明理由二、线的运动二、线的运动 【题2】 （2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为yx6，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持nl直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S当直线n与直线l重合时，运动结束 (1)求A，B两点的坐标 (2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围 (3)直线n在运动过程中， 当t为何值时，半圆与直线l相切？是否存在这样的T值，使得半圆面积SS梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。 【思路】【思路】 (2)用勾股定理求出用勾股定理求出CD的长（用的长（用t表示），即表示），即可求出可求出S与与t的函数关系式；的函数关系式；(3)半圆面积半圆面积SS梯形梯形ABCD ，可表示为关于可表示为关于t的方程，是否存在的方程，是否存在t值，即方程是否有值，即方程是否有解解【失分点】将是否存在【失分点】将是否存在t值转化为方程是否有解的问题，值转化为方程是否有解的问题，是本题的难点和失分点是本题的难点和失分点【反思】这是一道典型的【反思】这是一道典型的“线段运动型线段运动型”的动态几何问的动态几何问题，线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化（如题，线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化（如三角形、平行四边形等），问题常以求图形面积的最值，三角形、平行四边形等），问题常以求图形面积的最值，或者探究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出或者探究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出现解决此类问题时，一是要选择适当的求图形面积的现解决此类问题时，一是要选择适当的求图形面积的方法若是规则图形，可以直接选择面积公式计算；若方法若是规则图形，可以直接选择面积公式计算；若是不规则图形，一般情况下选择割补法，通过是不规则图形，一般情况下选择割补法，通过“割补割补”将不规则图形转化为规则图形解决，二是要根据线段的将不规则图形转化为规则图形解决，二是要根据线段的运动变化过程，探究其他图形的运动变化规律有效的运动变化过程，探究其他图形的运动变化规律有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形，方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形，确定线段运动变化的不同阶段，从而判断随之而动的其确定线段运动变化的不同阶段，从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置，他图形的一般位置和特殊位置，三、图形运动类三、图形运动类 （2011连云港）已知AOB60，半径为3 cm的 P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C (1) P移动到与边OB相切时（如图11），切点为D，求劣弧的长； (2) P移动到与边OB相交于点E，F，若EF4 cm，求OC的长【思路】【思路】(1)要求弧长，就要求弧长所对的圆心角，故作要求弧长，就要求弧长所对的圆心角，故作辅助线辅助线PC，PD，用四边形的内角和是，用四边形的内角和是360，可求圆心，可求圆心角，从而求出弧长角，从而求出弧长 (2)应考虑应考虑CP延长线与延长线与OB的交点的交点N的位置，分情况的位置，分情况ONOF，OEONOF，OEONOF 【反思】涉及的主要知识点有：多边形的内角和，【反思】涉及的主要知识点有：多边形的内角和，弧长公式，勾股定理，特殊角三角函数弧长公式，勾股定理，特殊角三角函数解题策略解题策略 虽然动态几何问题运动类型多样，题目变化复虽然动态几何问题运动类型多样，题目变化复杂，涉及知识广泛，但是在解题方法和技巧上也杂，涉及知识广泛，但是在解题方法和技巧上也有共性可循，建议要能够结合不同的问题，提炼有共性可循，建议要能够结合不同的问题，提炼共同的解题方法和技巧，学会归纳总结比如解共同的解题方法和技巧，学会归纳总结比如解决动态几何问题总的来说有三个步骤：决动态几何问题总的来说有三个步骤：1设出初设出初始变量元素；始变量元素；2用初始变量表示图形中其他的变用初始变量表示图形中其他的变量；量；3运用几何知识建立方程或函数模型来解决运用几何知识建立方程或函数模型来解决问题问题 注意把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，注意把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在在“动动”中求中求“静静”，在，在“静静”中探求中探求“动动”的的一般规律，通过探索、归纳、猜想，获得图形在一般规律，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质运动过程中是否保留或具有某种性质祝同学们祝同学们2013中考考出好成绩！中考考出好成绩！努力吧！努力吧！加油！加油！机会属于机会属于你哦！你哦！