初中数学几何模型大全+经典题型

初中数学几何模型大全 +经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换， 产生联系。垂直 也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型说明：上图依次是 45、30、15及有一个角是30直 角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、 等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角, 通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全 等。自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段， 分组组成三角形证全等。中点旋转:说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点， 证明另外两个顶点与 中点所成图形为等腰直角三角形。 证明方法是倍长所要证等腰直 角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的 等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等 三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。几何最值模型对称最值（两点间线段最短）对称最值（点到直线垂线段最短）说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距 离。旋转最值（共线有最值）说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型三角形一四边形四边形一四边形说明：剪拼主要是通过中点的 180度旋转及平移改变图形的形状。矩形一正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长， 通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形-正方形面积等分旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“ 8”字的规律。相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中 起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与 不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆 窑定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等 乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，。是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CCLAB,EF，AB, EGL CO2、已知：如图，P是正方形ABC讷点,PAD= / PDA= 150.求证：4PBC是正三角形.（初二）BC求证：CD= GE （初二）3、如图，已知四边形 ABCD ABGD都是正方形，A、艮、C2、D2分别是AA、BB、CC、DD的中点.求证：四边形 AB2GD是正方形.（初二）4、已知：如图，在四边形 ABC冲，AD= BC, M N分别是 ABCD的中点，AD BC的延长线交MNT E、F.M求证：/ DEN= / F.经典难题（二）1、已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为外心,且OML BC于M(1)求证：AH= 2OM(2)若/ BAC= 600,求证:AH= AQ (初二)2、设MN圆。外一直线，过。作QAL MN A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D E,直线EB及CM别交MNT P、求证：AP= AQ （初二）3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BG DR设CD EB分别交 MNT P、Q.求证：AP= AQ （初二）4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在 ABC的外侧作正方形ACD序口正方形CBFG点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABC时正方形，DE/ AC, AE= AC, AE与CD相交于F.求证：CE= CF.（初二）E2、如图，四边形 ABC的正方形，DE/AC,且C已CA直线EC交DA延长线于F.求证：AE= AF.（初二）3、设P是正方形ABCDH边BC上的任一点，PF AP, CF平分/DCE求证：PA= PF.（初二）BPCE4、如图，PC切圆。于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AEAF与直线PO相交于B、D.求证：AB= DG BC= AD.（初三）经典难题（四）1、已知：4ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA= 3, PB= 4,PC= 5.求：/ APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形 ABCDft部的一点，且/ PBt /PDA求证：/ PAB= / PCB （初二）3、设ABC的圆内接凸四边形，求证：AB CtD AD BO AC ED.（初三）4、平行四边形 ABC并，设E、F分别是BCAB上的一点，AE与CF相交于P,且AE= CF.求证：/ DPA= / DPC （初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点，L= PA+ PB+ PC,求证:2、已知：P是边长为WLV2.1的正方形 ABC咕的一点，求PA+ PB+ PC的最小值.3、P为正方形ABC讷的一点，弁且 PA= a,求正方形的边长.4、如图， ABC 中，/ ABO/ACB= 800, D、E 分别是 AB AC 上的点，/ DCA= 300, / EBA= 20,求/ BED的度数.经典难题（一）1 .如下图做GHLAB,连接EO由于GOFEH点共圆，所以/ GFH=/ OEG,即GHS AOGE可得里二里=也，又CO=EO所以CD=GF导 GF GH CD证。2 .如下图做 DGC5与4ADP全等，可得 PDGJ等边,从而 可得 DG等AAPtD4CGP得出 PC=AD=DCPZ DCG= PCG= 150所以/ DCP=30,从而得出 PBC是正三角形3 .如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接GF与A弁延长 相交于Q点，连接EB弁延长交GQ于H点，连接FB弁延长交AQ于G点，由 A2E=gAiBi=/BiG= FB , EB=4 AB=1 BC=FC,又/ GFQ廿 Q=90 和/GEE+/Q=9d,所以/GEB=/GFCR/ B2FG=/AEB ,可得 B2FG应AAEB ,所以 AB2=BG ,又/ GFQ廿 HBF=90和/ GFQh EBA ,从而可得/ AB2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 AB2QD是正方形4 .如下图连接AC并取其中点Q连接Q阴口 QM所以可得/ QMF=/F, /QNMHDE解口 / QMN= QNM 从而彳#出/ DENk / F。经典难题(二)1.(1)延长 AD到 F 连 BF,彳O OGL AF,又/ F=/ ACBN BHD可得BH=BF从而可得HD=DF又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OR OC,既得/ BOC=120从而可得/ BOM=60所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证3 .作 OF，CR OGL BE,连接 OR OA OF, AF, OG AG OQ由于 AD= AC= CD = 2FD = FDAB - AE - BE _ 2BG - BG 由止匕可得 ADMAAB(G从而可得/ AFC之AGE又因为PFOAf QGOA9点共圆，可得/ AFChAO评口 / AGEhAOQ/AOPh AOQ 从而可得 AP=AQ4 .过E,C,F点分别作 AB所在直线的高EG CI , FH。可得PQ=EG + FH o 2由 AEGAAIC,可得 EG=AI,由BFHCBI,可得 FH=BI。从而可得PQ=气心胃从而得证。经典难题（三）1 .顺时针旋转 ADE到ABG连接CG.由于/ ABGh ADE=90+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上，可得 AG除ACGB 推出AE=AG=AC=G5得 AG3J等边三角形。/AGB=30,既彳导/ EAC=30,从而可得/ A EC=7巩又/ EFC=Z DFA=45+30o=750.可证：CE=CF2 .连接BD作CHL DE,可得四边形CGD展正方形。由 AC=CE=2GC=2CH可得/ CEH=30,所以/ CAEN CEA之 AED=13又/ FAE=90+45o+15o=150,从而可知道/ F=l5从而得出AE=AF3 .作FG，CR FE BE,可以得出 GFEC?正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X。tan / BAP=tan/ EPF=X=-Z,可得 YZ=XY-X+X乙Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB% PEF ,得到PA= PF ,得证。经典难题（四）顺时针旋转 ABP 600 ,连接PQ ,则 PBQ正三角形可得 PQB直角三角形。所以/ APB=150 。2 .作过P点平行于AD的直线，弁选一点E,使AE/ DG BE/ PC.可以得出/ ABPh ADP土 AEP；可得:AEB哄圆（一边所对两角相等）。可得/ BAP与BEP之BCP得证。3 .在 BD取一点 E,使/ BCEWACD 既彳# BESAAD(C 可得:匹=也，即AD?BC=B?AGBC AC又/ACB4 DCE 可彳# ABS ADEC；既得些= 1,即 AB?CD=DEAC,AC DC由 + 可得：AB ?CD+ADBC=AC(BE+DE)= AC BD ,得证。4 .过 D作 AQL AE , AGL CF ,由 Svade =S = SvDFC ,可得:2AEQ=照里 由 ae=FC 22可得DQ=DG可得/ DPA= / DPC（角平分线逆定理）经 典 难 题（五）1. （1）顺时针旋转 BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 使最小只要AP， PE， EF在一条直线上，L= ；(2)过P点作BC的平行线交 AB,AC与点D, F。由于/ APDX ATP之 ADP推出 ADAP又 BP+DPBP和 PF+FCPC又 DF=AF由可得：最大 L 2 ;由（1）和（2）既得： LV22.顺时针旋转 BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+ET使最小只要AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF既得 AF=1+（；+i）2 =2+ 3= 4 + ； 3=J3” =舁 3+1）_6 +、, 2- O23 .顺时针旋转 ABP 900 ,可得如下图:既得正方形边长L = （2+争+（争ga =）5+26甲4 .在AB上找一点F,使/ BCF=60 ,连接EF, DG既彳4 BG3J等边三角形，可得/ DCF=10 , /FCE=20 ,推出AB瞌 ACF ,得至U BE=CF , FG=GE。推出：4FGE为等边三角形，可得/ AFE=80 ,既 得： / DFG=40又 BD=BC=BG ,既得/ BGD=80 ,既得/ DGF=40推得：DF=DG 得到： DF* ADGE ,从而推得：/ FEDh BED=30 。