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第8课时离散型随机变量的均值与方差、正态分布教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1均值均值(1)若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称则称EX_为随机变量为随机变量X的均值或数学期望，它的均值或数学期望，它反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的_x1p1x2p2xipixnpn平均水平平均水平(2)若若YaXb，其中，其中a，b为常数，则为常数，则Y 也 是 随 机 变 量 ， 且也 是 随 机 变 量 ， 且 E ( a X b ) _.(3)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则EX_；若若XB(n，p)，则，则EX_.aEXbpnp2方差方差(1)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipnX(2)D(aXb)_.(3)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则DX_(4)若若XB(n，p)，则，则DX_a2DXp(1p)np(1p)思考探究思考探究1随机变量的均值、方差与样本均值、方随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？差的关系是怎样的？提示：提示：随机变量的均值、方差是一个常数，随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差方差趋于随机变量的均值与方差3正态曲线的特点正态曲线的特点(1)曲线位于曲线位于x轴轴_，与，与x轴轴_；(2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线_对称；对称；上方上方不相交不相交x(4)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为_；1(5)当当一定时，曲线随着一定时，曲线随着的变化而沿的变化而沿x轴平移；轴平移；(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定_，曲线越，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体，表示总体的分布越的分布越_；_，曲线越，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越，表示总体的分布越_越小越小集中集中越大越大分散分散思考探究思考探究2参数参数，在正态分布中的实际意在正态分布中的实际意义是什么？义是什么？提示：提示：是正态分布的期望，是正态分布的期望，是正态是正态分布的标准差分布的标准差 课前热身1若随机变量若随机变量X的分布列如下，则的分布列如下，则X的数学期望是的数学期望是()X01PpqA.pBqC1 Dpq答案：答案：B2(2012厦门调研厦门调研)正态总体正态总体N(0,1)在区间在区间(2，1)和和(1,2)上取值的概上取值的概率为率为P1，P2，则，则()AP1P2 BP1P2CP1P2 D不确定不确定答案：答案：C3一名射手每次射击中靶的概率为一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击，则独立射击3次中靶的次数次中靶的次数X的的期望值是期望值是()A0.83 B0.8C2.4 D3答案：答案：C4篮球运动员在比赛中每次罚球命中篮球运动员在比赛中每次罚球命中得得1分，没有命中得分，没有命中得0分，已知某运动分，已知某运动员罚球命中的概率为员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚球2次次(每次罚球结果互不影响每次罚球结果互不影响)的得分的的得分的数学期望是数学期望是_答案：答案：1.45(2012漳州质检漳州质检)有一批产品，其有一批产品，其中有中有12件正品和件正品和4件次品，有放回地件次品，有放回地任取任取3次，每次次，每次1件，若件，若X表示取到次表示取到次品的次数，则品的次数，则D(X)_.考点探究讲练互动考点探究讲练互动离散型随机变量的均离散型随机变量的均值与方差值与方差求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值与方差的的均值与方差的方法步骤方法步骤(1)理解理解X的意义，写出的意义，写出X可能取的全部可能取的全部值值(3)写出写出X的分布列的分布列(4)由均值的定义求由均值的定义求E(X)(5)由方差的定义求由方差的定义求D(X)例例1(1)求该生至少有求该生至少有1门课程取得优秀成门课程取得优秀成绩的概率；绩的概率；(2)求求p，q的值；的值；(3)求数学期望求数学期望E.【名师点评名师点评】离散型随机变量的分离散型随机变量的分布列、均值、方差是三个紧密相连的布列、均值、方差是三个紧密相连的有机统一体，一般在试题中综合在一有机统一体，一般在试题中综合在一起进行考查其解题的关键是求出分起进行考查其解题的关键是求出分布列，然后直接套用公式即可布列，然后直接套用公式即可在解题过程中注意利用等可能性在解题过程中注意利用等可能性事件、互斥事件、相互独立事件事件、互斥事件、相互独立事件或独立重复试验的概率公式计算或独立重复试验的概率公式计算概率概率(1)相互独立事件是指两个试验中，两事相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；互斥事件是指同件发生的概率互不影响；互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生一次试验中，两个事件不会同时发生(2)求用求用“至少至少”表述的事件的概率时，表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简便先求其对立事件的概率往往比较简便均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用例例2记乙项目产品价格在一年内的下降次数记乙项目产品价格在一年内的下降次数为为X，对乙项目每投资十万元，对乙项目每投资十万元，X取取0、1、2时，一年后相应利润是时，一年后相应利润是1.3万元、万元、1.25万元、万元、0.2万元，随机变量万元，随机变量X1，X2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后所获的利润一年后所获的利润(1)求求X1，X2的分布列和均值的分布列和均值EX1，EX2；(2)当当EX1EX2时，求时，求p的取值范围的取值范围【思路分析思路分析】(1)求分布列，应先确定求分布列，应先确定X2的取值，再求的取值，再求X2的取值对应的概率；的取值对应的概率；(2)由由EX1EX2，找出关于，找出关于p的不等式，即的不等式，即可求出可求出p的范围的范围【解解】(1)X1的分布列为的分布列为由题设得由题设得XB(2，p)，即，即X的概率的概率分布列为分布列为X012P(1p)22p(1p)p2故故X2的概率分布列为的概率分布列为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以所以EX21.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由由EX11.18，整理得整理得(p0.4)(p0.3)0，解得解得0.4p0.3.因为因为0p1，所以当，所以当EX1EX2时，时，p的取值范围是的取值范围是0p0.3.【误区警示误区警示】在求解在求解X2的分布列的分布列时，往往因求不出时，往往因求不出X2的各个取值的的各个取值的概率而解不出本题，出现这种现象概率而解不出本题，出现这种现象的原因是：没有搞清的原因是：没有搞清X取取0,1,2的概的概率就是率就是X2取取1.3万元，万元，1.25万元，万元，0.2万元的概率万元的概率变式训练变式训练1某投资公司在某投资公司在2012年年初准备将年年初准备将1000万元投资到万元投资到“低碳低碳”项目上，现项目上，现有两个项目供选择：有两个项目供选择： (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润本金)可以翻一番？(lg20.3010，lg30.4771)解：解：(1)若按若按“项目一项目一”投资，设获利投资，设获利1万元，若按万元，若按“项目二项目二”投资，设获投资，设获利利2万元，则万元，则1、2的分布列分别为的分布列分别为这说明虽然项目一、项目二获利相等，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一综上所述，建议该投资公司选择项目一投资投资关于正态总体在某个区间内取值的概率求法关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之轴之间的面积为间的面积为1.正态分布正态分布例例3 设设XN(5,1)，求，求P(6X7)【思路分析】【思路分析】利用正态分布的对称性，利用正态分布的对称性，P(6X7)P(3X4)【解】由已知【解】由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.9544.P(3X4)P(6X7)0.95440.68260.2718.【名师点评名师点评】在利用对称性转化区在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是间时，要注意正态曲线的对称轴是x，而不是，而不是x0(0)互动探究互动探究2若其他条件不变，则若其他条件不变，则P(X7)及及P(5X6)应如何求解？应如何求解？解：由解：由1，5，P(3X7)P(521X521)0.9544， 方法技巧1释疑离散型随机变量的均值释疑离散型随机变量的均值(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均意义下的平均(2)EX是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，的分布列唯一确定，它描述它描述X取值的平均状态取值的平均状态(3)教材中给出的教材中给出的E(aXb)aEXb，说明随机变量说明随机变量X的线性函数的线性函数YaXb的的均值等于随机变量均值等于随机变量X均值的线性函数均值的线性函数(2)DX与与EX一样，也是一个实数，由一样，也是一个实数，由X的的分布列唯一确定分布列唯一确定失误防范失误防范1对于应用问题，必须对实际问题进行对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要先将问题中的随机变具体分析，一般要先将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差量的期望、方差或标准差2在实际问题中进行概率、百分比在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重计算时，关键是把正态分布的两个重要参数要参数，求出，然后确定三个区求出，然后确定三个区间间(范围范围)：(，)，(2，2)，(3，3)与已知与已知概率值进行联系求解概率值进行联系求解考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看，离散型随机从近几年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型变量的均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题常与排为填空题或解答题，属中档题常与排列、组合、概率等知识综合命题，既考列、组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力和逻辑推理、理解能力而正态分布在近两年高考中，有些省份而正态分布在近两年高考中，有些省份进行了考查，其难度较低进行了考查，其难度较低预测预测2013年福建高考，离散型随机变量年福建高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点，同时的均值与方差仍然是高考的热点，同时应特别注意均值与方差的实际应用应特别注意均值与方差的实际应用 规范解答 例例 (本题满分本题满分13分分)(2011高考福建卷高考福建卷)某产某产品按行业生产标准分成品按行业生产标准分成8个等级，等级系数个等级，等级系数X依依次为次为1,2，8，其中，其中X5为标准为标准A，X3为为标准标准B.已知甲厂执行标准已知甲厂执行标准A生产该产品，产品生产该产品，产品的零售价为的零售价为6元元/件；乙厂执行标准件；乙厂执行标准B生产该产生产该产品，产品的零售价为品，产品的零售价为4元元/件，假定甲、乙两件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数已知甲厂产品的等级系数X1的概率分的概率分布列如下所示：布列如下所示：且且X1的数学期望的数学期望EX16，求，求a，b的值；的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数为分析乙厂产品的等级系数X2，从该，从该厂生产的产品中随机抽取厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数将频率视为概率，求等级系数X2的数学的数学期望；期望；(3)在在(1)、(2)的条件下，若以的条件下，若以“性价比性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由可购买性？说明理由“性价比性价比”大的产品更具可购买性大的产品更具可购买性【解解】(1)因为因为EX16，所以所以50.46a7b80.16，即即6a7b3.2.又由又由X1的概率分布列得的概率分布列得0.4ab0.11，即即ab0.5.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数将频率视为概率，可得等级系数X2的概的概率分布列如下：率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以所以EX230.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品等级系数的数学期望等于即乙厂产品等级系数的数学期望等于4.8.8分分【名师点评名师点评】本题考查了随机变量本题考查了随机变量的分布列及期望，突出概率统计知识的分布列及期望，突出概率统计知识在实际问题中的应用，关注应用能力在实际问题中的应用，关注应用能力的培养的培养
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