测试技术基础：第二章测量误差与静态测量数据处理

11:40 PM1第二章第二章 测量误差与静态测量数据处理测量误差与静态测量数据处理2.1 2.1 测量误差概述测量误差概述2.2 2.2 不等精度测量不等精度测量2.3 2.3 函数误差与误差的传递函数误差与误差的传递2.4 2.4 测量的不确定度测量的不确定度. .2.5 2.5 静态误差数据处理静态误差数据处理11:40 PM22.1 测量误差概述测量误差概述2.1.1 测量误差的概念及其表示方法测量误差的概念及其表示方法1. 测量误差测量误差：对某一参数进行测量时，由于各种因素的影响，使测量值与被测参数的真值之间存在一定的差值，此差值就是测量误差。测量误差的产生原因主要有四个方面：测量方法；测量设备；测量环境；测量人员素质。2. 研究测量误差的意义研究测量误差的意义 正确认识测量误差的性质与分析测量误差产生的原因，寻求最大限度地减小与消除测量误差的途径。寻求正确处理测量数据的理论和方法，以便在同样条件下，能获得最精确最可靠地反映真值的测量结果。 俗话说，差之毫厘，失之千里，一个小数点的错位，一个量纲的不正确，有可能导致巨大的浪费、失败、甚至造成人员伤亡等。 11:40 PM33. 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 绝对误差绝对误差：0 或 其中X为测量值，0为真值，为约定真值。 一般来说，真值无法求得，约定真值为高一级测量仪表的读数。 相对误差相对误差：（/0）100 或 （/）100（实际相对误差） 或（/）100% （示值相对误差，当较小时使用） 引用误差：引用误差：引（/）100% 称测量值为时的引用误差。 式中为满刻度值。 引用误差有最大值：引（/）100 称为电工仪表的等级，共7级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。使用级精度仪表时可保证： 在相同误差下，显然，越接近，相对误差越小。（/）（/）。11:40 PM42.1.2 测量误差的分类测量误差的分类系统误差系统误差：对某一参数在相同条件下进行多次测量时，以确定的规律影响各次测量值的误差。随机误差随机误差：对某一参数在相同条件下进行多次重复测量，误差的符号及大小变化无规律，呈现随机性的误差。粗大误差粗大误差：由于某些原因造成的使测量值受到显著歪曲的误差，可在重复测量比较分析后消除。产生原因：测量者的粗心大意，环境的改变，如受到振动、冲击等。 11:40 PM51. 随机误差的特点随机误差的特点 随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计随机误差的存在导致每次测量结果有些不同，将测量值进行分组统计(直方直方图法图法)，将最大值与最小值之间进行，将最大值与最小值之间进行N等分，在直角坐标系中横轴表示测量值，等分，在直角坐标系中横轴表示测量值，纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现纵轴表示测量值落在每一等分内的个数即频数，便可作出直方图，此图显现中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为中间多、两边低，两边对称的特点。具有这种分布特点的随机变量称之为服服从正态分布从正态分布。 测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。测量值与测量误差都服从正态分布，只是分布中心不同。随机误差具有如随机误差具有如下特点：下特点： 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大；单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大； 对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等；对称性；绝对值相同、符号相反的误差出现的可能性相等； 相消性：相消性： 有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。有界性：绝对值大于某数值的随机误差不会出现。2.1.3 随机误差的特点及估计随机误差的特点及估计1lim0Nini 1lim0Nini 1lim0Nini1lim0Nini11:40 PM6 22222exp12exp122uxfx 具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布），具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布），正态分布的概率密度：正态分布的概率密度：测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：样本均值。样本均值。11NiiuxXN=11:40 PM72201111lim()limNNiinniixxNN211()1NiiSxxN 测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差标准差来评价：来评价：或用或用的估计值的估计值 随机误差的分布与测量值相同，只是随机误差的分布与测量值相同，只是。样本标准差样本标准差11:40 PM8tlimtuxtu1tuxtuP2. 极限随机误差的估计极限随机误差的估计已知已知:单次测量的极限随机误差的估计单次测量的极限随机误差的估计设测量值x落在区间的概率 称为显著水平（不可靠性）当t值不同时，概率不同，见P7 表2-1若取t=1 则 p=68.26% t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%而测量值超过|u 3|的概率很小,认为不可能出现. t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关11:40 PM9lim3 xxN33limx所以所以, ,单次测量值的单次测量值的极限随机误差极限随机误差可定义为可定义为: :算术平均值的极限随机误差算术平均值的极限随机误差: : -为算术平均值的标准值 11:40 PM10未知时，用未知时，用的估计值的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果来替代，用算术平均值作为测量结果 则:NSktx)(lim k自由度=N-1 N 为测量次数-显著水平=1-plim( )3.2503.2510 xStk 例:有10个测量数据,要求测量结果的置信概率为99%则:=1-0.99=0.01 k=N-1=9 从P7表2-2可知 粗大误差的消除粗大误差的消除:当测量值产生的误差3|1 xx时,便可认为粗大误差可以删除.11:40 PM11精密度精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。准确度准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。精确度精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。前二者的综合评定，有时也指精密度。 2.1.4 精密度、准确度、精确度精密度、准确度、精确度11:40 PM122.2 不等精度测量不等精度测量 2.2.1 等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量 如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水如果在测量过程中，保证测量环境、仪器、方法、人员水平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算平及测量次数都相同，这时的单次测量结果或重复测量的算术平均值具有相同的可靠程度，称之为术平均值具有相同的可靠程度，称之为等精度测量。等精度测量。 若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项若使环境、仪器、方法、人员水平及测量次数中的任一项改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠改变，则每改变一次后的测量结果与前一次测量结果的可靠性不同，称之为性不同，称之为不等精度测量。不等精度测量。 不等精度测量的目的不等精度测量的目的是对不同条件下的测量结果加以比较是对不同条件下的测量结果加以比较分析，以便获得更精确的测量结果。分析，以便获得更精确的测量结果。 11:40 PM132.2.2 不等精度测量结果的表示不等精度测量结果的表示加权算术平均值加权算术平均值 不等精度测量不等精度测量因因各组测量值的可靠程度不同各组测量值的可靠程度不同，故不能用，故不能用算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即算术平均值来表示，而应遵从一个原则：即可靠性高或精确可靠性高或精确度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可度高的测量值在最终测量结果中所占的比重要大一些，而可靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要靠程度小或精确度低的结果在最终测量结果中所占的比重要小一些。小一些。而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了而普通算术平均值反映不出这种关系。因此引入了加权算术平均值加权算术平均值的概念。的概念。 11:40 PM141. 权的概念与确定权的概念与确定 权值反映了某一测量值在最终测量结果中的比重，用权值反映了某一测量值在最终测量结果中的比重，用p来来表示。权值的大小与测量值的标准差有关。表示。权值的大小与测量值的标准差有关。 设在不等精度测量中，各组的算术平均值为设在不等精度测量中，各组的算术平均值为x1, x2, x3, xm，对应的标准差为，对应的标准差为1 , 2 m 。则各组的权值为：则各组的权值为：12m22212111P : P : P=:m即每组的权值与其标准差的平方即每组的权值与其标准差的平方方差方差成反比。成反比。11:40 PM151230. 040. 010. 02sss=123222123222111P : P : P =:111:1:16: 40.040.010.02 若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条若不等精度测量仅为重复次数不同，而其它测量条件都不变，则可用各组的重复次数件都不变，则可用各组的重复次数ni做该组的权值做该组的权值pi。例如，已知三组不等精度测量结果对应的标准差分别为：例如，已知三组不等精度测量结果对应的标准差分别为：则：则： 可取：可取：p1=1, p2=16, p3=4 11:40 PM1611miiimiip xXp12320. 5020. 4620. 40 xxx=1 20.501620.46420.4020.451 164x2. 加权算术平均值的计算加权算术平均值的计算接上例，设接上例，设则则 11:40 PM171iiixxmpiip21(1)1()miiixmmpiip XXixx10.040.00871 164X160.010.00871 164X40.020.00871164X3. 加权算术平均值的标准差加权算术平均值的标准差 已知各组已知各组i 若已知各组的权且组数足够多时若已知各组的权且组数足够多时其中，为测量组数，其中，为测量组数，为第为第i组平均值，组平均值，为加权算术平均值。为加权算术平均值。或或或或接上例：接上例：11:40 PM182.3 函数误差与误差的传递函数误差与误差的传递一一. 直接直接 测量与间接测量测量与间接测量直接测量直接测量测量的物理量就是所研究的参数测量的物理量就是所研究的参数.间接测量间接测量测量某些基本物理量测量某些基本物理量,再根据函数关系求解所要研究的再根据函数关系求解所要研究的参数参数.研究研究函数误差函数误差就是解决间接测量中的误差传递问题就是解决间接测量中的误差传递问题(也称为第一类也称为第一类问题问题)另外还要解决误差的分配另外还要解决误差的分配(也称为第二类问题也称为第二类问题)举例说明举例说明: 电路中电路中VIR1. 对电流测量可用间接法对电流测量可用间接法.先测量先测量R和和V 再算出电流再算出电流I及误差及误差.(第一第一类问题类问题)2. 若对电路电流误差有要求若对电路电流误差有要求,则要求则要求VR和和R的测量应保证在一定的的测量应保证在一定的范围之内范围之内(第二类问题第二类问题)11:40 PM1912(,)myf x xx121211.mmmmiiiiiifffdydxdxdxxxxfdxC dxxiifCx二二. 函数的误差传递函数的误差传递已知直接测量参数的误差已知直接测量参数的误差,求间接测量的误差求间接测量的误差1. 误差传递函数误差传递函数: 设直接测量参数与间接测量参数的关系式为设直接测量参数与间接测量参数的关系式为:当测量基本参数当测量基本参数X X1.X Xm时存在误差时存在误差,则计算出的则计算出的y值的准确性必然值的准确性必然受到影响受到影响.y值的误差可以用求微分的方法求出值的误差可以用求微分的方法求出:式中式中: ,称之为误差传递函数称之为误差传递函数,它反映了第它反映了第i个测量参数的误差个测量参数的误差对最终测量值对最终测量值y的影响程度的影响程度. 或者说或者说xi的误差是通过的误差是通过Ci传递给传递给Y的的.11:40 PM20iiyC x 22112myiiijijijiij mcc c 函数的系统误差函数的系统误差 函数的随机误差函数的随机误差2. 函数误差的计算函数误差的计算:式中式中 ij 为相关系数，为相关系数， 一般一般 11ij 它反映了两个参数它反映了两个参数(或者随机变量或者随机变量)之间之间是否成线性关系是否成线性关系.若二者不成线性关系，则若二者不成线性关系，则0ij成线性关系成线性关系 1ij1ij 或或 否则否则 ij大于大于0，小于，小于1。通常有些参数之间是没有任何关系。通常有些参数之间是没有任何关系,相对独立相对独立,不相关不相关, 则则 0ij，此时，此时 221myiiiclim3yy 11:40 PM21例例: 求两中心距离求两中心距离L, 选择一种较好的测量方法选择一种较好的测量方法.已知已知:12320.5.0.7.0.8.1.0ddllumumumum12122ddLl12222ddLl122llL解解:.式式+式有式有:. . 111:40 PM22111llCl1212ddCC222222222111122110.80.50.70.91()44Lllddddcccum方法方法1: 21lC1212ddCC 222222222221122111.00.50.71.09()44Lllddddcccum方法方法2: 11:40 PM23112lC212lC222221122110.80.64()44Lllllccum方法方法3: 由此可见第三种方法最好由此可见第三种方法最好!11:40 PM24三三. 函数误差的分配函数误差的分配给定函数误差给定函数误差, ,要求确定各基本参数所允许的测量误差要求确定各基本参数所允许的测量误差. .y2221miiyic考虑各基本参数相互独立考虑各基本参数相互独立, 给定给定 则有则有:在这个方程中有在这个方程中有m个个未知数未知数(,1,.,)iim 根据已知条件只能列出一个方程根据已知条件只能列出一个方程,因此因此,解该方程必须再给定附加条件解该方程必须再给定附加条件.11:40 PM251. 等作用原则等作用原则:设各基本参数的误差对函数误差的影响相等设各基本参数的误差对函数误差的影响相等.即即2222222221222.mmiiycccmc222|yyiiiicmmc i=1,2,.m.2. 按实际过程调整误差按实际过程调整误差:由上式可知由上式可知,当当|Ci|很大时很大时, i很小，意味着对很小，意味着对Xi的测量要求很高的的测量要求很高的精度精度,而而|Ci|很小时很小时,则可放宽测量要求则可放宽测量要求.在实际中在实际中,如果如果|Ci|太大太大,对对Xi的的测量要求过高测量要求过高,现有设备仪器可能满足不了现有设备仪器可能满足不了,这时可以适当提高其他这时可以适当提高其他参量的测量精度参量的测量精度,而保证总的而保证总的m22iic2y仍然满足仍然满足。111:40 PM262.5 静态误差数据处理静态误差数据处理一一. 测量数据表示法测量数据表示法. 在测量过程中在测量过程中,被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系.为把为把这种关系建立这种关系建立,常常在特定的条件下改变被测量的量值常常在特定的条件下改变被测量的量值,测出对应的输出测出对应的输出,特别是对传感器而言特别是对传感器而言,这种过程称之为标定这种过程称之为标定.即给出传感器输入即给出传感器输入/输出之输出之间的关系间的关系.比如比如:测力传感器测力传感器,输入为力输入为力,输出为电流输出为电流,这样力与电流的关系这样力与电流的关系可用不同的表示方法表示出来可用不同的表示方法表示出来.1. 列表法列表法:输入力输入力(N)输出电流输出电流(mA)6012.27014.28016.29018.310020.415030.411:40 PM272. 图示法图示法,即描点作图即描点作图 坐标可采用直角坐标坐标可采用直角坐标,极坐标等极坐标等. 上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究,所以通常还所以通常还要采用第三种方法要采用第三种方法.3. 回归方程回归方程经验公式法经验公式法. 根据数理统计的方法根据数理统计的方法,求出两个甚至多个量之间的关系求出两个甚至多个量之间的关系,用用一个数学方程来表示，该方程称之为一个数学方程来表示，该方程称之为回归方程回归方程,而建立该方程而建立该方程的过程称之为的过程称之为回归分析回归分析,回归分析包括一元线性回归回归分析包括一元线性回归,一元非一元非线性回归线性回归,多元线性回归及多项式回归等多元线性回归及多项式回归等.常用的是一元线性常用的是一元线性回归分析回归分析.11:40 PM28二二. 一元线性回归方程的建立一元线性回归方程的建立对一组数据对一组数据Xi，Yi,若若它们之间是线性相关的它们之间是线性相关的.则可用一条直线来表示，即则可用一条直线来表示，即 ：ym xb(对线性关系的评价由相关函数来评价对线性关系的评价由相关函数来评价) 通常这条直线可用最小二乘法获得通常这条直线可用最小二乘法获得,即设实测值即设实测值yi与理论计算值与理论计算值y之差的之差的 平方和为最小平方和为最小,可列成下式可列成下式: 21()minNiiQyy Q为剩余平方误差为剩余平方误差11:40 PM29即即:21()minNiiiQymxb若要使若要使Q最小最小,可通过求极值的办法来确定可通过求极值的办法来确定m和和b两个未知量两个未知量,即令即令:112()0002()0NiiiiNiiiymxb xmmymxbbb m，b为未知量为未知量 解方程便可求得解方程便可求得m和和b。 11:40 PM301221. .NiiiNiix yN x ymxNxbymx1111NiiNiixxNyyN其中其中: 11:40 PM31采用线性回归的条件采用线性回归的条件:当当y,x两变量之间的相关系数的绝对值两变量之间的相关系数的绝对值 大于最小相关系数大于最小相关系数min时才能采用线性回归方程时才能采用线性回归方程,最小相关系数最小相关系数 的确定与的确定与N及概率有关及概率有关. 12211()()()()NiixyiNNyxiiiiyy xxyyxx yx11:40 PM32回归方程的使用应注意回归方程的使用应注意:1. 回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围,超出标定曲超出标定曲线的范围则误差很大线的范围则误差很大.2. 用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前提的提的,即只考虑即只考虑Y的误差而不考虑的误差而不考虑X的误差的误差.3. 如果两变量中一个变量的误差可以忽略如果两变量中一个变量的误差可以忽略,则应采用另一个变量则应采用另一个变量对该变量的回归直线（对该变量的回归直线（误差小的为自变量误差小的为自变量）.4. 如果两变量的误差大体相当如果两变量的误差大体相当,则可以采用两条相交的回归直线则可以采用两条相交的回归直线的平均直线的平均直线.5. 如果两个变量的误差不相当如果两个变量的误差不相当,一个误差大一个误差大,一个误差小一个误差小,则所采则所采用的中间直线应偏向于误差大的变量对另一变量的回归直线用的中间直线应偏向于误差大的变量对另一变量的回归直线.End of chapter 2