高考数学浙江专用总复习教师用书：第8章 第6讲　空间向量及其运算 Word版含解析

第6讲空间向量及其运算最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a0)与b共线的充要条件是存在实数，使得ba.推论如图所示，点P在l上的充要条件是ta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若ab0，则a，b是钝角()解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直解析由题意得，(3，3，3)，(1，1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点.ABCD.答案B3.(选修21P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若a，b，1c，则下列向量中与相等的向量是()A.abc B.abcC.abc D.abc解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，11()c(ba)abc.答案A4.已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.解析ab2(4)321x0，x2，|b|2.答案25.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.解析P，A，B，C四点共面，t1，t.答案6.(2017浙江三市十二校联考)已知向量a(1，2，3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x_；y_.解析由题意知ab，则，可得把代入得x2x20，解得x2或x1.当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，向量a与b反向，不符合题意，故舍去.当时，b(1，2，3)a，向量a与b同向，故答案13考点一空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【训练1】 (2017上饶期中)如图，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则()A.(abc)B.(abc)C.(abc)D.(abc)解析()()(abc).答案B考点二共线定理、共面定理的应用【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接BG，则()，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为()，因为E，H，B，D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.规律方法(1)证明空间三点P，A，B共线的方法(R)；对空间任一点O，xy(xy1).(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法xy；对空间任一点O，xyz(xyz1)；(或或).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练2】 (1)若A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则mn_.(2)已知空间四点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，D(1，2，t)，若四点共面，则t的值为_.解析(1)(3，1，1)，(m1，n2，2).A，B，C三点共线，m7，n4，mn3.(2)(1，1，0)，(1，0，2)，(3，2，t2)，A，B，C，D四点共面，共面.设xy，即(3，2，t2)(xy，x，2y)，则解得t的值为0.答案(1)3(2)0考点三空间向量数量积的应用【例3】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|a.MN的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos ，向量与的夹角的余弦值为，因此异面直线AN与CM所成角的余弦值为.规律方法利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|；(3)cosa，b.【训练3】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.(1)解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|1|，即AC1的长为.(2)证明abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.思想方法1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.易错防范1.在利用xy证明MN平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为式只表示与，共面).2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.4.ab0不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为0.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017台州统考)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2 C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.B.C.D.与的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为，90，因为0，0，所以.答案C4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A.1 B. C. D.解析由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得k.答案D5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C二、填空题6.已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_.解析由题意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c，b，c120，两直线的夹角为60.答案607.(2017宁波十校联考)已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，a与b夹角的余弦值为_；若a(ab)，则_.解析a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b；由题意a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，1470，2.答案28.(2017北京顺义一模)设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使0成立的点M的个数有_.解析设M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5).则(xka，ykb，zkc)，由0得存在唯一点M.答案1三、解答题9.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图所示，在平面角为120的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B.已知ACABBD6，求线段CD的长.解ACAB，BDAB，0，0.二面角AB的平面角为120，18012060，CD22()2222222362262cos 60144，CD12.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.在空间四边形ABCD中，()A.1 B.0 C.1 D.不确定解析如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案B12.若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z.则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为p在a，b，c下的坐标为(4，2，3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3).答案B13.(2017郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是_.解析点Q在直线OP上，设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.即当时，取得最小值.此时.答案14.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.(1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明A1，E，F，C1四点共面，共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.15.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(3)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.