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第18讲利用导数研究函数双变量问题【提升训练】一、单选题i.在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)处偏导数的全过程：(3)=4x+3y2/(x,y)=l+6孙，所以X，(l,2)=4xl+3x22=16,/(1,2)=l+6xlx2=13.由上述过程，二元函数z=f(x,y)=n(x2+y2),则(1,2)+,(1,2)=()6A.29B.-5【答案】B【分析】根据题目给出的运算法则，计算得到答案.【详解】z=/(x,y)=ln(x2+y2)则f：(x,y)=/y./(1,2)；f；(x,y)=萼y2)=:xy5x+y5(1,2)+/；(1,2)=|5故选B【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力和计算能力.2.定义在&上的函数V=/(x),满足/(3-x)=/(x),(x-|)/V)3,则有A.f(xj/(x2)C./(x,)=/(x2)D.不确定【答案】B【详解】3分析：/(3-x)=/(x)对称轴为X=5，若演3,离对称轴较远,(xg)f(x)0可知f(x)g,故单调递减.3详解：/(3)=/卜)对称轴为X=5，若X3,X2离对称轴较远,”x0,函数单调递增；当x：时，f(x)0,函数单调递减.故/(玉)/(2),选B.点睛：利用函数的对称性，单调性判断函数值的大小，可以利用数形结合法.3.若直线y=6与曲线C：y=lnx相交于不同的两点/(项,必)，8(%,必)，曲线C:y=lnx在点A,8处的切线相交于点尸(Xo/o),则()A.a2aD.kAPkRP2。即一+2=L,化筒得xx2x2x%-2x-lnW-l0,设玉刀，可得/_2*人2-10令(xx,(xX|h(t)=t2-2xt-nt-l,通过求导判断力。)的单调性,进一步得到0,从而得证;D选项，根据C选项的结论得出结论.【详解】A选项：当aa时，直线沙=与曲线C:y=lnx只有个交点，故A错误：y=nxB选项：设/（X1,必）,8=（工2必），且1再工2，可得叫=Inx”。/=ln%2，xxxx一得In%In%=,将QX1二lnx1?ax2=Inx2代入得以?一ax、=化简(x2-%)(叫%2一力=0，：X?丰西axx2=x故。玉工2=工0，故B错误；11cInX)-InMC选项：要证明左加,+须02。即一+2=,玉x2x2-xt化简得(强-2x.ln(x-l0,IxX|Ix设f可得/_2/.nr-l0X令)=一2Zn-lh(t)=2t-2nt-2i(t)=h(t)=2t-2lnt-2r(o=2-=2,当f1,“。=230,z(f)在，1上单调递增，所以i)i(l)=O.所以“(a0,/?(。在rl上单调递增，所以人(。(1)=0,所以(工-2X强!(%一10，即3Q+女8P 2。，故 CiE确;D选项，根据C选项可得D选项错误.故选：C.【点睛】导数中双变量问题，此时处理的方式是通过变形，把二看作一个未知数,从而把两个自变量转X化为一个未知量,这是一种比较常见的解题方法.4.若 e*1 = lnx2,令f = W - X，则/的最小值属于()A.B.P2C.24D.i3【答案】C【分析】设。=67/、11易知人(x() = Xo+ 一在/ e(-,l)单减,即力(1) = 2A(/) xo2=1112，把参数，表示成“的函数即f=X2-X|=e-Ina,构造函数，通过导数研究函数最小值及最小值的取值范围.【详解】设a=eX=Inx2,则$=Ina,x2-ea,t=x2-xl=ea-na,令(x)=e-Inx,hx)=ex,易知h(x)单增,x且(，)=右20,则存在x使(Xo)=e%-!-=0,22%B|1xg(O,xo),hx)0,即x)单增;又=e=0二=,InXq=_Xq/%则h(x)go)=et0-lnx0=x0+,x0e(-,1)xo2故选：c【点睛】方法点睛：把双变量转化为单变量，构造新函数，通过导数研究最值情况及参数取值范围.占InX.x.In居仁5.若对于任意的0王%22,则。的最大值为()x-x2A.1B.eC.-D.e2【答案】C【分析】问题转化为公工3拦，构造函数/。)=以2,易得/(x)在定义域(0,0上单调Xx2x递增,所以/(%)N0在(0,。)上恒成立,进而可求出。的最大值.【详解】解：,0玉工2，,X一工20.xjnx-xlnx22(x,x2),lnxlnx222Xjx2x2XInx,+2Inx、+2:.=,玉x2Inx4.9函数/(X)=丝三在定义域(0,a)上单调递增，X”、1(Inx+2)lux1,.fr.x.，/(x)=；=；0A：(0,a)卜.恒成以，厂V由一加x120,解得0x4,故。的最大值是一.ee故选：C.【点睛】Inx,+2Inx-,+2关键点点睛：本题的解题关键是将原式变形为一b0,hna=anbf有如下四个结论：be；满足/e2；a-be2则正确结论的序号是()A.B.(2X3)C.D.【答案】C【分析】In a = ma,，两式相减、相加，然后可得Inb = mb由由61na=aln人则皿=半，设/(x)=皿，利用函数/(x)的单调性结合图象abx可判断，.设回=?0,则e2得出答案【详解】由61na = alnb,则上=弛，设/(x)=臣，则/(x)=a bx1 -Inx当0cxee时，/(x)0,当xe时，/,(x)l时，有/(x)0,则/(x)的图象如图.误;eb0,所以正确，错,n In。 xb设=ma b0,则In a = manb = mb两式相减得lna-lnb = ?(Q-6),得i aIn - ba-b两式相加得Ina + In b =加(+/?) =S+6)呜1 + Ina-b设21b=+2(f1),则(1)=In/+2=In/+-1，/Il+l、11If,11八/?(/)=InfH2=7=-I1I0所以)在。,+)上单调递增，则1a)/(i)=o所以硝)在(l，+)上单调递增，Mf)Ml)=0,B|J(l+f)ln，2(-l)所以竽粤2,即lnab=lna+lnb=i2(1),1b所以a-be2，故正确，错误；综上，正确的命题是，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考程了构造函数利用函数的图性质判断数值大小的应用问题，解题的关键是将条件变形为乎=乎，构造函数/(x)=乎，利用其单调性来解决问题，然后设设InaInbfIna=ma、=-=加0,则e2，abInd=mo从而解决问题，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力.属于中档题.7.函数/(X)和g(x)都是定义在(一8,4上的单调减函数，且/(7)=g(r)=M,若对于任意kM,存在a，x2(x,x2),使得/(xj=g(x2)=%成立，则称g(x)是/(x)在(Y0,上的“被追逐函数“，若/(x)=Y,则下列结论中正确的序号为()g(x)=-2x-l是/(x)在上的“被追逐函数：若g(x)和函数(x)=2一1关于y轴对称，则g(x)是/(x)在(-8,7上的“被追逐函数”；若g(x)=ln(-x)+m是/(x)在(-8,-1上的，被追逐函数”,则?=1；存在?1,使得g(x)=+m是/(x)在(一8,-1上的“被追逐函数”.A.B.C.D.【答案】A【分析】先判断/(X)与g(x)是否单调递减，并求得最小值，再根据若g(x)是f(x)在(-00,4上的“被追逐函数)=g(2)=左，则x,x,可用k表示，利用X|x2，代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足”被追逐函数”,由此依次判断【详解】对于,/(x)=2和g(x)=-2x-在(-8,T上单调递减，且/(-l)=g(-l)=1,若g(x)=-2x-l是/(x)=x2在(一8,-1上的“被追逐函数”,则对于任意k1.存在%,(玉x2).使得/(玉)=g(2)=成立，IX-Jklc+，此时yk_,即k1).xI1则l(x)=1-三0,则A(x)在(1.-K0)上单调递减，又一=0,则(x)0恒成立，即X1,存在X1,x2(Xx2)，使得/(x,)=g(x2)=成立.故正4确；对于，依题意g(x)=(；-1,则/(x)=2和g(x)=(；J-1在上单调递减，且/(-l)=g(T)=L若g(x一1是/(x)=V在(-8,-1上的“被追逐函数”,则对于任意k1,存在x1,6x2)，使得/(X)=g仁)=左成立，即X；=IX =-ylk,所以),使得/(xJ=g(X2)=人成立,故错误；对于，若g(x)=ln(-x)+w是/(x)=x?在(-00,-1上的“被追逐函数;此时必有/(一1)=8(-1)=1，解得加=1，当m=1时,g(x)=ln(-x)+l和/(x)=在(-00,-1上单调递减,若g(x)=In(-x)+1是x)=X?在(-co,-l)上的“被追逐函数”，则对于任意后1，存在X,(再x2)，使得/(X)=8伍)=%成立，I-即X；=皿一工2)+1=%，所以k1，即-a一01,则左/1,x2=et构造函数(x)=x-e2T，则hx)=1-2e2x-20,则在(1,内)上单调递减，又(1)=0,则力(x)0恒成立，即x1，存在玉,x2(x,x2).使得/(xj=8d)=k成立.故正确：对于，当xe(-oo,-l时,g(x)=，+me-1+加,根),而当xe(-oo,-lW,/(x)=x2el,-Ko),由k的任意性,不存在m2/,使得g(x)=L+掰是/(x)=x2在(-8,-1上的“被追逐函数”,故错误，故选:A【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.属于难题.8.已知函数/(x)=-x2+a,g(x)=x2，若对任意的马T,1,存在唯一的xte-,2,使得/(xj=g(x2)，则实数4的取值范围是(),1,1、/A.(e,4B.(e+，4C.(e+，4)D.(-,4444【答案】B【分析】求得/(X)在(y,2的值域A.以及函数产g(x)的导数，判断单调性.求在T，l的值域B,山题意可得B包含于A,可得。的不等式，解不等式可得所求范围.【详解】解：/(X)=-X?+a在-L2的值域为a-4,a,但/(x)在(，2递减,此时/(工)可。-4,a-)、=x(x + 2)eg(x)=x2e的导数为gx)=2xe*+2e-可得g(x)在H，0递减,(0,1递增,则g(x)在T,l的最小值为g(0)=0,最大值为g(l)=e,即值域为0,e.对任意的吃eT,l,存在唯一的X|e-g,2,使得/(xj=g(x2)，可得0，a-4,1 a4可得 a-4W0Vea-L 4故选：B.【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考直导数的应用转化思想，属于难题.9.若方程x-2阮什.=0存在两个不相等的实数根XI和X2,则(A.+1再 X2C.LLiX, x21 1 , D. + 21 X x2【答案】B【分析】代入方程消去。得到1 1构造函数判断一+ 一 国 x2.r)和X2是方程x-2lnx+a=0两个不相等的实数根，不妨设芯x2,X_11_，工1关系，令一W，再用/表示，进而将+一用，表示,尢2ATj与1的大小关系，即可求出结论.【详解】xi和X2是方程x-2lnx+a0两个不相等的实数根,不妨设项%0，xl-2lnxl+a=0,x2-2lnx2+a=0,“M八Mi两式相减得司一%2-2/一=0,令/=1,.*.x=tx2,/八2Inf2tIn/.x2(Z1)=2Int,.x?二,X|tx?11t-t-G-l)(/+l)t2-/.1=1=fX,x22nt2tnt2tIn/2tnt令g(f)=一1一2flnf/9gt)=2t-2nt-2,2令叭t)-2t-2nt-2,(pr(t)=2,/1,夕)0恒成立，t凶)在(l,+oo)是单调递增，.二火。/(I)=0,gt)0恒成立,g(0在(1,+00)是单调递增，.g。)g(1恒成立,一It12/Int0,厂一12/In/0,1，2/lnr11,二.1.Xx2故选:B.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数零点、单调性，构造函数是解题的关键，属于较难题.10.已知函数/(x)=-x2-6x3,g(x)=2x3+3x2-12x+9，加-2,若Vx】gw,-2),3%26(0，+8)，使得/(xJ=g(X2)成立，则加的最小值为A.-5B.-4C.-275D.-3【答案】A【分析】g(x)=6x?+6x-12=6(x+2)(x-l),则当0cx1时，g(x)1时，g(x)0,.-.g(x)min=g(l)=2,/(X)=(x+3)2+6W6.作函数歹=/(X)的图像如图所当/(x)=2时，方程两根分别为-5和一1,则用的最小值为-5.故选A点睛:本题考查函数导数与单调性，任意性与存在性问题，可利用数形结合的办法解决，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.对于方程的有解，恒成立问题以及可转化为有解、恒成立问题的问题，注意利用数形结合的数学思想方法.11.设实数，0,若对任意xw(0,+8),不等式匕一In4x20恒成立，则人的取值范围A.是()A.0/l-B.02e-lC.0AeD.0Ae 9S (xo) = -( + D 0 恒成立,可知 4 = x()e& e (0, e.故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数研窕/(x)的单调性并确定极小值点范围，根据/(x0) = 0有e【答案】C【分析】令/(x)=-InAx,根据二.阶导数的符号判断/(x)的单调性，由零点存在性定理易知A.Hr。(0,+8)使/(Xo)=o,此时丸二/。，进而讨论了(X)的单调性可知/(x)N/(x(),耍使题设不等式恒成立，即/30)=一111/1一111*020成立，构造Ag(x0)=-2Inx0-x0利用导数研究其单调性确定g(x0)20的区间，进而求2的疮国.【详解】令/(x)=一ln/lx，只需要xe(0,+oo)上/(xRO恒成立，Aex1v/(x)=-上且20,Ax二f(x)=纪+30，即/(X)在XG(0,+oo)上单调递增，2x/limfx)-oo,limfx)=+co,XT。.XT+O3x0e(0,+oo),使/(X。)=0,即2=xoev,xe(O,x(,)时，/(x)0,/(x)单调递增；,与pxo1故只需/(x)N/(Xo)=InAx0=ln2-lnx00，令g(x)=21nx0-x0,AAX。12.已知大于1的正数4,A.7B.8【答案】C【分析】n2bbn,n2b.等价于In,令0(x)=一n-22、)xb满足上总匕，g(x)有最小值用2即求x)gWg(xL，代入为等价于用2x-in-,即求9(x)0的最大的正整数.对夕(x)求寻求单调222=xoex,结合/(x)2/(x。)构造新函数，求/(x0)NO成立时天的区间，进而求参数范围.性，可知9(x)单调递减，代入数值汁即可求出结果.【详解】解：由题条件可知：毕工等价于竺1)，则/(x)=xnx(Mlnx)XX尸(x)=0,x=e；(I当/(x)0时，l,en,当/时，Xen,4-0)r2/2所以/(x)在1,/上单调递增，在6,+8上单调递减，1)CElfen=W-1)eInx(2-/7Inx)0则/(x)有最大值令g(x)=2,(xl)，则=n当一时，此题无解，所以一1,22MMM则g(x)=0,x=5,当g(x)O,x,当g(x)0xln-,2n22Y*_i_0*令夕(x)=三三-ln上,本题即求夕(x)0的最大的正整数.x2210,3(9)=一In-1.5714-1.510,(10)=-ln5o的最大正整数为9.故选：c.【点睛】本题考杳构造函数法解决恒成立问题.方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为/(xJg(X2),若/(Xjgx2eC.-L+x2lnx2x2【答案】D【分析】对A,分别作出函数y=-x+2,y=ex,y=lnx的图象，通过图象观察易得玉+x2=2lry成立：利用基本不等式可证B成立：构造函数/（）=也可证C成立：构造函数g（x）=2-x-lnx可得1五，再利用函数V=xlnx的单调性，可证得D不成立；【详解】对A,如图，作出函数y=/、y=lnx和V=x的卓图，因为48关于C对称，且0为1%,因为。（1,1）,所以王+吃=2,故A正确：对B,由基本不等式，e*+e*22=2e，因为玉中4，所以等号不成立，故B正确；对C,因为0芭2（内+x2=1,所以须-1,记/（力=三,则/（）=匕，故0xl时，/幻”0,所以/（）=匣在（0,1）上单调递增，XXzIn所以/（芭）/|即0,gy/e=2-e-=-4e0,则x2ye，又王2=（2-%）2=工2Inx?，易知y=xlnx在（l,e）上单调递增，故Mx?=X?InX?2B.xi+x22C.xt+x2/(l-x),再根据当xl时，f(x)2.【详解】由题，/(x)=(l-x)eT,令/(x)=0则有x=l,所以当xl时，/(x)0当xl时，/(x)0,所以，在x=l时/(x)取得极大值和最大值.又当x趋近于正无穷时J(x)正向趋近广0出/(0)=0,所以，如果存在x产x?使得./区)=./每),不失一般性令再2，则0芯1,对于任意的xG(0,1),分别取两点lX、1+X,现在比较/(1-X)和/(1+X)的大小.re+x1x1+x(1x)e-/(l+x)-/(l-x)=-=二，eee令分子部分为g(x)=l+x(l-x)e2x,xw(0,l).求导有g(x)=1+(2x,xg(0,1)当x=0时，g(x)=0;当x0时，又g(x)=4xe20，g(x)故单调递增且大于0.所以,在(0,1)上g(x)是单调增函数，且g(x)g(0)=0,故/(I+x)-/(I-x)0,即/(l+x)/(l-x),因为0l-x1.f(x)在1,+co)上单调递减且/(l+x)/(l-x)，所以在1+X点的右侧必能找到一点，使得-X)=f(x2)，且x21+x,故1-x+X21-x+1+x=2,令1x=演,则有X+工22,故选A.【点睛】该题考在极值点偏移问题，可以求导求单调性，先画出/(工)=疵/?)的图像，直观上观察出须+2,再构造函数分析比较/(l-x)和/(1+x)的大小，进而证明得出不等式.二、多选题.2.15 .关于函数/(x)=+lnx,下列判断正确的是()xA.x=2是/(x)的极大值点B.函数y=/(x)-x有且只有i个零点C.存在正实数左，使得/(x)h成立D.对任意两个正实数X,X,且阳，若/(须)=/(2),则X|+X24.【答案】BD【分析】A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系.【详解】对于A,函数的定义域为(0,+oo).在(0,2)上，/(x)0,函数单调递增，.x=2是/(X)的极小值点，即A错误；2对于B,y=/(x)-x=+lnx-x,x21V =r X2 X-1 = -x2+x-20,/(2)-2=l+ln2-2=ln2-lkx,可得AV-H9XX人2Inx-4+xxlnx令g(x)=-7+,贝Ijg，(x)=5，XXX令力(x)=-4+x-xlnx,则(x)=-lnx,在xW(0,1)上，函数。(x)单调递增，工(1,4-00)上函数力(X)单调递减，：.h(x)h(1)4恒成立，即C不正确:对于D,令y(0,2),则2-卢(0,2),2+t2,22令g)=/(2+f)-/(2T)=丁一+ln(2+f)-ln(2-/)2+12-t则 g) =4(r2 -4)-8r2 2T1(Z2-4)22 + t2-t+2+t(25-4r2-164-St27c=1=0(r2-4)24-t2(尸-4)2：.g(/)在(0,2)上单调递减，则g(/)=/(X2).得X22+f,则Xi+X22-t+2+t=4,当X2N4时，X|+X24显然成立，对任意两个正实数X”X2,且X2x”若/(X|)=f(X2).则X+X24,故D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系.16.已知函数x)=x(e*+1),g(x)=(x+l)lnx,则()A.函数/(x)在火上无极值点B.函数g(x)在(0,+8)上存在唯一极值点C.若对任意x0,不等式/(ox)2/(in/)恒成立，则实数a的最大值为2D.若/(xJ=g(x2)=r“0),则；(：1)的最大值为【答案】AD【分析】利用导数可求得/(x)2/(-2)0,得到/(x)在R上单调递增，知A正确;利用导数可求得g(x)之g0,得到g(x)在：(0,+。)上单调递增，知B错误;由/(X)在R上单调递增得到oxNlnx2,利用分离变量的方法可得a?(x) =21nxr,，利x2用导数可求得(x)=一，可求得。的范围，知C错误：In/lnx(e+l)inA：人(,_nk易彳j01=X77r=7；=一令m(k)=利用导数可求得2x)(x2+l)x,(ex+l)k、Jkm(k)max=?(e)，可知D正确.【详解】对于A,/,(x)=(x+l)ex+l,/*(x)=(x+2)ex,当x-2时，/(x)-2时，/ff(x)0；./(x)在(-oo,-2)上单调递减,在(-2,+oo)上单调递增,./(x)2/(2)=-e-2+l0,./(X)在R上单调递增，无极值点，A正确;对于B,g(x)=111X+1H,g(x)=r=j,XXXX当0xl时，g(x)l时，g(x)0；.g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,m)上单调递增，g(*)Ng(l)=20,.g(x)在(0,+。)上单调递增，无极值点，B错误；对于C,由A知：/(x)在火上单调递增，则由/(ax)N/(lnx2)得：flx|nx2,必、lnx?21nx刍x0时，a=，xx令(力=也，则1(x)=2二221nL2(1一”),XXX当0cx0：当xe时，/?r(x)0.,.x,0,x21,illA知/(x)=(x+l)erInr1m偌+川是增函数，所以e同=刈，0爪+1)X(e1+1)设 =X(e+l),则In/ _ In左 xi (x2 + 0 k人/lnM1x-nk令=-,则7(k)=二当0左0；当左e时，(女)去恒成立D.对任意两个正实数不，X2,且2再，若/(/)=/。2)则玉+22【答案】ABD【分析】A：求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；8：求函数的导数，结合函数单调性和零点个数进行判断即可：c：利用参数分离法，构造函数g(x)=4+巫，求函数的导数，结合函数的单调性和极xX值进行判断即可；D-.令g)=/(l+。-/(I-/),求函数的导数，结合函数的单调性进行证明即可.【详解】a：函数“X)的的定义域为(0,+/),/，()=一，_+=*,当xe(0,l)时，fx)0,/(X)单调递增， x=l是/(X)的极小值点，即力正确；B：y=g(x)=f(x)x=blnx-x,x.g(x)=f女恒成立，E|JZr0,当x(l,+8)时，hx)0, 在X(O,1)上，函数力(X)单调递增，X(l,+8)上函数(X)单调递减，/.h(x)/?(1)0,/.gr(x)+00时，g(x)0,.不存在正实数左，使得/(x)履恒成立，即C不正确：D由单调性可知,石(0,1),x2e(l,+oo),令fe(0,l),则le(0,l),|+/1,令g)=/0+0-/(1-0=Ay+ln(l+r)-=y-ln(l-/)=+ln，,，,、2(/-1)4/1/1E+l+E2厂224广Aa,Jg(0=.+_._=_+_=_0,.g在(0,1)上单调递减,则g(t)/(1+Z)令X=_/,由/(Xj=/(X2)/(1+/),得21+1，则X+x21f+1+/=2,故。正确.故选:ABD.【点睛】(I)己知函数极值点或极值求参数的2个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.(2)判断函数零点个数的3种方法直接法：令/(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数图像法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决(3)利用分离参数法来确定不等式/(x,7巨O(xC。，2为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：将参数与变量分离，化为力(，闫3)或力(2用(x)的形式.求力()在xG。时的最大值或最小值.解不等式力或(X)max或./iM)9(X)mm，得到，的取值范围.(4)破解含双参不等式证明题的3个关键点转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.218.已知函数/(x)=lnx+7则下列判断正确的是()A.存在xe(0,+oo),使得/(x)0D.对任意两个正实数项、x2,且X2X1,若/(须)=/(2),则须+工24【答案】BCD【分析】首先根据函数的导数，判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，判断最小值的正负，判断A,B,C选项，D.函数的极值点为x=2,可以判断关于x=2对称的函数值的大小，进而判断出/(xj=/(x2)，则玉+x24的对错.【详解】1*1为/(无)=lnx+2,定义域为(0,+8),/f(x)=一-2=-xX2令/(x)0,则0x2,所以函数0,27则x2,所以函数/(*)=访*+-在(2,+8)卜.单调递增：所以函数/(x)=lnx+，在x=2处取得极小值也就是最小值./(x)min=/(2)=In2+10,所以对任意xe(0,+。)，故C正确、4错误：令fw(0,2),则2Tw(0,2),2+12,224r2+r令刎=2+f=寸皿2+)-二例2_)=再才仁则 gC)=4(_4)_8/ 2 _2-/ + 2 + / -4/2一164(/4 + 2+7* (2-Z)2 -(-4)2 + 4-7-8/2(-4尸0.g)在(0,2)上为减函数，则g(/)2+1，则玉+x22/+2+f=4,当x?4时X+4显然成立.对任意两个正实数X1、Z，且2网，若/(X)=/(X2),则$+24正确，故。正确.故选：BCD【点睛】本题考杳导数知识的运用，考查函数的单调性，极值点偏移问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.三、填空题19.已知函数/(x)=lnx+(x-a)2+的两个极值点为X1,x2,且x2,贝!/(Xj-/(X2)的取值范围是.【答案】In2,+00【分析】先求解出/(X),然后根据极值点确定出多,当满足的关系式，根据函数解析式以及为,2的关系式将/(司)/(9)化简为In+；.2一；土，构造函数8)=此/+)_(.并分析其单调性和值域，由此求解出/(*)-/()的取值范围.【详解】因为r(x)=1+2(x-a)=生二Lxe(0,+8)，且须，x?是两个极值点，所以演，工2是2/一2x+l=0的两个根，所以玉+=。，演工2=g，=4。2一80满足，_2又因为/（x1）-/（x2）=（lnx1+（石-a1+1）（in/+（%2一0）2+1卜所以/（再）一/（工2）=InL+（石一*2）（再+x2-2a）=ln+（2一汇）且凡占所以/一亦喘+整所以小）一小）=咤+笠彳,乂因为 +x2 =a,xx2 =g所以1 X1X2=-24所以（须+2）=%+互+2王2X 再x. x. 5 x. .所以:+萨5/i所以解得xx2e04 -令%=f,设g）=lnr+!_gfejo,：,所以炉（八=1_L+l=（f0故答案为：ln2,+co.【点睛】思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据己知条件确定出变量不户2满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于占的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：通过将所有涉及司,当的式子转化为关于五的式子，将问题转化为关于x2自变量五（二亦可）的函数问题；通过七/2的乘积关系，用玉表示工2（用工2表示王亦工2七可），将双变量问题替换为王（或匕）的单变量问题：X,X,（3）构造关于,或须的新函数，同时根据已知条件确定出或王的范围即为新函数定义X?工2域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.20.已知函数/(x)=lnx,g(x)=kx,若/(x)与g(x)的图象有两个交点N(x，必)，B(x2,y2),则当号23时，实数人的取值范围为.【答案】，弓In3【分析】由/(x)与g(x)的图象有两个交点可得0%3,从而得出10时,设g(x)=/的图象与X)=Inx的图象相切与点尸(如先)则由f(x)=-,所以=-XX。所以盟=1nx(,二去。=一xx()=l,则玉)=0所以此时=1,e因为/(X)与g(x)的图象有两个交点,根据/(x)与g(x)的图象位置关系可得:0女1e由/(X)与g(x)的图象有两个交点Z(X,弘)，B(x2,8)则In再=Ax】，Inx2=kx2Inx,-InxInx.+Inx将两式进行加、减可得：L=Lx2Xjx2+Xj又强23,设=23,则=/须Xjx将代入，可得In/21nx + In rIn/ _ 2Inx, + InZ,H|J=Z-l f+1所以In玉=,且f23设)=罟，则 “(/)=-in/ t_ t设e(r)=l-；-ln/,则1一;3),、,、2所以夕=在fN3上单调递减，则夕(1)We(3)=-ln30则)-H时，a)=t-In/所以人(/) =罟e(0,母t-又 In X =,则 k =lnxt17.即 0 In X1 与一,则 1 X| K Ji，(lXj 可得y二x1-lnx0在1玉WJJ上恒成立,InXjG 0,故答案为:【点睛】本题若查根据两函数图像的交点个数以及两交点横坐标的关系求参数的范围，涉及多变量的所以函数夕=皿在1Ax,可得2+婀，人/、2InxE-4+x-xlnx令g(x)=7+7-,则gx)=3，令M%)=-4+x-xlnr,则1(x)=-lnr,所以X(O,1)时，函数“X)单调递增，xe(l,+8)时，函数(x)单调递减，则()1)0,所以g(x)0,g(x)无最小值，所以不存在正实数上.使得/(x)Ax恒成立，即不正确；对于，对任意两个不相等的正实数为,当，若/(再)=/(2),则X+4.正确.证明如F：由函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，不妨设0$22,则/(4-xJ-/(X2)=/(4m)/(xJ=+ln(4-x,)-Inx,=4.-2)+山1,4-XjXj(4-Xj)XjXj4x4-令=乙则，1,须=不，令尸(。=/(4_占)_/(、2),则/(f)=与i+lnf，则；?一=_(；：1)20,i_/2所以E(/)=LL+lnf在(L+8)上是减函数，所以尸(。(尸(1)=0,所以/(4一/)_/()0,又因为/(x)在(2,+oo)上单调递增，所以4一项4,即正确.故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有定的难度.四、解答题22.已知函数/(x)=xlnx.(1)求证：/(x)ex2-2x恒成立;(2)若函数E(x)=/(x)-a有两个不同零点再，x2,求证:【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(I)要证证不等式/(x)Wex2-2x,即证lnx4ex-2,设g(x)=ex-lnx-2(x0),求出导函数，得出单的区间，求出其最小值，即可证明.(2)不妨设王0,设尸(x)=(e-l)lnx-x+l,求导函数，得出其单调性即可证明.【详解】解：(1)证明：要证证不等式/(x)Wq2-2x,即证lnxSex-2,也即证exlnx-220,设g(x)=ex_lnx_2(x0),g(x)=e-时单调递减，xe(l,+oo)时单单调递增,所以 g(x)2g(=1 +Ine-2 = 0.证明：函数尸(x)=/(x)-a有两个不同零点石，x2,即方程/(x)=a有两个不同实数根当，由/(x)=l+lnx,令r(x)0,则
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