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第 8 章典型习题解析1. 试画出下图所示简支梁 A 点处的原始单元体。图 8.1解:(1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取如下三对平面:A 点左右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁xy平面平行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图(d) 所示。(2) 分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b) 、(c) 所示,将A 点的坐标x、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为:MyQSz*I zI z b由切应力互等定律知, 单元体的上下面有切应力;前后边面为自由表面,应力为零。在单元体各面上画上应力,得到A 点单元体如图 (d) 。2. 图 (a) 所示的单元体 , 试求( 1)图示斜截面上的应力 ; ( 2)主方向和主应力,画出主单元体; ( 3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。解:( 1)求斜截面上的正应力30和切应力30由公式3050 10050100 cos(60 )( 60) sin(60 )64.5MPa2250100(60) cos( 60 )34.95MPa302sin( 60 )( 2)求主方向及主应力tan 22 x1200.850100238.66xy119.33270.67最大主应力在第一象限中,对应的角度为070.67,主应力的大小为150100 50100 cos(270.67) (60)sin(270.67) 121.0MPa22由12 xy 可解出2xy 1( 50)100(121.0)71.0MPa因有一个为零的主应力,因此371.0MPa(第三主方向319.33 )画出主单元体如图8.2(b) 。( 3)主切应力作用面的法线方向tan 2501001.25120251.34125.672115.67主切应力为150 100 sin(51.34 ) ( 60) cos(51.34 )96.04MPa22此两截面上的正应力为125010050100 cos(51.34 )(60) sin(51.34 )25.0MPa225010050100 cos(231.34 )(60) sin( 231.34 )25.0MPa22主切应力单元体如图所示。由25.0 25.0 50MPaxy12,可以验证上述结果的正确性。3. 试用图形解析法,重解例 2。解:( 1)画应力圆建立比例尺,画坐标轴、 。对图 (a) 所示单元体,在平面上画出代表x、 x 的点 A(-50,-60) 和代表y、 y 的点 B(100,60) 。连接 A、B,与水平轴交于 C点,以 C 点为圆心, CB(或 CA )为半径,作应力圆如图所示.(2) 斜截面上的应力在应力圆上自A 点顺时针转过60 ,到达 G点。G点在、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力,从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值:64.5 MPa=34.95 MPa(3) 主方向、主应力及主单元体图所示应力圆图上H 点横坐标 OH 为第一主应力,即1OH121.04MPaK 点的横坐标 OK 为第三主应力,即3OK71.04MPa由应力圆图上可以看出,由B 点顺时针转过2 0 为第一主方向,在单元体上则为由y轴顺时针转0 ,且2038.66 ,019.33应力圆图上由A 顺时针转到K 点 (ACK38.66 ) ,则在单元体上由x 轴顺时针转过 19.33 为第三主方向 , 画出主单元体仍如图 (b) 所示。( 4)主切应力作用面的位置及其上的应力图所示应力圆上 N、 P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B 到 N,逆时针转过51.34 ,单元体上 max 作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过25.67 ,且maxminCB 96.04MPamax 和 min 作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c) 所示。4. 如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩 m的作用。在圆筒表面 a 点用应变仪测出与 x 轴分别成正负 45 方向两个微小线段ab 和 ac 的的应变 45 629.4 106,45 66.9 10 6,试求压强 P 和外力矩 m。已知薄壁筒的平均直径d 200mm,厚度 t 10mm,E 200GPa,泊松比0.25 。解:( 1) a 点为平面应力状态, 在 a 点取出如图 (c) 所示的原始单元体,其上应力:xpd ,ypd ,x2m4t2td 2t(2)求图 8.4(c)斜单元体 efgh 各面上的正应力:xy452xxy452x3 pd2m8td 2t3pd2m8td 2t(3)利用胡克定律,列出应变45 、 45 表达式145E45451454545E将给定数据代入上式13 pd 12m1E8 td2 t13 pd1- 2m1E8 td2 t629.4 1066.9 10613p2002m 1061.2520010380.7520021010611033p200 0.752m 1061.25200810200210得内压强和外力矩p 10MPa, m 35kNm5. 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆 , 受力如图。试绘杆件中A 点和 B点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值, 并确定这些点是否为危险点。( d)(a)( b)( c)解: 以下图为图各单元体受力图:A 点A 点(b )( a )A点B点( c)A点B 点( d )应力计算 :图( a)的 A 点 :N63.69MPaA8050.96MP a图( b)的 A 点 :d 316图( c)的 A 点 :N127.38MPaAB 点 :N8050.96MP a127.38MPaA,d316图( d)中 A 点 ( 压应力 ):M120 10325.48MPaWz3)33.14 (20 1032B 点 :QS*z4Q0.17MP aI z b3A(b )中的 A 为危险点,( c)中的 A、 B 为危险点,( d)中的 A ,B 点均为危险点 , 相比之下 A 点的应力较大。6. 已知应力状态如图所示 ( 应力单位 :MPa) 。试用图解法求 :(1)(a) 、 (b) 中指定斜截面上的应力 ; 并用解析法校核之 ;(2)(c) 、 (d)、 (e) 上主应力的大小与方向, 在单元体上画出主平面的位置, 求最大切应力。(a)30 0 斜截面单元本 ;(b)450斜截面单元体 ;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体(e) 拉压切单元体。解:(a)按比例画出应力圆如下图, 可得 =300 的斜截面的正应力和切应力为E 点的坐标为3045MP a308.5MP a解析法校核:xyxy22xysin 2x2cos2x sin230 5050 30 cos60 45MPa22cos2503035 38.5MPa22(b) 用比例画出应力圆 ,E 点的坐标为455MP a4525MP aE2XOCY解析法校核:yxyxy cos 2x sin 25050 cos90 20sin 90 5MPa2222xysin 2x cos 250 sin 9025MP a22(c )应力圆如下图, 与 轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:1OA 150MPa ,20,3OA250MPa主平面的方位可由应力圆上量得, 因2D1OA190最大主应力作用面与x 平面之夹角为( 从 D1 到 A1 是顺时针转的):45最大切力;1350MPamax2(d )应力圆与 轴的交点即为主应力得应点,从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:12OAOA1 70MP a230MP a ,30最大主应力作用面与x 平面之夹角为( 可由应力圆上得):2FCA 19045最大切力maxCF20MPa(e )应力圆与 轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为1OA144.7MPa3OA 244.7MPa主平面的方位,可由应力圆上量得:226.513.2(对应于主应力 1 所在主平面)最大切力max40MPa
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