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21.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质知识链接1arasars;(ar)sars;(ab)rarbr.其中a0,b0,r,sR.2在初中,我们知道有些细胞是这样分裂的:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,.1个这样的细胞分裂x次后,第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y2x,x0,1,2,预习导引1指数函数的定义一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.2指数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域R,值域(0,)图象过定点(0,1),即x0时,y1当x0时,y1;当x0时,0y1当x0时,0y1;当x0时,y1在R上是增函数在R上是减函数要点一指数函数的概念例1给出下列函数:y23x;y3x1;y3x;yx3;y(2)x.其中,指数函数的个数是()A0 B1 C2 D4答案B解析中,3x的系数是2,故不是指数函数;中,y3x1的指数是x1,不是自变量x,故不是指数函数;中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故是指数函数;中,yx3的底为自变量,指数为常数,故不是指数函数中,底数20,不是指数函数规律方法1.指数函数的解析式必须具有三个特征:(1)底数a为大于0且不等于1的常数;(2)指数位置是自变量x;(3)ax的系数是1.2求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件跟踪演练1若函数y(43a)x是指数函数,则实数a的取值范围为_答案a|a,且a1解析y(43a)x是指数函数,需满足:解得a且a1.故a的取值范围为a|a,且a1要点二指数函数的图象例2如图是指数函数yax,ybx,ycx,ydx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc答案B解析方法一在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大由指数函数图象的升降,知cd1,ba1.ba1dc.方法二作直线x1,与四个图象分别交于A、B、C、D四点,由于x1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知ba1dc.故选B.规律方法1.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数yax(a0,a1)的图象与直线x1相交于点(1,a),由图象可知:在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大2处理指数函数的图象:抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);巧用图象平移变换;注意函数单调性的影响跟踪演练2(1)函数y|2x2|的图象是()(2)直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_答案(1)B(2)0a解析(1)y2x2的图象是由y2x的图象向下平移2个单位长度得到的,故y|2x2|的图象是由y2x2的图象在x轴上方的部分不变,下方部分对折到x轴的上方得到的(2)当a1时,在同一坐标系中作出函数y2a和y|ax1|的图象(如图(1)由图象可知两函数图象只能有一个公共点,此时无解当0a1,作出函数y2a和y|ax1|的图象(如图(2)若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个交点,由图象可知02a1,所以0a.要点三指数型函数的定义域、值域例3求下列函数的定义域和值域:(1)y;(2)y;(3)y.解(1)由x40,得x4,故y的定义域为x|xR,且x4又0,即1,故y的值域为y|y0,且y1(2)由12x0,得2x1,x0,y的定义域为(,0由02x1,得12x0,012x1,y的值域为0,1)(3)y的定义域为R.x22x3(x1)244,416.又0,故函数y的值域为(0,16规律方法对于yaf(x)(a0,且a1)这类函数,(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围;(2)值域问题,应分以下两步求解:由定义域求出uf(x)的值域;利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域跟踪演练3(1)函数f(x)的定义域为()A(3,0 B(3,1C(,3)(3,0 D(,3)(3,1(2)函数f(x)x1,x1,2的值域为_答案(1)A(2),2解析(1)由题意,自变量x应满足解得3x0.(2)1x2,x3,x12,值域为.1下列各函数中,是指数函数的是()Ay(3)x By3xCy3x1 Dyx答案D解析由指数函数的定义知a0且a1,故选D.2yx的图象可能是()答案C解析01且过点(0,1),故选C.3y2x,x1,)的值域是()A1,) B2,)C0,) D(0,)答案B解析y2x在R上是增函数,且212,故选B.4函数f(x)ax的图象经过点(2,4),则f(3)的值是_答案解析由题意知4a2,所以a2,因此f(x)2x,故f(3)23.5函数yx21的值域是_答案(0,2解析x211,y12,又y0,函数值域为(0,21.指数函数的定义域为(,),值域为(0,),且f(0)1.2当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快当0a1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快一、基础达标1y2x1的定义域是()A(,) B(1,)C1,) D(0,1)(1,)答案A解析不管x取何值,函数式都有意义,故选A.2已知集合M1,1,N,则MN 等于()A1,1 B1 C0 D1,0答案B解析2x14,212x122,1x12,2x1.又xZ,x0或x1,即N0,1,MN13函数y2x1的图象是()答案A解析当x0时,y2,且函数单调递增,故选A.4当x2,2)时,y3x1的值域是()A(,8 B,8C(,9) D,9答案A解析y3x1,x2,2)上是减函数,321y321,即y8.5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是_答案1a2解析由题意可知,02a1,即1a2.6函数yax51(a0)的图象必经过点_答案(5,2)解析指数函数的图象必过点(0,1),即a01,由此变形得a5512,所以所求函数图象必过点(5,2)7已知函数f(x)ax1(x0)的图象经过点(2,),其中a0且a1.(1)求a的值;(2)求函数yf(x)(x0)的值域解(1)f(x)的图象过点(2,),a21,则a.(2)由(1)知,f(x)()x1,x0.由x0,得x11,于是0()x1()12,所以函数yf(x)(x0)的值域为(0,2二、能力提升8函数y5|x|的图象是()答案D解析当x0时,y5|x|5x()x,又原函数为偶函数,故选D.9已知函数f(x)若f(a)f(1)0,则实数a的值等于()A3 B1 C1 D3答案A解析依题意,f(a)f(1)212,2x0,a0,f(a)a12,故a3,选A.10方程|2x1|a有唯一实数解,则a的取值范围是_答案a|a1,或a0解析作出y|2x1|的图象,如图,要使直线ya与图象的交点只有一个,a1或a0.11求函数y()x22x2(0x3)的值域解令tx22x2,则y()t,又tx22x2(x1)21,0x3,当x1时,tmin1,当x3时,tmax5.故1t5,()5y()1,故所求函数的值域,三、探究与创新12函数f(x)ax(a0,且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大,求a的值解若a1,则f(x)是增函数,f(x)在1,2上的最大值为f(2),最小值为f(1)f(2)f(1),即a2a.解得a.若0a1,则f(x)是减函数,f(x)在1,2上的最大值为f(1),最小值为f(2),f(1)f(2),即aa2,解得a综上所述,a或a.13设0x2,y432x5,试求该函数的最值解令t2x,0x2,1t4.则y22x132x5t23t5.又y(t3)2,t1,4,y(t3)2,t1,3上是减函数;t3,4上是增函数,当t3时,ymin;当t1时,ymax.故函数的最大值为,最小值为.
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