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2022年高三冲刺阶段解答题训练题集3立体几何部分解答题及参考答案说明：1-16理科17-33文理共用1、如图，在四棱锥中，即_L平面力切/AD工CD,如平分NADC,为外的中点，AD=CD=,DB=2y2.(文理共F除、(1)证明平面BDE解：证明：设.ACCBD=H,0,连结日/在中，因为力。=，且DB平分乙ADC,所以，为/C的中点.又由题设，E为外的中点，故EH/PA.又日/u平面BDE且PAQ平面BDE,所以21平面BDE.证明：因为外_L平面48。，/CU平面力切叫所以由可得，DBLAC,又PDCDB=D,故AC1.平面PBD.2、如图，在三棱锥户一力8c中，2I_L底面48C,PA=AB,ZABC=6Q,N801=90,点久分别在棱户8、PC上,旦DEBC.r(1)求证：8CJ平面C；Vs当。为用的中点时，求距与平面01c所成的角的正弦值；/是否存在点日吏得二面角彳一宏一户为直二面角？并说明理父解：:必_L底面48C,:.PA1BC.又4BCA=9G,：.ACBC,：.8C_L平面PAC.1为阳的中点，DE/BC,：.DE=BC.又由知，86平面0IC,二。2L平面21a垂足为点是4?与平面21c所成的角.底面48C,.月丘四又=幽力昭为等腰直角三角形,148.在Rt力宛中，NABC=6G,：.BC=AB,.-.RtA/IPFDEBCa/2中sinZDAE=一=十，sin乙A)2A)4，a/2即47与平面21c所成角的正弦值为号4:DE/BC,又由知，BCX.平面PAC,.平面PAC.又.?:=平面PAC,比U平面PAC：.DEAE,DEI.PE,.N为二面角力一斯一户的平面角.,/PAL底面ABC,：.PAA.AC,；.NPAC=90，二在棱国上存在一点,使得力RLPC这时，4AEP=90故存在点使得二面角彳一比一户是直二面角.D.3.在棱长为。的正方体ABC。-4瓦中，E是线段AG的中点，acQbd=f.A(I)求证：CE_LB。；1D、第3题图(II)求证：CE平面ABO；(III)求三棱锥ABC的体积.解：(I)证明：根据正方体的性质BDLAC,因为A4,J平面ABC。，8Du平面ABC。，所以8D_L例，ACQAAi=A所以BO_L平面ACGACE1BD;,10 分(II)证明：连接4/，因为AA叫CG，=四=(7,%由于E是线段AG的中点，所以CE/FA,所以ACC0为平行四边形，因此AGAC，AG=ACA因为FA|U面48。，。.平面48。,所以CE平面A5O(III)V,)ABC=V.c=SCD-AyA=IJ-/1|oC-nlJ3ZWvU$12分4.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.E是侧棱PC上的动点.(H)(ni)求证：BDLAE若E为PC的中点，求直线与平面PB。所成角若五点尸在同一球面上，求该天俯视图主视图证明：由已知PCBC,PCDC=PC面ABC。2分/BDu面ABC=BD工PC,又因为BDAC,/.BD面PAC,又AEu面尸4C.BDAE.4分解法一：连AC交BD于点0,连P0,由知BD1面PAC,=面BED面尸AC,过点E作77POTH,贝1JEH_L面，:.NEBH为BE与平面PBD所成的角.8分-：EH=-,BE=E,则31sinZB/7=4=.1。分V26法二：空间直角坐标法，略.解：以正方形ABC。为底面，PC为高补成长方体，此时对角线弘的长为球的直径，2R=PA=Jl+1+4=x/6,.5、如图，已知AB平面ACO,DE/AB,AD=AC=DE2AB2,且b是CD的中点.AF=W)(文理)(I)求证：A/平面BCE；(II)求证：平面8饭1平面。E;(in)求此多面体的体积.解：(I)取四中点P,连结FP、BP,为的中点，：.FP/DE,MFP-DE.2又ABDE,且/后Loe2：.AB/FP,且力作阳即为平行四边形，：.AF/BP.3分又江平面5阳BPu平面BCE,尸平面旌5分(II),:AF=E：.CD=2,所以为正三角形，AFA.CD,.3L平面DE/AB.%_L平面ACD又力=平面ACD：.DEVAF又AFLCD,CDCDE=D.,.4凡L平面CDE又BP/AF：.BPL平面建又u平面BCE10分平面腔平面CDE(HI)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥,SABED=(1+-2=3,面ABDE_L面48.等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高C-ABDE=x3X/3=y/35、如图，四面体48C。中，0、分另|J8。、8c的中点,C4=C8=CD=8D=2(I)求证：40_L平面BCD；(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(III)求点E到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：(I)证明：连结0C错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中，由已知可得错误!未找到引用源。而错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误！未找到引用源。即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。(II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、0E,由E为BC的中点知错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。直线0E与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。是直角错误!未找到引用源。斜边AC上的由线，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到碉氤型直线AB与CD所成角的余弦值为曰错误!未找到引用言。(III)解：设点E到平面ACD的距离为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。而错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。点E到平面ACD的距离为错误!未找到引用源。方法二：(I)同方法一。(II)解：以。为原点，如图建立空间直角坐标系，则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。za必错误!未找到引用源。/X错误!未找到引用源。异面直线AB与CD所成角的多%值为当(III)解：设平面ACD的法向量为错误!未找到寻前源。则E错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。令错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。是平面ACD的一个法向量。又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。点E到平面ACD的距离错误!未找到引用源。6、如图，在棱长为1的正方体错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。是侧棱错误!未找到引用源。上的一点，错误!未找到引用源。(I)、试确定错误!未找到引用源。，使直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的正切值为错误!未找到引用源。；(II)、在线段错误!未找到引用源。上是否存在一个定点错误!未找到引用源。，使得对任意的错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。在平面错误!未找到引用源。上的射影垂直于错误!未找到引用源。，并证明你的结论。解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(l,O,O),B(l,l,O),P(O,l,m),C(O,1,O),D(0,0,0),Bi(1,1,1),Di(0,0,1).所以错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。又由错误!未找到引用源。的一个法向量.设错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。依题意有：错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。.故当错误!未找到引用源。时，直线错误!未找到引用源。(2)若在错误!未找到引用源。上存在这样的点错误!未找到引用源。，设此点的横坐标为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源一依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点时，满足题设的要求.7、如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=错误!未找到引用源。，BD=CD=1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD1BC(2)求二面角B-AC-D的大小(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。解法二：(1)作错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。，连错误!未找到引用源八错误！Z7rA/A未找到引用源八错误!未找到引用源。，则四边形错误!未找到引用源。是正方形，且错误!未找到引晨用源。，以错误味找到引用源。为原点，以错误!未斤二冷2找到引用源。为错误!未找到引用源。轴,错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。轴建立空间直角坐标系如图，则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。则由错误!未找到引用源。知:错误!未找到引用源。；同理由错误!未找到引用源。知:错误!未找到引用源。可取错误!未找到引用源。同理，可求得平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用源。由图可以看出，三面角错误!未找到引用源。的大小应等于错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，即所求二面角的大小是错误!未找到引用源。.设错误!未找到引用源。是线段错误!未找到引用源。上一点，则错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用源。要使错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。成错误!未找到引用源。角，由图可知错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。，解得,错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。故线段错误!未找到引用源。上存在错误!未找到引用源。点，且错误!未找到引用源。，时错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。成(I)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；(II)求二面角P-AB-C的大小；(HI)设点M在棱PC上.，且错误!未找到引用源。为何值时，PCJL平面BMD.解：错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。又错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，由平面几何知识得：错误!未找到引用源。以错误!未找到引用源。为原点，错误！p未找到引用源。分别为错误!未找到引用/1源。轴建立如图所示的空间直角坐标系，/范c则各点坐标为错误!未找到引用源。，错涔W误!未找到引用源。，错误!未找到引用”源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(I)错误味找到引用源。，错误味找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。故直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的余弦值为错误!未找到引用源。(II)设平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用源。，由于错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。取错误!未找到引用源。，又已知平面ABCD的一个法向量错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。又二面角错误!未找到引用源。为锐角，错误!未找到引用源。所求二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找到引用源。(III)设错误!未找到引用源。，由于错误!未找到引用源。三点共线,错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。由（1）（2）知：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。9、如图，在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，斜边错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。可以通过错误!未找到引用源。以直线错误!未找到引用源。为轴旋转得到，且二面角错误!未找到引用源。是直二面角.动点错误!未找到引用源。的斜边错误!未找到引用源。上.（I）求证：平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。；（II）当错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点时,求异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角的大小；（III）求错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的最大角的正切值.解法一：（I）由题意，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是二面角错误!未找到引用源。是直二面角,又错误!未找到引用源。二面角错误!未找到引用源。是直二面角，错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。.(II)作错误!未找到引用源。，垂足为错误!未找到引用源。，连结错误!未找到引用源。(如图)，则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。是异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角.在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。.又错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成最大角的正切值为半(III)由(I)知，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成的角，且错误!未找到引用源。.当错误!未找到引用源。最小时，错误!未找到引用源。最大，这时，错误!未找到引用源。，垂足为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的最大值为错误!未找到引用源。.解法二：(I)同解法一.(II)建立空间直角坐标系错误!未找到引用源。，如图，则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角的大小为错误!未找到引用源。.(川)同解法一10、如图，已知四棱锥P-A8CD,底面八8CD为菱形，以，平面48CO,错误!未找到引用源。上，F分别是8Gpe的中点.(I)证明：AE1PD;(II)若7为P。上的动点,EH与平面以。所成最大角的正切值为错误!未找到引用源。，求二面角EAFC的余弦值.(I)证明：由四边形A8CD为菱形，ZABC=60,可得48C为正三角形.因为E为8c的中点，所以好_L8c.又BC/AD,因此4EL/W.因为以_L平面48CD,4E错误!未找到引用源。平面八8CD,所以PALAE.而PA错误!未找到引用源。平面PAD,AD错误!未找到引用源。平面力。且以所以4E_L平面以D,又PD错误!未找到引用源。平面以D.所以AE1PD.二：由（I）知八E,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以X/kA（0,0,0）,B（错误!未找到引用源。，-1,/刈0）,C（C,1,0）,小丫D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（错误!未找到引用源。，0,0）,F（错误!未找到引用源。）,所以错误!未找到引用源。设平面AEF的一法向量为错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。因此错误!未找到引用源。取错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。因为BDLAC,BDPA,PAHAC=A,所以BDJ_平面/FC,故错误!未找到引用源。为平面AFC的一法向量.又错误!未找到引用源。=（-错误!未找到引用源。），所以cosVm,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。%因为二面角E加-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。11X如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,PA=AB,NABC=60,ZBCA=90,点、D,E分别在棱P3,PC上，旦DE/BC(I)求证：8C_L平面PAC;(II)当。为总的中点时，求4。与平面PAC所成的角的大小；(III)是否存在点E使得二面角4-E-P为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.(III)VAE/BC,又由(I)知，BC_L平面PAC,，DE_L平面PAC,又.AEu平面PAC,PEu平面PAC,.*.DEAE,DEPE,AZAEP为二面角A-DE-P的平面角，：PA_L底面ABC,.*.PAAC,/.NPAC=9(f.在棱PC上存在一点E,使得AEJ_PC,这时ZAEP=90,故存在点E使得二面角A-止-尸是直二面角.【解法2如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系A-孙z,PA=a,由已知可得A(0,0,0),fl-a,-a,0,C0,a,0,P(0,0,a).(I);丽=(0,0,a),沅=(；a,0,0),/.BCAP=0,BCAP.XVZBCA=90,/.BCAC,.BCl,平面PAC.(IDCD为PB的中点,DE/BC,.E为PC的中点,5 1、一CI 94 2，又由(I )知，BC_L平面PAC,.，DE_L平面PAC,垂足为点E./.ZDAE是AD与平面PAC所成的角，ad =,AE = (o,-a,-a42cos Z.DAE =ADAE V14|ad|.|a| 4.，AD与平面PAC所成的角的大小Vl4arccos.4(III)同解法1.12、如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2,BD=V2,AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.(I)求二面角BAFD的大小;(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.本小.题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心0,过。作0G_LAF,G为垂足。连接BG、DGO由BD1AC,BD1CF得BD_L平面ACF,故BDlAFo于是AF_L平面BGD,所以BG_LAF,DG1AF,NBGD为二面角BAF由 FCLAC,D的平面角。R7=AC=2,得E4C=工，OG=42由OB，OG,O8=O0=J,得N8GO=2N8GO=22（向量法）以A为坐标原点，而、AC,荏方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量还（qz）,则由竺=得卜率+令2y+2z=0z=l,得卜=-3,=（-72-1,1）1尸-1同理，可求得平面ADF的法向量区=（正,-1,1）。由雇第=0知,平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于工。2（II）连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCDo过H作HP，平面ABCD,P为垂足。因为EAJ_平面ABCD,FCL平面ABCD,所以平面ACFE_L平面ABCD,从而由符/箝会得叫。又因为%=故四棱锥H-ABCD的体积丫=：S菱形abcd-P=13、如图6,ABC。-A5cA是棱长为6的正方体,E、尸分别是棱A3、3C上的动点，,AE=BF.求证：AF1C.E;当劣、E、F、G共面时，求：3到直线GE的距离；面DE与面CQF所成二面角的余弦值.解：以。为原点，DA.DC、OR所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系1分，则4(6,0,6)、G(。，6,6),设=则(6,机，0),F(6-w,6,0)2分，从而乖=(-加，6,6)、QE=(6,m-6,-6)3分，直接计算知福.牛=0,所以FlCjE5分.当A、E、F、G共面时，因为底面ABC。/A与GR,所以ACHEF6分，所以E/AC,从而E、E分另I是AB、8C的中点7分，设R到直线孰后的距离为人，在ACQE中，C,F=V62+62+32=9,C.Exh=CDixBCl解得人=4上9分.22由得，(6,3,0)、尸(3,6,0),设平面ADE的一个法向量为,.=(a,b,c),依题意丁竺=63。=010分，所以/?1DA-6a+6c=0W=(T,2,1)11分，同理平面CDF的一个法向量为=(2,-1,1)13分，由图知，面AQE与面GOF所成二面角的余弦值cos。=吧(即人匹)14分.1 %II%I2314.(本题满分14分)如图，已知乙尸分别是正方形拔。边吹、。的中点，E尸与AC交于点。，PA、NC都垂直于平面ABC。，且E4=AB=4,NC=2,“是线段上一动点.(I)求证：平面PAC，平面NEJ(II)若PC平面ME/试求尸的值；(III)当m是以中点时，求二面角M-EF-N的余弦值.P解：法1:(I)连结8D,(II)连结OM,/PC平面MEF,平面PACD平面MEF=OM,PCIIOM,PMOC：.PA-7c_4,故PM;MA1:38分(111) .4_L平面。，OMu平面PAC,：.EFLOM,在等腰三角形NEE中，点。为砂的中点，.NO_L所，NMON为所求二面角M-EF-N的平面角，10分.点M是丛的中点，.,.AM=NC=2,所以在矩形MNC4中，可求得MN=AC=40,NO=a,MO=4?2,12分cos 4 MON 由余弦定理可求得MO2 + ON2 -MN22 Mo ONV33 IT,面角M-EF-N的余弦值为14分后法2：(1)同法1；(II)建立如图所示的直角坐标系，则口。，。，4),C(4,4,0),E(4,2,0),（2,4,0）,-PC=（4,4,-4）EF=（-2,2,0），设点M的坐标为（0。加），平面MEE的法向量为斤=（x，MZ）,则n-ME=0f4x+2y-mz=06所以=gp-2x+2y=0,令彳=1,贝口=1,zm，n=（l1_4+4_丝=（）故X,：PC平面MEF,尸。=0,即m，解得?=3,故A=3,即点M为线段出上靠近户的四等分点；故PM:M4=1:38分(III)N(4,4,2),则丽=(0,2,2),设平面的的法向量为记=(x，z),m-EN=0m-EF=02y+2z=0即-2x+2y=0,令=1则y=i,z=-l,即机=（1,1,T）,当M是小中点时，m=2,贝|万=(1,1,3),cos=1+13V3333后二面角M-M-N的余弦值为一方.14分15、（本小题满分14分）如图，圆柱的高为2,底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形。（I）求证：BCBE;n）求正方形ABCD的边长；m）求直线E尸与平面46尸所成角的正弦值。解：（1）AE是圆柱的母线二AE_L底面BEFC,1分又3Cu面BEFC/.AEBC.2分.又:ABCD是正方形ABLBC又AEcAB=A:.BC1.面又BEu面ABE/.BCBE.4分(2).四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方形/.EF/BC5C_LBE.四边形EFBC为矩形BF为圆柱下底面的直径1分设正方形ABCD的边长为x,贝UAD二EF=AB=x在直角AAEB中AE=2,AB=X,SBE2+AE2=AE在直角&BEF中BF=6,EF=x,且BE2=36-x22分解得X=2套，即正方形ABCD的边长为2453分(3)解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系，贝ljA(275,0,2),B(FA=(2a/5,0,2),FB=(FE=(2V5,0,0)1分设面AEF的法向量为=(x,j,z)ifFA=(x,y,z)(2V5,0,-2)=2V5x-2z=0丽=(x,y,z)(2a/5,4,0)=iVix-4y=0令x=l,则y=在,z=痣,即=(24分J2,得BE2=x2-4BE2+EF2=BF2,的ZAJ,F、,yCgE(2V5,0,C2V5,4,0),则.3分1,巫，斯)2设直线与平面Abb所成角的大小为。，则sin。= |COS | =nEFn - EF25/525/29所以直线M与平面ABF所成角的正弦值为272929解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(4,0,0),.F(0,2V5,0)BF=(-4,2V5,0),AF=(0,2a/5,-2)EF=(0,2V5,0).1分设面AEF的法向量为=(x,y,z)nAF=(x,y,z)(0,2石,-2)=27iy-2z=0nBF=(x,y,z)*(-4,275,0)=2j5y-4x=0令y=l,则“务=后即G=（去，-亚）sin。=1COS /292V5-J- + 1 + 5设直线与平面Abb所成角的大小为。，则所以直线M与平面四户所成角的正弦值为返。7分2916如图，在四棱锥P-A8C中，底面A8CO为菱形，ZBAD=60,。为A。的中点。(1)若PA=PD,求证：平面PQ5L平面PA。；(2)点M在线段PC上，PM=tPC,试确定/的值，使PAH平面MQB；(3)在(2)的条件下，若平面皿)_L平面ABCD,且PA=P=A=2,求二面角M-8Q-C的大小.。P、解：(1)连BD,四边形ABCD菱形，VADAB,ZBAD=60ABD为正三角形，Q为AD中点，ADJ_B於、VPA=PD,Q为AD的中点，ADPQ又BQGPQ=Q.，.AD_L平面PQB,ADu平面六出/,冷,平面PQB_L平面PAD(2)当t=g时，PA平面MQ8下面证明，若PA平面连AC交BQ于N由 AQ5C 可得，AANQsaBNCAQ AN BCNC1.PA平面M28,E4u平面PAC,平面尸ACPI平面M2B=A7N,:.PAHMNPM AN 17c-7c-3即：PM =-PC3(3)由PA=PD=AD=2,Q为AD的中点，贝IPQ_LAD。又平面PAD_L平面ABCD,所以PQJ_平面ABCD,以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A(1,0,0),B(0,V3,0),Q(0,0,0),P(0,0,V3)设平面MQB的法向量为3=(x,y,l),可得，:丝=。丝=,解得7=(百,0,1)nMN=0=0/XVVX.取平面ABCD的法向量送=(0,0,1)1；,QL。以二二cos=,故二面角M-BQ-C的大小为6J.：二一普工-上17.在棱长为。的正方体ABCQ-44CQ中，E是线段AC中点，ACQBDF.(I)求证：CE_LB;(II)求证：CE平面480；(III)求三棱锥。-4国？的体积.解：(I)证明：根据正方体的性质80_ac，因为一乜一平面468,BDz平面,所以6D一一H，AC.-Li=A所以80一平面HCG1士，CE;平面aCGd，所以CE_3Z)；(II)证明：连接鼻下，因为.-LiBB、CC-,.-LI=BB=Cq,所以hcgw为平行四边形，因此$gac,ac.=ac由于E是线段.C：的中点，所以CEFA,因为E七二面CE二平面所以CE平面A.BD(III) 丫V.bcd=-Scd-A.A=/1|DCi./3tJoCL/I618、矩形ABC。中，AO_L平面ABE,且BE_L平4CE.(I)求证：AE_L平面BCE；(II)求证；AE/BFD；(III)求三棱锥C-8G9的体积.解：(I)证明：ao_l平Babe,ad/bc：.BC平面ABE,贝ljAEBC2分又：BF平面ACE,则AE_LBFAE_L平面BCE4分BF平ACE贝UCEJ.BF,而8C=BEF是EC中点6分在AAEC中，FG/AE：.AE平面8分(III)解：AE平面8尸。AE/FG,而4E_L平面BCEfGJ_平面3CE，FG_L平面3CV10分G是AC中点，R是CE中点FG/AEFG=-AE=12BF_L平面ACEBFLCE，RfABCE中，BF=CF=-CE=y22:,S&cFB=g亚尬=112分,Vjbfg=Vg-bcf=qSrcfbFG=-14分19、如图，已知PA_L。所在的平面，A8是。的直径，A8=2,C是。0上一点，且AC=8C,PC与。0所在的平面成45。角，E是PC中点.F为PB中点.(I)求证：EFUABC;(II)求证：面PAC；(III)求三棱锥B-PAC的体积.所以EF/BC,3Cu面ABC,EFz面ABQ所以.1EQ面ABC4分(H)4= BC1PA(1)又A8是。的直径，所以8CL4C(2)由(1)(2)得8c_L面PAC8分因EF/BCBC_L面PAC,所以EFJ.面PAC9分(IID因PA_L。所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，.NPC4即为PC与面ABC所成角，/.ZPC4=45,PA=AC11分在RrAABC中，E是PC中点，ABAC=-,AC=BC=212分4匕ec=%TBC=gscPA=区分20、一简单组合体的一个面ABC内接于圆0,AB是圆。的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC_L平面ABC.(1)证明：平面ACD_L平面ADE；若由2,BC=T,tan卸邛,试求该简单组合体的体积V.解：（1）证明:/DC_L平面ABC,BCu平面ABCDC1BC.2分AB是圆0的直径BCLACDCAC=C8cl平面ADC.4分,/四边形DCBE为平行四边形/.DE/BCOE_L平面ADC.6分又,/DEu平面ADE平面ACD1ADE7分(2)解法1:所求简单组合体的体积：V=VE_ABC+,*AB=2,BC=1,tanNEAB=AB2BE=百,AC=yjAB2BC2=/1L分*VE-ADC=-SMDCDE = -AC DC DE = -62-ACBCEB = -12分该简单几何体的体积V = 1解法2：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直 A13E如图.=2,BC=T,tan/EAB当BE=百,AC=/AB2BC1=610分v = vACB.fD-v_ADFSmcb , DC SMDC - DE12=-ACCBDC-ACDCDE26=xgxlxGXx/3x73xl=l14分2621、如图平面ABCD_L平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形,AF=AD=2,G是EF的中点，2(1)求证平面AGCJ_平面BGC；(2)求空间四边形AGBC的体积(I)证明：;点、G是正方形ABEF的边EF的中点。/.AG=BG=y/22+22=2V2从而得：AG2+BG2=AB2,/.AG1BG,又因为:平面ABCDJL平面ABEF,且CD_LA3,所以，8,平面ABEF,得CB1AG,/.AG1平面BCG,又因为直线AG在平面AGC内，故：平面人6(：上平BGC。000000000000007分(2)解：由(1)得知：直线CB1.平面ABEF,所以，CB是四面体AGBC的高而：54x272x272=4,所以,%8g=；x4x4=14分22、正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,AF为折痕，折叠这个正方形，使点B,C,D重合于一点P,得到一个四面体，如图所示.求证:APLKE；求证:平面APE1平面APF;求三棱锥PAEF的体积.证明：(1).ZAPE=ZAPF=9O0,PEcPF=P,二PA_L平面PEF.3分又E/u平面PEF,PALEF.5分(2) vZAPE=ZEPF=90,APryPF=P,:.PE1APR8分又PEu平面APE,.平面APE_L平面APF.10分由知PA_L平面PEF,VP-AEF=VA-PEF，AP=；X；X；X；X1=：23、已知BC。中，ZBCD=90，BC=CD=1,八8,平面8cN4D8=60,E、F分别是47、八。上的动点，且竺=0/11).ACAD(1)求证：不论人为何值，总有平面8EF,平面八8C；(II)当人为何值时，平面8EFJ_平面ACD?(14分)证明：(I)平面BCD,，AB_LCD,*.CDBC且ABABC=B,，CD_L平面ABC.3分Xv=A(02=60。，且BO_LCD,正方形AOEfF和平面A8CO成直二面角，G,H是OF,BE的中断7E(I)求证：8。_L平面COE；/(H)求证：G”平面COE;人、/(III)求三棱锥O-CE尸的体积./7(I)证明：平面平面A8CO,交线为ADEDLADEOJ.平面488EDVBD又：BDA.CD8。_L平面COE(ID证明：连结E4,则G是AE的中点中，GH/AB6分又AB/CDGHUCD：.G平面CDE(III)解：设R/MCD中3C边上的高为力依题意：2-A=1V322/l=2即：点C到平面团的距离为当1。分Vd-CEF=YC-DEF=-2214，分26、已知：四棱锥A-BCDE底面BCDE是菱形，ZEBC=60,AB,平面BCDE,AB=BD=2百。(1)求三棱锥D-ACE的体积；(II)求证：平面ACE_L平面ABD解(1),/底面BCDE是菱形，NEBC=60CBE是正三角形,且BD1CE-2分BD=2/3FD=CD=FD=卑=2。cos305/32%ace=LCI)E=-Scl)EAB=-2-y/3-2y/3=2U一/1VCA3AVUCi32(2)AB1平面BCDE,CEu平面BCDE,AB1CE10又BDCE,ABABD=BCEABD12分又CEu平面ACE；平面ACE_L平面ABD27、在长方体ABC。-4与GR中,别为CQ、A2的中点.(I)求证：OE_L平面BCE;(II)求证：平面8DE.(I)证明：:BCjJ则面CDQG，DEu侧面CQRG，.OE_L8C,3分在CDE中，CO=2a,CE=DE=41a,贝lj有CD2=CE2+DE2,:.ZDEC=90：.DELEC,6分又BCEC=C：.DEA.平面BDE.(II)证明：连AG，连AC交8。于。，-EF/-A.C.,AOH-A.C,二四边形AOEF是平行四边=2=2形，10分:.AF/OE11分又.OEu平面8OE,/.AF/BDE.分28、正方体ABCD-A|B|CR,AA,=2(I)求证：B,D,1AE;(II)求证：AC/平面8QE;(Ill)求三棱锥A-BDE的体积.(I)证明:连结8D,则即用乌,1分A8CO是正方形，JAC_L6.VCE1.ABCD,：.CELBD.又ACC|CE=C,BDlACE.4分AEu面ACE,BDLAE,B.D,1AE.5分(II)证明：作的中点F,连结AF、CF、EF.E、尸是CCBB1的中点，/.CEUb、F,，四边形与FCE是平行四边形，CF/B.E.7分:E,F是CCPBB,的中点，:*EF/JBC,又BC/AD,EFIJAD.四边形A户是平行四边形，.A/7/E。，VAFCF=C,BXEED=E,，平面ACC面BQE.9分又ACu平面Ab,；.AC面与DE.10分Smbd=ABAD=2.11分Va.BDE=Ve-aBD=SgBDCE=SbdCE14分29、在正方体ABCQ-ABCR中，M为的中点，。为4c的中点,AB=2.(I)求证：8R平面ACM;(II)求证：80_L平面ACM;(III)求三棱锥。-AB|M的体积.(I)证明：连结30,则3。与AC的交点为。，为正方形的对角线，故。为中点；连结MO,分别为的中点，/.OMIIBDt,2分QMu平面ACM,平面ACM3分即平面ACM.4分(II)vACLBD,DDABCD,且ACu平面ABC。，AC1DDt；且80n。=0，ACJ_平面6分04u平面BDDBB,OAC,7分连结8阳，在中，MO2=12+(V2)2=3,B.O2=22+(V2):=6,B,M2=12+(2V2)=9,B.M2=MO2+BO2,/.BplOM又0时04。=0,80，平面AMC；11分(III)求三棱锥。-的体积11I11-O-AB,M=XBlXStM)M=xJ6X5XQAXQAf,=x/6xx/2x-/3=1.14分32法二：可证AO_L平面08附，则=匕-081M=丁AOxSaom=5、&*于。玛X.OM=-Xy/?.XXy/bXy/3-30、四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PACD,PA=,PD=x/2.(I)求证:PA_L平面ABC。；(II)求四棱锥尸-ABCD的体积.（I）因为四棱锥P-ABC。的底面是边长为1的正方形，PA=1,PD=&所以PD2;尸片+4不，所以PAJLA。4分又PALCD,ADQCDD所以PA1平面ABCD8分（II）四棱锥P-4BCD的底面积为1,因为尸A_L平面ABC。，所以四棱锥P-MC的高为1,所以四棱锥P-ABCD的体积为工312分产为CE上的点，且8产_1平面4CE.E31、如图，四边形A8CD为矩形，平面A8E,(2)设点M为线段A8的中点，点N为线段CE的(1)求证：AEA.BE;MN平面DAE.(1)证明：因为5CJ.平45E,AEu平45E,所以4ELBC,2分又8FJ.平面ACE,4Eu平面ACE,所以AE_L8E,4分又BFCBC=B,所以AE_L平面BCE6分又8Eu平面BCE,所以AE1BE.8分(2)取。E的中点尸，连接PAPN,因为点N为线段CE的中点.所以PN|DC,且PN=-DC,10分2又四边形A8CO是矩形，点”为线段AB的中点，所以AA7|Z)C,且AM=；OC,所以PN；|AA7,且PN=AA7,故四边形AMNP是平行四边形，所以MN|AP12分而APu平面ZME,MNU平面D4E,所以MN平面C4E.32、矩形ABC。中，ADLABE,AE=EB=BCD产为CE上的点，且BEJL平面ACE.(I)求证：AEJ_平面BCE；A(II)求证：AE/平面3/。.(I)证明：40，平段3以AD/BC.，8C_L平面ABE,贝ijAELBC又8尸，平面ACE,则AEJ_6尸E(4分)，AE_L平面5CE.(II)证明：依题意可知：.bf平面ACE则CEBF(12分)在MEC中AE平面5尸。.33、在直三棱柱ABC-A3中,（8分）G是AC中点,而BC=BE,是EC中点.,FG/AE.、夕（14分）.B1C1BCDAB=8,AC=6,NBAC=90。，。是BC边的中点，直线A与底面ABC所成的角为60。.(I)求直三棱柱ABC-A用G的体积；(II)求证：AC/面A8Q.解：.三棱柱A5C-AB是直三棱柱/.AA_L底面ABC,ZA,CA就是直线与底面A8C所成的角为60。2分/AC=6,AA=ACtan60=6y/34分AC=6,AB=8,BC=10,.BC2=AC2+AB2,:.NBAC=90,.三棱柱A8CA8的体积V=gx6x8x6g=1447分(II)连结OE,因为E是矩形4AB与对角线的交点，所以E是A3的中点，9分又。是5c边的中点，故DE是ABAC的中位线.:.DEHC11分，又。Eu面D481，ACz面年面以吕.14
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