应力状态与应变状态分析

第 8 章典型习题解析1. 试画出下图所示简支梁 A 点处的原始单元体。图 8.1解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图(d) 所示。(2) 分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b) 、(c) 所示，将A 点的坐标x、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：MyQSz*I zI z b由切应力互等定律知, 单元体的上下面有切应力；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图 (d) 。2. 图 (a) 所示的单元体 , 试求（ 1）图示斜截面上的应力 ; （ 2）主方向和主应力，画出主单元体; （ 3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解：（ 1）求斜截面上的正应力30和切应力30由公式3050 10050100 cos(60 )( 60) sin(60 )64.5MPa2250100(60) cos( 60 )34.95MPa302sin( 60 )（ 2）求主方向及主应力tan 22 x1200.850100238.66xy119.33270.67最大主应力在第一象限中，对应的角度为070.67，主应力的大小为150100 50100 cos(270.67) (60)sin(270.67) 121.0MPa22由12 xy 可解出2xy 1( 50)100(121.0)71.0MPa因有一个为零的主应力，因此371.0MPa(第三主方向319.33 )画出主单元体如图8.2(b) 。（ 3）主切应力作用面的法线方向tan 2501001.25120251.34125.672115.67主切应力为150 100 sin(51.34 ) ( 60) cos(51.34 )96.04MPa22此两截面上的正应力为125010050100 cos(51.34 )(60) sin(51.34 )25.0MPa225010050100 cos(231.34 )(60) sin( 231.34 )25.0MPa22主切应力单元体如图所示。由25.0 25.0 50MPaxy12，可以验证上述结果的正确性。3. 试用图形解析法，重解例 2。解：（ 1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴、 。对图 (a) 所示单元体，在平面上画出代表x、 x 的点 A(-50,-60) 和代表y、 y 的点 B(100,60) 。连接 A、B，与水平轴交于 C点，以 C 点为圆心， CB（或 CA ）为半径，作应力圆如图所示.(2) 斜截面上的应力在应力圆上自A 点顺时针转过60 ，到达 G点。G点在、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值：64.5 MPa=34.95 MPa(3) 主方向、主应力及主单元体图所示应力圆图上H 点横坐标 OH 为第一主应力，即1OH121.04MPaK 点的横坐标 OK 为第三主应力，即3OK71.04MPa由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过2 0 为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转0 ，且2038.66 ,019.33应力圆图上由A 顺时针转到K 点 (ACK38.66 ) ，则在单元体上由x 轴顺时针转过 19.33 为第三主方向 , 画出主单元体仍如图 (b) 所示。（ 4）主切应力作用面的位置及其上的应力图所示应力圆上 N、 P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B 到 N，逆时针转过51.34 ，单元体上 max 作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过25.67 ，且maxminCB 96.04MPamax 和 min 作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c) 所示。4. 如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩 m的作用。在圆筒表面 a 点用应变仪测出与 x 轴分别成正负 45 方向两个微小线段ab 和 ac 的的应变 45 629.4 106，45 66.9 10 6，试求压强 P 和外力矩 m。已知薄壁筒的平均直径d 200mm，厚度 t 10mm，E 200GPa，泊松比0.25 。解：（ 1） a 点为平面应力状态, 在 a 点取出如图 (c) 所示的原始单元体，其上应力：xpd ,ypd ,x2m4t2td 2t（2）求图 8.4(c)斜单元体 efgh 各面上的正应力：xy452xxy452x3 pd2m8td 2t3pd2m8td 2t（3）利用胡克定律，列出应变45 、 45 表达式145E45451454545E将给定数据代入上式13 pd 12m1E8 td2 t13 pd1- 2m1E8 td2 t629.4 1066.9 10613p2002m 1061.2520010380.7520021010611033p200 0.752m 1061.25200810200210得内压强和外力矩p 10MPa， m 35kNm5. 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆 , 受力如图。试绘杆件中A 点和 B点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值, 并确定这些点是否为危险点。（ d）(a)（ b）（ c）解： 以下图为图各单元体受力图：A 点A 点(b )( a )A点B点( c)A点B 点( d )应力计算 :图（ a）的 A 点 :N63.69MPaA8050.96MP a图（ b）的 A 点 :d 316图（ c）的 A 点 :N127.38MPaAB 点 :N8050.96MP a127.38MPaA,d316图（ d）中 A 点 ( 压应力 ):M120 10325.48MPaWz3)33.14 (20 1032B 点 :QS*z4Q0.17MP aI z b3A(b ）中的 A 为危险点，（ c）中的 A、 B 为危险点，（ d）中的 A ，B 点均为危险点 , 相比之下 A 点的应力较大。6. 已知应力状态如图所示 ( 应力单位 :MPa) 。试用图解法求 :(1)(a) 、 (b) 中指定斜截面上的应力 ; 并用解析法校核之 ;(2)(c) 、 (d)、 (e) 上主应力的大小与方向, 在单元体上画出主平面的位置, 求最大切应力。(a)30 0 斜截面单元本 ;(b)450斜截面单元体 ;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体(e) 拉压切单元体。解：(a)按比例画出应力圆如下图, 可得 =300 的斜截面的正应力和切应力为E 点的坐标为3045MP a308.5MP a解析法校核：xyxy22xysin 2x2cos2x sin230 5050 30 cos60 45MPa22cos2503035 38.5MPa22(b) 用比例画出应力圆 ,E 点的坐标为455MP a4525MP aE2XOCY解析法校核：yxyxy cos 2x sin 25050 cos90 20sin 90 5MPa2222xysin 2x cos 250 sin 9025MP a22(c ）应力圆如下图, 与 轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：1OA 150MPa ,20,3OA250MPa主平面的方位可由应力圆上量得, 因2D1OA190最大主应力作用面与x 平面之夹角为( 从 D1 到 A1 是顺时针转的):45最大切力；1350MPamax2(d ）应力圆与 轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：12OAOA1 70MP a230MP a ,30最大主应力作用面与x 平面之夹角为( 可由应力圆上得):2FCA 19045最大切力maxCF20MPa(e ）应力圆与 轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为1OA144.7MPa3OA 244.7MPa主平面的方位，可由应力圆上量得：226.513.2（对应于主应力 1 所在主平面）最大切力max40MPa