曲线的局部微分几何

作者：王幼宁第二章曲线的局部微分几何7特殊曲线组曲线与曲线之间的相互关系，是曲线论中的重要关系；除了合同关系和对称关系之外，还有许多特殊关系在理论和实际应用中有用在讨论特殊曲线组的过程当中，几何直观以及Frenet公式都是不可或缺的对于两条曲线，如果其间存在对应关系使两者参数之间的变换成为正则参数变换，则两者之间的对应称为正则对应正则对应的两条曲线可以取相同的参数，而使同一个参数值同时表示出两个互相对应的点以下总考虑曲线之间的正则对应，并通常简称为“对应”一Bertrand曲线 定义1对于无逗留点的两条不重合正则对应曲线，若它们在对应点总具有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶或互为共轭曲线，而其中每一条曲线都称为另外一条曲线的侣线，每一条曲线都称为一条Bertrand曲线同心圆周显然是Bertrand曲线偶一般地，平面上的无逗留点曲线都是Bertrand曲线，其侣线可取为主法线上到原曲线的有向距离为适当常数的点的轨迹（参见习题）所以以下将主要考虑非平面曲线成为Bertrand曲线的条件首先讨论Bertrand曲线的性质，再确定其内在方程特征性质1Bertrand曲线偶的对应点之间的距离为常数，对应点处的切线夹角为常数证明：设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 有侣线 C*: r = r*(s) ，则可写r*(s) = r(s) + a(s) N(s) ，N*(s) = N(s) ；其中 a(s) = r*(s) - r(s)N(s) 为对应点之间的有向距离函数，并且关于参数连续可微现a(s) = r*(s) - r(s)N(s) + r*(s) - r(s)N (s) = T*(s) - T(s) N(s) + a(s)N(s)N (s) = T*(s)N*(s) = 0 ，从而对应点之间的距离为常数 |a| 0 进一步， T(s)T*(s) = k(s)N(s)T*(s) + T(s) k*(s)N*(s) = k(s)N*(s)T*(s) + k*(s)T(s)N(s) = 0 ，从而对应点处切线的夹角余弦为常数，进而夹角为常数o性质2设弧长 s 参数化Bertrand曲线 C: r = r(s) 有侣线 C*: r = r*(s) = r(s) + a N(s) 若 C 不是平面曲线，则存在常数 b 使 ak(s) + bt(s) 1 证明：两条曲线不重合即 a 0 由性质1，进一步可写(7.1)T*(s) = r(s) + a N(s) = 1 - ak(s) T(s) + at(s) B(s) 注意到同理有 B(s)T*(s) = -t(s)N(s)T*(s) + B(s) k*(s)N*(s) = 0 ，故单位向量 T*(s) 与 T(s) 和 B(s) 的夹角恒为常数（且与 N(s) 垂直），即存在分解式T*(s) = T(s) cosq + B(s) sinq ， 其中 q 为常数与 (7.1) 式相比较，现若sinq = 0 ，则对应切向相同，挠率将恒为零，导致矛盾故只能有 sinq 0 ，此时1 - ak(s):at(s) cosq : sinq ，可等价写为1 - ak(s) = at(s) cotq 取常数 b = a cotq ，便得证o定理1（Bertrand曲线内在特征）挠曲线 C: r = r(s) 是Bertrand曲线的充要条件为存在常数 a 0 和常数 b 使 ak(s) + bt(s) 1 证明：由性质2，已知必要性只要再证充分性即可，即对满足条件的挠曲线 C 证明其为Bertrand曲线为此，构造与 C 不重合的曲线 C*: r = r*(s) = r(s) + a N(s) ，试图证明 N*(s) = N(s) 计算可得 (7.1) 式，整理为(7.2)T*(s) = b T(s) + a B(s) t(s) 两边取模长，则知 t(s) 1 ，(7.2) 式化为 T*(s) = b T(s) + a B(s) 此式再对参数 s 求导，得 = b k(s) N(s) - a t(s)N(s) = b k(s) - a t(s) N(s) 以下分两种情形讨论：情形（1） 现若 T* = const. ，则上式左端为零，从而b k(s) - a t(s) = 0 ，再由条件可得k(s) = ，t(s) = ，故此时 C 为圆柱螺线，为特殊的Bertrand曲线（请读者自证）情形（2） 现若 T* const. ，则上式化为 k*(s) N*(s) = b k(s) - a t(s) N(s) 由此即知 N*(s) = N(s) ，C 即为Bertrand曲线综合以上两种情形，结论得证o二渐伸线与渐缩线 图2-12在工业设计中，经常要用到特殊的曲线或曲面的特性就熟知的曲线而言，圆周的渐伸线是例子之一在平面上固定圆周，在圆周上固定一点并取为细线的一个固定端点，拉住另外一个端点将细线拉直并且与圆周相切于固定端点假设细线总长度保持不变；此时，将细线缠绕在圆周上并保持未缠部分是拉直的，则细线的运动端点的轨迹就是圆周的一条渐伸线将上述直观过程逆过来，容易写出该渐伸线的参数方程，例如r(t) = (a cos , a sin ) - t (-sin , cos ) ，其中 t 是所给圆周的弧长参数从动点轨迹的运动方式可以看出，上述圆周的切线与渐伸线相交时，总与渐伸线在交点处的切线垂直将这种属性抽象出来而用于一般曲线偶，引入下述定义定义2对于两条正则对应曲线 C 和 C* ，若它们在对应点总具有垂直的切线，并且对应切线的交点位于 C* 的对应点之上，则称曲线 C* 为曲线 C 的一条渐伸线或渐开线，同时称曲线 C 为曲线 C* 的一条渐缩线为了进一步明确渐伸线与渐缩线的关系，下面分析它们的位置关系以及基本几何量的相互关系在正则对应下，设曲线 C: r(s) 及其渐伸线 C*: r*(s) 同时以 C 的弧长 s 为参数，则(7.3) r*(s) = r(s) + a(s) T(s) ，(7.4) T*(s)T(s) 0 ，其中函数a(s) = r*(s) - r(s)T(s) 连续可微对 (7.3) 式关于 s 求导，得(7.5)T*(s) = T(s) + a(s) T(s) + a(s) T (s) ；两端同时点乘 T(s) 并注意到 (7.4) 式，即得a(s) + 1 0 ，此即说明存在常数 c 使a(s) = c - s ，从而位置关系可表示为(7.6) r*(s) = r(s) + (c - s) T(s) 前面圆周的渐伸线就是此处常数 c 等于零时的那一条此时 (7.5) 式改写为(7.7)T*(s) = (c - s) T (s) ，说明曲线 C 只能是无逗留点的曲线，否则不能与其渐伸线正则对应；并且(7.8) = ( c - s) k(s) ，(7.9)T*(s) = N(s) ，其中参数取值限定范围或为 s c ，对应于正负号的取值对 (7.9) 式关于 s 求导，得(7.10) k*(s)N*(s) = -k(s)T(s) + t(s)B(s) ，结合 (7.8) 式即有(7.11) |c - s|k(s)k*(s) = 由此可知，对于平面上的无逗留点曲线 C: r(s) 及其渐伸线 C*: r*(s) ，成立(7.12) |c - s|k*(s) 1 ，即渐伸线的曲率半径恰好等于两条曲线对应点之间的距离 |c - s| ，因而随着 |c - s| 增加而使渐伸线弯曲程度越来越小由 (7.6) 式和 (7.10) 式并结合 (7.8) 式可证，无逗留点平面曲线的渐缩线恰好是原曲线曲率中心的轨迹(7.13) r = r* + N* = r* + Nr* 利用此式可以方便地确定平面曲线渐缩线的分量表达式，从而解决相关的直接计算问题若先知挠曲线，则其渐缩线的位置向量表达式较为复杂；但是，使用在适当标架下分解并确定待定系数的方法，总可以将其确定为原来曲线所完全决定的参数方程形式（留作习题）三单参数曲线族的包络 以上两段所考虑的都是两条曲线之间的关系，这里将考虑曲线族与其它曲线的关系，并只讨论较为简单的情形先观察一个现象.设弹道曲线是平面直角坐标系 O-xy下的一族抛物线Ca: y = x tan a - ，a(0, ) ，b = ， y x O 图2-13其中 g 和 v0 分别是重力加速度数值和炮弹出口速率，都设为常数观察第一象限内由弹道曲线族所经过区域的上缘边界线 C ，它同时是弹着点外区域的边界线，通常称为安全线直观感觉上，对曲线 C 上的任何一点，在抛物线族中有且只有一条抛物线经过该点，并且是与曲线 C 公切于该点当抛物线族的参数 a 连续变动时，它与曲线 C 的切点同时在曲线 C 上连续可微变动，并且对于相近的切点而言，所在的两条抛物线上对应于本身参数 x 的取值 xa 也很相近；曲线 C 上可以取参数 a 作为正则参数，此时抛物线上对应于公切点的本身参数取值 xa 也是参数 a 的连续可微函数这些感觉利用下面的理论可以得到验证定义3对于给定的单参数 l 正则曲线族 Cl: r(t, l) 和对应的正则曲线 C*: r*(l) ，对应关系为 r*(l) = r(t(l), l) ；设曲线族和对应关系关于参数 l 都是连续可微的，即函数 t(l) 和二元向量函数 r(t, l) 都是连续可微的若对 C* 上的任意点 r*(l) ，都存在唯一一条对应曲线 Cl 切于该点，而且 C* 和每一条 Cl 有且仅有一个公共点并是它们的公切点，则称曲线 C* 为单参数曲线族 Cl 的一条包络线，简称包络例1挠曲线局部为其切线族的包络，切线族的单参数就取为挠曲线的正则参数注意，定义中的连续可微性条件有时在求解包络时当成先验假定，此时需要反验其合理性另外，如此定义的包络线是“狭义”的现在讨论如何从已知的单参数曲线族确定其包络按定义中的记号，在对应点 r*(l0) = r(t(l0), l0) 处，曲线 C* 具有切向(7.14) = = + ；而相应的曲线 C 在对应点 t(l0) 处具有切向(7.15) = 由于对应点是公切点，这两个切向平行，即外积为零，等价化为(7.16) ( )| = 0 这就是具有包络的单参数曲线族所必须满足的条件反之，注意 (7.16) 式能够保证对应点为公切点，故已经导出了单参数曲线族确定包络的判别条件如下定理2给定连续可微单参数 l 正则曲线族 Cl: r(t, l) 如果判别式(7.17) = 0 决定了连续可微的函数t = t(l) ，那么，该曲线族的包络若存在则只能确定为曲线 r(t(l), l) ；而若判别式无解函数 t = t(l) ，则该单参数曲线族没有包络注记：判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置判别式如果是平凡的，曲线 r(t(l), l) 有蜕化为非正则曲线的可能；此时需要反验是否符合包络条件对于平面上的连续可微单参数 l 正则曲线族 Cl: r(t, l) ，在平面直角坐标系下写 r(t, l) = (x(t, l), y(t, l) ，则判别式改写为(7.18) = 0 例2本段开始所给的弹道曲线族以 x 为正则参数，有 = (1, tan a - ) ， = (0, x sec2a - ) ，判别式决定了非平凡的函数关系2x tan a = b 故安全线参数方程用参数 a 写为r(x(a), a) = ( cot a , - ( cot a )2) = (cot a , 1 - ) = (cot a , - cot2 a ) 这里 x(a) 是可逆函数，故安全线参数方程用参数 x 也可写为抛物线r(x, a(x) = (x, - ) 例3单参数抛物线族 Cl: r(t, l) = (t, t2 + l) 中每条曲线都以 t 为正则参数，有 = (1, 2t) ， = (0, 1) ， = 1 0 ，判别式没有解函数，故这个抛物线族没有包络最后提一句，在齿轮的啮合理论中，包络概念和渐伸线概念是非常有用的习题已知两条正则对应曲线在对应点的切线重合试证：这两条曲线重合j已知两条正则对应曲线在对应点的从法线重合试证：这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线已知两条无逗留点正则对应曲线在对应点的切线平行试证这两条曲线在对应点：主法线平行，从法线平行，挠率与曲率的比值相等j试利用特征定理证明：Bertrand挠曲线若不是圆柱螺线，则存在唯一一条侣线试将无逗留点曲线的渐伸线的挠率用原曲线的几何量表示出来已知弧长参数化曲线 C: r(s) 对应有两条不同的渐伸线 C1: r1(s) 和 C2: r2(s) 试证：当且仅当曲线 C 是平面曲线时，C1 和 C2 成为Bertrand曲线偶求以下平面曲线的渐缩线参数方程：弧长 s 参数化曲线 r = (x(s) , y(s) ；正则曲线 r = (x(t) , y(t) ；椭圆 r = ( cos t , 2 sin t )；旋轮线 r = ( t - sin t , 1 - cos t ) 已知弧长参数化挠曲线 C: r(s) ，试将其渐缩线 C*: r*(s) 确定为曲线 C 所完全决定的参数方程形式已知两条无逗留点曲线 C 正则对应于曲线 C* ，并且在对应点使 C 的主法线重合于C* 的从法线试证：两条曲线对应点之间的距离恒为某常数a0 ，并且曲线 C 的曲率和挠率满足限制条件 a (k2 + t2) = k 已知平面上的单参数 l 直线族 Cl: r(t, l) = (t , a(l) - b(l)t) ，其中两个函数 a(l) 和 b(l) 连续可微且 b(l) 不取零值试确定其包络的参数方程已知连续可微单参数 l 平面曲线族 Cl: r(t, l) = (x(t, l), y(t, l) 由隐式方程 F(x, y, l) = 0 给出，其中梯度向量 (Fx , Fy ) 0 试证：其包络的判别式为 - 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