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突破点16导数的应用(酌情自选)核心知识提炼提炼1 导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递减(2)常数函数的判定方法如果在某个区间(a，b)内，恒有f(x)0，那么函数yf(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f(x)0(或f(x)0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).提炼2 函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，当x0时就不是极值点，但f(0)0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值在x0处有f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值.提炼3 函数最值的判别方法(1)求函数f(x)在闭区间a，b上最值的关键是求出f(x)0的根的函数值，再与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f(x)的单调性，即可得结论高考真题回访回访1导数的几何意义1(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_xy10y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.2(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_2xy0设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.回访2导数与函数的单调性3(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1BC. D.C取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.4(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)A设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0时，f(x)0,0x1，当x0，g(x)0，x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.回访3函数的极值与最值5(2013全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)上单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0CA项，因为函数f(x)的值域为R，所以一定存在x0R，使f(x0)0.A正确B项，假设函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为(m，n)，按向量a(m，n)将函数的图象平移，则所得函数yf(xm)n是奇函数所以f(xm)f(xm)2n0，化简得(3ma)x2m3am2bmcn0.上式对xR恒成立，故3ma0，得m，nm3am2bmcf，所以函数f(x)x3ax2bxc的对称中心为，故yf(x)的图象是中心对称图形B正确C项，由于f(x)3x22axb是二次函数，f(x)有极小值点x0，必定有一个极大值点x1，若x1x0，则f(x)在区间(，x0)上不单调递减C错误D项，若x0是极值点，则一定有f(x0)0.故选C.热点题型1利用导数研究函数的单调性题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第(1)问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等【例1】(2016辽宁葫芦岛模拟)已知x1是f(x)2xln x的一个极值点(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)f(x)，若函数g(x)在区间1,2内单调递增，求实数a的取值范围. 【导学号：04024135】解 (1)因为f(x)2xln x，所以f(x)2，因为x1是f(x)2xln x的一个极值点，所以f(1)2b10，解得b3，经检验，符合题意，所以b3.则函数f(x)2xln x，其定义域为(0，)4分令f(x)20，解得x1，所以函数f(x)2xln x的单调递减区间为(0,16分(2)因为g(x)f(x)2xln x，所以g(x)28分因为函数g(x)在1,2上单调递增，所以g(x)0在1,2上恒成立，即20在x1,2上恒成立，所以a(2x2x)max，而在1,2上，(2x2x)max3，所以a3.所以实数a的取值范围为3，)12分方法指津根据函数yf(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1)若函数yf(x)在(a，b)上单调递增，转化为f(x)0在(a，b)上恒成立求解(2)若函数yf(x)在(a，b)上单调递减，转化为f(x)0在(a，b)上恒成立求解(3)若函数yf(x)在(a，b)上单调，转化为f(x)在(a，b)上不变号即f(x)在(a，b)上恒正或恒负(4)若函数yf(x)在(a，b)上不单调，转化为f(x)在(a，b)上变号变式训练1(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，试讨论f(x)的单调性. 解函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).3分(1)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增4分(2)若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增8分(3)若a0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa110分因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)12分热点题型3利用导数解决不等式问题题型分析：此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的【例3】(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增.3分若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当ag(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数变式训练3(2016太原一模)设函数f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，曲线yf(x)过点(e，e2e1)，且在点(1,0)处的切线方程为y0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f(x)(x1)2；(3)若当x1时，f(x)m(x1)2恒成立，求实数m的取值范围. 【导学号：04024137】解 (1)函数f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，可得f(x)2aln xaxb，因为f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，所以a1，b12分(2)证明：f(x)x2ln xx1，设g(x)x2ln xxx2(x1)，g(x)2xln xx1，(g(x)2ln x10，所以g(x)在0，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，所以g(x)在0，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，所以f(x)(x1)26分(3)设h(x)x2ln xxm(x1)21，h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)中知x2ln x(x1)2x1x(x1)，所以xln xx1，所以h(x)3(x1)2m(x1)，当32m0即m时，h(x)0，所以h(x)在1，)单调递增，所以h(x)h(1)0，成立当32m0即m时，h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x0e1，当x1，x0)时，h(x)h(1)0，所以h(x)在1，x0)上单调递减，所以h(x)h(1)0，不成立综上，m12分10
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