2018届湖南省常德市高三上学期检测考试（期末）数学（文）试题（解析版）

2018届湖南省常德市2018届高三上学期检测考试（期末）数学（文）试题（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】=,中元素的个数为2,选A2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】 对应的点为(2,-1), 所在的象限为第四象限,选D3. 在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】从中五本史书任意选出两本史书，共有10种基本事件,其中选出的两本史书编号相连有4种基本事件,概率为 ,选C4. 元朝著名数学家朱世杰四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，那么在这个空白框中可以填入（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为将酒添加一倍，后饮酒一斗，所以，选B5. 已知向量，若满足，则向量的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为,所以 ;因为,所以 ,因此 ,选D6. 已知棱长为的正方体的四个顶点在半球面上，另四个顶点在半球的底面大圆内，则该半圆表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ,所以该半圆表面积为 选A7. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ）A. 的周期为 B. C. 是的一条对称轴 D. 为奇函数【答案】C【解析】由题意得 ，所以周期为，不是的对称轴，为奇函数，选C8. 函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以舍去D,B;舍A,选C点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】几何体的高为2,底面为边长为2,且一内角为的菱形, 因此侧面积为 ,选A点睛:空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用10. 已知函数（其中），则下列选项正确的是（ ）A. ，都有 B. ，当时，都有C. ，都有 D. ，当时，都有【答案】B【解析】因为当时，所以舍去C,D因为 ，所以A错，选B.11. 记，其中表示不超过的最大整数，若方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时，；当时，；所以 ，选D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12. 已知分别为双曲线的左右顶点，两个不同动点在双曲线上且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 所以 时取最小值，此时 ，选B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线在点处的切线的方程为_【答案】【解析】 14. 设满足条件，则目标函数的最小值为_【答案】【解析】可行域如图，直线过点A 时取最小值点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知某产品连续个月的广告费（千元）与销售额（万元）（），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：；广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；回归直线方程中的.那么广告费用为千元时，则可预测销售额约为_万元.【答案】【解析】 因此 16. 在中，角的对边分别为，且满足，则角_【答案】【解析】因为，所以，因此 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列的通项公式为，求的值及此时数列的前项和.【答案】(1)；(2)，.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得，再验证时，也符合，（2）由等比数列性质得，代入解得k,再根据等比数列求和公式得.试题解析：（1）当时，当时，时，也符合，（2）为等比数列，即，解得或又时，不合题意，此时，.18. 年月某城市国际马拉松赛正式举行，组委会对名裁判人员进（年龄均在岁到岁）行业务培训，现按年龄（单位：岁）进行分组统计：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如下：（1）若把这名裁判人员中年龄在称为青年组，其中男裁判名；年龄在的称为中年组，其中男裁判名.试完成列联表并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为裁判员属于不同的组别（青年组或中年组）与性别有关系？（2）培训前组委会用分层抽样调查方式在第组共抽取了名裁判人员进行座谈，若将其中抽取的第组的人员记作，第组的人员记作，第组的人员记作，若组委会决定从上述名裁判人员中再随机选人参加新闻发布会，要求这组各选人，试求裁判人员不同时被选择的概率；附：【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据条件对应填数据得列联表，再代入卡方公式求，最后比较参考数据作判断（2）先根据分层抽样得三组人数，再根据枚举法得总事件数，从中确定三组各抽取一人事件数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：（1）各组频率分别为：，这人中，来自各组的分别有人，青年组有名，中年组名，列联表如下：男女合计青年组中年组合计故不能“在犯错误的概率不超过的前提下认为裁判员属于不同的组别（青年组或中年组）与性别由关系”.（2）由频率分布直方图可知：第组的裁判人员分别为人，人，人.由分层抽样抽取人，则应从第组中分别抽取人.抽取的第组的人员为，第组的人员为，第组的人员为，分别从这三组各抽取一人有共种情况其中“裁判人员同时被选中”有种情况，故裁判人员不同时被选中的概率为.19. 如图，在三棱锥中，底面为梯形，点在底面内的正投影为点，且为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据余弦定理得，再根据投影得，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）PM为高，再根据锥体体积公式得条件试题解析：（1），由余弦定理得，故又点在底面内的正投影为点，平面，又平面，又平面，（2）连接平面平面又为的中点，设，则，即，又在等腰中，梯形的面积为.20. 已知圆的一条直径是椭圆的长轴，过椭圆上一点的动直线与圆相交于点，弦的最小值为.（1）求圆及椭圆的方程；（2） 已知点是椭圆上的任意一点，点是轴上的一定点，直线的方程为，若点到定直线的距离与到定点的距离之比为，求定点的坐标.【答案】(1)圆的方程为，椭圆的方程为；(2).【解析】试题分析：（1）当时，最小，根据垂径定理求半径，根据长轴得a，将点坐标代入椭圆方程解得b,（2）设，利用点到直线距离公式以及两点间距离公式化简条件得恒等式，根据恒等式成立条件解出试题解析：（1）当时，最小，因为，所以，因为圆的一条直径是椭圆的长轴，所以又点在椭圆上，所以，所以圆的方程为，椭圆的方程为（2）依题意设，则点到直线的距离，点到点的距离为，故有，即得：，又点在椭圆上，则，因此有，即对恒成立，所以，即定点的坐标为，即为椭圆的右焦点.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数（其中）.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再讨论二次方程根的个数与大小，确定导函数符号，进而确定函数单调性（2）先将不等式转化为函数最值问题：，再结合（1）讨论函数最小值取法，最后根据不等式解集得的取值范围.试题解析：（1）的定义域为（i）若，则.由得或；由得在上单调递增，在上单调递减；（ii）若，则在上单调递增；（iii）若，则，由得或；由得在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，（i）若，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减.，故对不恒成立；当时，即时，在上单调递增，（ii）若在上单调递增，则，故；综上所述，的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的普通方程与极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，求圆上的点到直线的最大距离.【答案】(1)普通方程为，极坐标方程为.(2)5.【解析】试题分析:（1）先根据同角三角函数关系消参数可得圆的普通方程，再利用将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆的几何条件得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线距离减去半径，最后根据点到直线距离公式求最值试题解析：（1）圆的圆心为，半径，则普通方程为，其极坐标方程为，即（2）由得，化为，即，圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最大距离为.23. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于实数的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析:（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）先根据绝对值三角不等式求最小值，再解绝对值不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，或或解得：或即不等式解集为：；（2）恒成立，即或解得：.