2017年广西省高三上学期教学质量诊断性联合考试数学（文）试题

2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试数学（文）试题一、选择题1下列集合中，是集合的真子集的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以由真子集的概念知集合的真子集是，故选D【考点】1、不等式的解法；2、集合间的关系2复数的实部与虚部分别为（ ）A. ， B. ， C. , D. ,【答案】A【解析】试题分析：，的实部与虚部分别为,故选A【考点】复数及其运算3设为钝角，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可得 ，故选B.4设， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选A.5设向量， ， ，若（），则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知可得 ，故选C.6设，满足约束条件则的最大值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示区域内的点与原点间连线的斜率，由图知连线的斜率最大，即，故选A【考点】简单的线性规划问题【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（ ）A. B. 的图象关于对称C. D. 的图象关于对称【答案】B【解析】由已知可得 ，故选B.8执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的等于（ ）A. 94 B. 99 C. 45 D. 203【答案】A【解析】试题分析：由框图程序得第一次运行第二次运行第三次运行第四次运行.此时满足终止运行,输出,故选A.【考点】程序框图.9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为 ，故选B.【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.10函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知可得原函数的定义域为 ，由于 是减函数，故原函数的增区间就是函数 的减区间 ，故选D.11直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点， 为右顶点， 为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由双曲线的对称性可得 ，故选D.12已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知可得 在 上是减函数，故原命题等价于，即 在 上恒成立，设，令，当 时 ，当 时 ，因此 ，故选C.二、填空题13若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为_【答案】【解析】由已知可得所求的 概率为 .14长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_【答案】【解析】试题分析：球心为长方体的体对角线的中点，【考点】1、长方体的外接球；2、球的表面积公式【方法点晴】本题考查长方体的外接球、球的表面积公式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于中档题型 首先利用数形结合思想可判断：球心为长方体的体对角线的中点，从而求得，再代入球的表面积公式可得15已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为_【答案】4【解析】由上图可得交点个数为4.16(数学（文）卷2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米.【答案】21【解析】设 的对应边边长分别 里， 里， 里 故正确答案为 .【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.三、解答题17某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列的前项和【答案】（1）230（2）详见解析【解析】.解：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，（）此看台的座位数为（2），18已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月哪个月的月平均利润最高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据如表，用下行回归的拟合模式估测第3年8月份的利润月份1234利润（单位：百万元）4466相关公式： ， 【答案】（1）5月和6月的平均利润最高（2）详见解析（3）940万元【解析】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高（2）第1年前7个月的总利润为（百万元），第2年前7个月的总利润为（百万元），第3年前7个月的总利润为（百万元），所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势（3）， ， ， ，当时， （百万元），估计8月份的利润为940万元19如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点（1）求证： 平面；（2）若， ，求证： 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：（1）连接交于，连接在中，因为， 分别为， 的中点，所以，又因为平面， 平面，所以平面（2）直三棱柱，故底面， 平面，所以又因为为棱的中点， ，所以，因为，所以平面，所以，因为为棱中点，不妨设，所以，又因为，所以在和中， ，所以，即，所以，因为，所以平面，因为平面，故20已知椭圆： 的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值【答案】（1）椭圆的方程为（2）【解析】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，又，解得， ， ，所以椭圆的方程为（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，将其代入，得，设， ，则， ，因为为线段的中点，故点的坐标为，又直线的斜率为，直线的方程为，令，得，由点的坐标为，则，解得21已知函数（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间；（2）求证： 恒成立的充要条件是【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）详见解析【解析】解：因为，所以，所以，解得令，得，所以得单调递增区间为，令，得，所以的单调递减区间为（2）证明：充分性当时， ， ，所以当时， ，所以函数在上是增函数；当时， ，所以函数在上是减函数所以必要性，其中（i）当时， 恒成立，所以函数在上是增函数而，所以当时， ，与恒成立矛盾，所以不满足题意（ii）当时，因为当时， ，所以函数在上是增函数；当时， ，所以函数在上是减函数所以，因为，所以当时， ，此时与恒成立矛盾，所以综上所述， 恒成立的充要条件是【点睛】本题考查导数的几何意义、函数的单调性、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆的极坐标方程；（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用即可得到极坐标方程；（2）在圆的极坐标方程中令，得到利用即可.试题解析：（1）可化为，故其极坐标方程为.5分（2）将代入，得，.10分【考点】直角坐标与极坐标互化，弦长公式.23选修4-5：不等式选讲已知， 为不等式的解集（1）求；（2）求证：当， 时， 【答案】（1）（2）详见解析【解析】解：（1）当时，由，得，舍去；当时，由，得，即；当时，由，得，即综上， （2）因为， ， ，所以