整体法和隔离法讲义

物理总复习正交分解法整体法和隔离法编稿：李传安审稿：张金虎【考纲要求】1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题；2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法；3 、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法；4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。【考点梳理】 要点一、整体法与隔离法1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。2、隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法 （称为“隔离审查对象”）。3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为整体法。 要点诠释：处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求 解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是 互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。 要点二、正交分解法当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解 在加速度方向和垂直加速度方向上，有：Fx ma （沿加速度方向）Fy 0（垂直于加速度方向）特殊情况下分解加速度比分解力更简单。要点诠释：正确画出受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在x轴和y轴上；分别沿x轴方向和y轴方向应用牛顿第二定律列出方程。 一般沿x轴方向（加速度方向）列出合外力等于 ma 的方程，沿y轴方向求出支持力，再列出 f N的方程，联立解这三个方程求出加速度。要点三、合成法若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。要点诠释：根据牛顿第二定律，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相 互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单。【典型例题】 类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例4】例1、如图所示，质量为2m的物块A,质量为m的物块B, A、B两物体与地 面的摩擦不计，在已知水平力 F的作用下，A、B 一起做加速运动，A对B的作用力 为【答案】-3【解析】取A、B整体为研究对象，与地面的摩擦不计，根据牛顿第二定律 由于A、B间的作用力是内力，所以必须用隔离法将其中的一个隔离出来，内力就变成外力了，就能应 用牛顿第二定律了。设 A对B的作用力为N，隔离B, B只受这个力作用N ma m3m 3 o【总结升华】当几个物体在外力作用下具有相同的加速度时，就选择整体法，要求它们之间的相互作用 力，就必须将其隔离出来，再应用牛顿第二定律求解。此类问题一般隔离受力少的物体，计算简便一些。 可以隔离另外一个物体进行验证。举一反三【变式1】如图所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力Fj和F2，且F1F2，则A施于B的作用力的大小为(A .F1B. F2C.12（F1 F2）D.2（R F2）【答案】C“CPA*，”，F1 F2【解析】设两物体的质量均为 m,这两物体在F1和F2的作用下，具有相同的加速度为 a - -，方2m向与Fi相同。物体A和B之间存在着一对作用力和反作用力，设A施于B的作用力为N (方向与F1方 向相同)。用隔离法分析物体 B在水平方向受力 N和f2，根据牛顿第二定律有 N F2 ma1N ma F22(F1 F2)故选项C正确。【变式2】如图所示，A、B两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上 地向右做匀减速直线运动，运动过程中B受到的摩擦力A .方向向左，大小不变B .方向向左，逐渐减小C .方向向右，大小不变D .方向向右，逐渐减小【答案】 A【解析】考查牛顿运动定律处理连接体问题的基本方法。对于多个物体组成的物体系统，若系统内各个 物体具有相同的运动状态，应优先选取整体法分析，再采用隔离法求解。取A、B系统整体分析有（mA mJg （mA mB）a,aB与A具有共同的运动状态，取 B为研究对象，由牛顿第二定律有：fABmBg mBa=常数物体B做速度方向向右的匀减速运动，故而加速度方向向左。例2、质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的 k倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角B保持不变。求：(1 )拖拉机的加速度大小。(2 )拖拉机对连接杆的拉力大小。(3)时间t内拖拉机对耙做的功。2s 1【答案】(1)笃(2)M (kgtcos【解析】(1)拖拉机在时间t内匀加速前进s 1 at22变形得a角(3) F M(kgs，根据位移公式2s|!)s(2)要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析, 拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力 根据牛顿第二定律F kMg T cos联立变形得TMa 1F M(kg cos2s利根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为1T TFcos拖拉机对耙做的功：W联立解得W F2s M(kg -,)T scosM (kg 孑)s【总结升华】 本题不需要用整体法求解， 先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。 类型二、正交分解在牛顿二定律中应用物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时,不管选哪个方向为x轴的正方向，所得的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量 多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来,例3、如图所示，质量为 0. 5 kg的物体在与水平面成 30o角的拉力F作用下，沿水平桌面向右做直线运动.经过 0.5m，速度由0. 6 m/s变为0. 4 m/s,已知物体与桌面间的动摩擦因数=0.1，求作用力【答案】F B0.43N【解析】由运动学公式 v2 Vo 2ax 得 a2 2V V2xF的大小。其中，负号表示物体加速度与速度方向相反，即方向向左。 对物体进行受力分析，如图所示，建立直角坐标系，把拉力 F沿x轴、y轴方向分解得Fx F cos30oFyF sin30在x方向上,F合=F cos30oFn ma在y方向上,F合=0，即FnF sin 30omg联立式,消去Fn得F cos30o(mg Fsi n30)ma所以 Fm(a吐二 B0.43Ncos30+ si n30o【总结升华】对不在坐标轴方向的力要正确分解，牛顿第二定律要求的是合外力等于ma，定要把合外力写对。不要认为正压力就等于重力，当斜向上拉物体时，正压力小于重力；当斜向下推物体时，正 压力大于重力。举一反三【变式1】如图所示，一个人用与水平方向成30角的斜向下的推力 F推一个质量为20 kg的箱子匀速前进，如图(a)所示，箱子与水平地面间的动摩擦因数为=0.40.求:(1) 推力F的大小;(2)若该人不改变力F的大小，只把力的方向变为与水平方向成30角斜向上去拉这个静止的箱子,后撤去，箱子最多还能运动多长距离?2(g 10m/s)。【答案】(1)F=120 NS3【解析】(1)在图(a)情况如图(b)所示，拉力作用2.0 s下，对箱子有F sin mg NF cosNi由以上三式得 F=120 N(2)在图(b)情况下，物体先以加速度耳做匀加速运动，然后以加速度a2做匀减速运动直到停止。对匀加速阶段有 F cosN2 ma1 N2 mg F s in q d撤去拉力后匀减速阶段有2N3 maN3 mg vi 2as2解得 s2 2.88m【变式2】质量为m的物体放在倾角为的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为，如沿水平方向加一个力F,使物体沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动(如图少？所示)，则F为多【答案】Fm(a gsin geos )cos sin【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系 列方程。(1 )受力分析：物体受四个力作用：推力F、重力mg支持力Fn，摩擦力Ff。(2)建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为x轴正向，分解F和mg (如图所示)(3 )建立方程并求解x方向:F cos mg sin Ff may 方向： Fn mg cos F sin 0三式联立求解得 f m(a gsingcos )sincos【变式3】如图(a)质量m= 1kg的物体沿倾角 用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比,(b)所示。求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数；(2 )比例系数k。=37的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作比例系数用 k表示，物体加速度 a与风速v的关系如图(g 10m/ s2 sin53o 0.8,cos53 0.6)【答案】(1)0.25 (2)k 0.84kg / s【解析】(1)对初始时刻:mg sinmg cosma O由图读出2a。 4m/s 代入O式，解得:gsinma 0.25 ;g cos(2)对末时刻加速度为零:mgsinN kvcos 0 O又 N mg coskvsin由图得出此时v 5m/s代入O式解得:mg (sin cos )“ g ( sin +cos 叭怡。分解加速度：分解加速度而不分解力， 此种方法一般是在以某种力或合力的方向为x轴正向时，其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。例4、如图所示，电梯与水平面间夹角为30o，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍?【答案】Fn3 mg5【解析】对人受力分析：重力 mg，支持力Fn，摩擦力力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推知f水平建立直角坐标系：取水平向右(即 为x轴正方向，竖直向上为 y轴正方向 此时只需分解加速度，F的方向)(如图),f (摩擦向右)。其中 ax a cos 30oay asin 30o(如图所示)根据牛顿第二定律有x方向:maxmacos30动，不计其它外力及空气阻力,A. mg则其中一个质量为 m的土豆A受其它土豆对它的总作用力大小应是y 方向：Fn mg may masin30又Fnmg解得f mg。55【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了。例5、（2014武汉模拟）如图甲所示，在风洞实验室里，一根足够长的固定的均匀直细杆与水平方向成0=37 角，质量m=1kg的小球穿在细杆上且静止于细杆底端O处，开启送风装置，有水平向右的恒定风力F作用于小球上，在 t1=2s时刻风停止。小球沿细杆运动的部分v-t图像如图乙所示，g取10m/s2,sin37 =0.6, cos37 =0.8，忽略浮力。求:（1）小球在02s内的加速度 a1和25s内的加速度 a2。（2）小球与细杆间的动摩擦因数卩和水平风力F的大小。【答案】（1）15m/s2,方向沿杆向上10m/s2，方向沿杆向下（2）0.5 50N【解析】（1）取沿细杆向上的方向为正方向，由图像可知：在02s内，a110 15m/s （方向沿杆向上）在25s内，v2 V|2a?10m/s （-表示方向沿杆向卜）。t2（2）有风力F时的上升过程，由牛顿第二定律，有Fcos 0 Kmgcos （+Fsin 0-mgsin 0=ma1停风后的上升阶段，由牛顿第二定律，有-mcos 0-mgsin 0=ma2联立以上各式解得1=0.5, F=50N。类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用1的水平地面上做匀减速运例6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为o中一个【答案】C【解析】对箱子和土豆整体分析，设质量为M箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其质量为m的土豆，合力大小为 ma，方向水平向左，一个土豆受重力,把其它土豆对它的总作用力看成一个力F，二力不平衡，根据合成法原理，作出力的平行四边形，可知 F是直角三角形的斜边，F(mg)2 (ma)2 ,(mg)2 (m g)2 mg, 12 所以 C正确。【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解 题，把力学问题转化为三角、几何关系问题，很简捷。0的固定斜面，斜面上放一质量举一反三【变式】(2014上海高考)如图，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为为m的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加 速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为V。(1) 求箱子加速阶段的加速度大小 .a。(2) 若agtan0，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。【解题指南】解答本题注意以下两点：(1) 利用匀变速直线运动公式求箱子加速阶段的加速度a；(2) 先判断球受箱子作用力的情况，再列方程求解。av2【答案】(1)2(2)0 m(acot 0g)2av22as v2as v【解析】(1)由匀变速直线运动公式有:v2=2a,S1 v2=2as2，且s=s1+s2，解得：a(2)假设球不受箱子作用，应满足：Nsin 0=ma，NcosO=mg，解得:a=gtan 0。减速时加速度向左，此加速度由斜面支持力N与左壁支持力F左共同决定，当a gtan 0, F左=0，球受力如图所示，在水平方向上根据牛顿第二定律有Nsin 0=ma，在竖直方向有 Ncos0F上=mg，解得：F上=m(acot 0g)。【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例3】例7、如图所示，质量为 0.2kg的小球A用细绳悬挂于车顶板的 O点，当小车在外力作用下沿倾角 为30的斜面向上做匀加速直线运动时，球A的悬线恰好与竖直方向成 30夹角。g = 10m/s2，求：(1 )小车沿斜面向上运动的加速度多大？向夹角0=?(2) 悬线对球A的拉力是多大？(3) 若以(1)问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方【答案】（1） 10m/s2（2） 2.3N（3）60;【解析】解法一：用正交分解法求解（1）（ 2） A受两个力：重力 mg绳子的拉力T,根据牛顿第二定律列出方程沿斜面方向：T cos30o mgs in30o ma ( 1)垂直于斜面方向：T sin 30o mg cos30o（ 2）力大小为解得 T 2 3N， a 10m/s2解法二：用合成法求解 小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。拉力与竖直方向成30角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为30角ma，如图，三角形为等腰三角形，所以：ma mg，2a g 10m/ s 。由几何关系得拉力T 2mgcos30o 2 3N（3）用合成法求解小车匀加速向下运动，小球向上摆动，设细线与竖直方向夹角为，竖直向下的重力加速度为 g,沿斜面向下的加速度为a 10m/s2 g,从图中几何关系可看出二者的夹角为60o,则细线的方向与它二者构成一个等边三角形，即细线与竖直方向夹角60o。【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例2】球紧靠在例8、如图所示，一质量为 0.2kg的小球用细绳吊在倾角为带53。的斜面上，斜面静止时,斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力T:（1）斜面以5m/s2的加速度水平向右做加速运动；（2）斜面以10m/ s的加速度水平向右做加速运动；（3）斜面以10m/ s的加速度水平向右做减速运动；(2) N20T2 2.83N45o(3) T3 0.4N,N3 2.8N【答案】（1）2.2N,N1 0.4N用，此时某一值时绳与后求出【解析】斜面由静止向右加速运动过程中，当a较小时，小球受到三个力作细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当a增大到时，斜面对小球的支持力为零；若 a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此 水平方向的夹角将会大于B角。而题中给出的斜面向右的加速度2a 5m/s ,到底属于上述哪一种情况， 必须先假定小球能够脱离斜面，然小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为ao，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。2mg cotma代入数据解得：a 7.5m/ s2(1)斜面以5m/s的加速度水平向右做加速运动，a a。，小球没有离开斜面,小球受力：重力 mg,支持力绳拉力进行正交分解，水平方向：T1 cosN1 sinma竖直方向： sinN1 cosmg解得T12.2N,N10.4N ；(2)因为a 10m /s，a。，所以小球已离开斜面，斜面的支持力拉力为(图中F ma)iX/mgN20 ,由受力分析可知，细绳的此时细绳拉力T2与水平方向的夹角为arctanmg 45ma(3)斜面以10m/s2的加速度水平向右做减速运动，加速度方向向左,KZtUR/ 与向左加速7的平行四边形，合力向左，重力竖直向下,tan 姮mga0为绳子拉力为零的临界加速度a0 gtan 40m/s23210m/s，所以绳子有拉力。小球受力：重力 mg，支持力N 3 ,绳拉力T3,进行正交分解,水平方向：N3sinT3 cosma竖直方向：N3cosTsSinmg解得T30.4N, N32.8N o解法二:米用分解加速度的方式x方向:mgs in T ma cos所以T mg sinma cos 0.4N运动一样，当加速度达到某一临界值时，绳子的拉力为零，作出力在针对两个未知力垂直时比较简捷，细节是对加速度要进行分解。【总结升华】这是一道很难的例题，涉及到应用牛顿第二定律解决临界问题，临界条件要判断正确。熟练应用正交分解，对只有两个力，二力不平衡时应用平行四边形定则求解较简捷，在针对两个未知力垂 直时采用分解加速度的方式求解比较简捷，简化了运算，解题速度快。