资源描述
2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则= ( ) A B C D2.在复平面内,复数对应的点坐标为( )A (1,3) B (3,1) C Dk=0,S=1k3开始结束是否k=k+1输出SS=S (第4题图)3.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A B C D 4. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A2 B4 C8 D165.函数的零点个数为( )A 0 B 1 C 2 D 3 6. 已知为等比数列.下面结论中正确的是( )A BC若,则 D若,则7. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )A B C D 8. 某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为( )A5 B C 9 D11 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.直线被圆截得的弦长为 .10.已知为等差数列,为其前项和.若,则 ;= .11. 在ABC中,若,则的大小为 .12.已知函数,若,则 .13.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为 .14.已知,.若或,则的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)已知函数.(1)求的定义域及最小正周期;(2)求的单调递减区间. 16. (本小题14分)如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别是AC,AB上的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2. (1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由. 17.(本小题13分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.(注:方差,其中为的平均数)18.(本小题13分)已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.19.(本小题14分)已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.()求椭圆的方程;()当AMN得面积为时,求的值.20.(本小题13分)设A是如下形式的2行3列的数表,满足:性质P:,且.记为A的第行各数之和,为A的第列各数之和;记为,中的最小值.(1)对如下数表A,求的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表A形如11-1-2-1其中.求的最大值;(3)对所以满足性质P的2行3列的数表A,求的最大值。参考答案一、选择题1【答案】D【解析】,利用二次不等式的解法可得,画出数轴易得。【考点定位】本小题考查的是集合(交集)运算和一次和二次不等式的解法。2【答案】A【解析】,实部是1,虚部是3,对应复平面上的点为,故选A【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。3【答案】D【解析】题目中表示的区域表示正方形区域,而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此,故选D【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率。4【答案】C【解析】,循环结束,输出的为8,故选C【考点定位】 本小题主要考查程序框图,涉及到判断循环结束的时刻,以及简单整数指数幂的计算。5【答案】B【解析】函数的零点,即令,根据此题可得,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B。【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数。6【答案】B【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做。7【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式,可得:,因此该几何体表面积,故选B。【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。8【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去。9【答案】【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为,圆心到直线的距离,以及圆半径构成了一个直角三角形,因此。【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆,对于二生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题。10【答案】1,【解析】,所以,。【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算。11【答案】【解析】,而,故。【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案。12【答案】【解析】,【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉。13【答案】;【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法。14【答案】【解析】首先看没有参数,从入手,显然时,时,而对或成立即可,故只要时,(*)恒成立即可。当时,不符合(*),所以舍去;当时,由得,并不对成立,舍去;当时,由,注意,故,所以,即,又,故,所以,又,故,综上,的取值范围是。【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对进行讨论。15【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手。解:(1)由得,故的定义域为.因为=,所以的最小正周期.(2)函数的单调递减区间为.由得所以的单调递减区间为.16【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法,难度比较大。解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC.又因为DE平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F 平面A1DC,所以DEA1F.又因为A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE(3)线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,所以A1CDP,所以A1C平面DEP,从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.17【考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。(1)厨余垃圾投放正确的概率约为=(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(),约为。所以P(A)约为10.7=0,3。(3)当,时,取得最大值.因为,所以18【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点,比较重要。解:(1),.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,即且解得(2)记当时,令,解得:,;与在上的情况如下:1(1,2)2+00+28-43由此可知:当时,函数在区间上的最大值为;当时,函数在区间上的最大值小于28.因此,的取值范围是19. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.(2)由得.设点M,N的坐标分别为,则,.所以|MN|=.由因为点A(2,0)到直线的距离,所以AMN的面积为. 由,解得.20【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力。(1)因为=1.2,所以(2),.因为,所以=,.所以.当时,取得最大值1.(3)任给满足性质的数表(如图所示)任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表仍满足性质,并且,因此,不妨设,由的定义知,从而因此,由(2)知,存在满足性质的数表,使,故的最大值为1。
展开阅读全文