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精 品 数 学 课 件北 师 大 版 第四章第四章 函数应用函数应用 1 1 函数与方程函数与方程 1.1 1.1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在1.1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关系系. .( (难点难点) )2.2.掌握零点存在的判定条件掌握零点存在的判定条件( (重点重点) )2310320220201lg0 xxxxxxxxx解方程擂台赛xyo1-12一元一次方程一元一次方程 的解的解? ?一次函数一次函数 的图像与的图像与 轴交点坐标？轴交点坐标？x10-=f (x)x1=-x方程的根方程的根=交点的横交点的横坐标坐标1x (1,0)xyo12 一元二次方程一元二次方程 的解的解 ? ? 二次函数二次函数 的图像与的图像与 轴交点坐标？轴交点坐标？2x3x20-+=2f(x)x3x2=-+x1,2 1,0 , 2,0函数的零点函数的零点 我们把函数我们把函数y=f(x)y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点这个函数的零点. .方程方程 有实数解有实数解f(x)0=xyf(x)=函数函数 的图像与的图像与 轴有交点轴有交点函数函数 有零点有零点yf(x)=等价关系：等价关系：零点是实数零点是实数而不是点而不是点韦达是韦达是法国法国十六世纪最有影响力的十六世纪最有影响力的数学家数学家之一。第一个引进系统的之一。第一个引进系统的代代数数符号，并对方程论进行改进。符号，并对方程论进行改进。他的他的分析方法入门分析方法入门一书，记录了他以前在代数方面的一书，记录了他以前在代数方面的成就，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方成就，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在程论的贡献是在论方程的识别与修正论方程的识别与修正一书中提出了二一书中提出了二次、三次和四次方程的解。次、三次和四次方程的解。第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为系数关系的结论称为“韦达定理韦达定理”）。）。2 (2)yx x1.1.利用函数图像判断下列方程有没有实数解，有几个：利用函数图像判断下列方程有没有实数解，有几个：（1 1）x x2 23x3x5 50 0；（2 2）2x(x2x(x2)2)3 3；有有,2,2个个xy0没有没有两个函数的两个函数的交点的横坐交点的横坐标即为方程标即为方程的解的解3 y（3 3） x x2 2 4x4x4 4；（4 4）5 x5 x2 2 2x2x3 x3 x2 2 5.5.有，有，2 2个个有，有，1 1个个观察二次函数观察二次函数f(x)=xf(x)=x2 22x2x3 3的图像的图像: : 2,1 f(2,1 f(2)0 f(1)0 f(1)0 f(f(2)f(1)0 , x2)f(1)0 , x1 1是是 x x2 22x2x3 30 0的一个解的一个解 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0 x x3 3是是x x2 22x2x3 30 0的另一个解的另一个解.xy0132112123424零点存在定理零点存在定理: : 若函数若函数y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的图像是连续曲线上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0f(a)f(b)0，则在区间，则在区间（a,ba,b）内，函数）内，函数y=f(x)y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0f(x)=0在区在区间间(a,b) (a,b) 内至少有一个实数解内至少有一个实数解. .有零点有零点,可能有多个可能有多个思考思考: :有零点则一定有有零点则一定有f(a)f(b)0f(a)f(b)，不存在实数，不存在实数c(a,b)使得使得f(c)0=； B B. . 若若f(a)f(b)0，有可能存在实数，有可能存在实数c(a,b)使得使得f(c)0=； D.D. 若若f(a)f(b)00,f(2)= -900=0=000)0)的图像的图像一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a0)0)的根的根二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的零点的零点有两个相异实有两个相异实根根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2) )有两个相等实根有两个相等实根x x1 1=x=x2 2b2a 没有实根没有实根有两个零点有两个零点x x1 1,x,x2 2有一个二重零有一个二重零点点x x1 1=x=x2 2没有零点没有零点提升总结：提升总结：1.1.在二次函数在二次函数 中，中，ac0,ac0,则其零点的个则其零点的个数为（数为（ ）. . . . .不存在不存在2yaxbxcB B2.2.已知函数已知函数f(x)f(x)的图像是连续不断的的图像是连续不断的, ,有如下的有如下的x,f(x)x,f(x)对应值表：对应值表：x x1 12 23 34 45 56 67 7f(x)f(x)23239 97711115512122626那么函数在区间那么函数在区间11，66上的零点至少有（上的零点至少有（ ）个）个A.5 B.4 C.3 D.2A.5 B.4 C.3 D.2C C3 3. .(2012(2012三明三明高一高一检测检测) )函数函数x 1f(x)2x3的零点的零点0 x ( )( ) A.A. 0,1 B B. . 1,2 C C. . 2,3 D. D. 3， B解析解析: :由于由于f(1)=-10,f(1)=-10,所以零点在所以零点在(1,2)(1,2)之间之间. .1.1.函数的零点函数的零点2.2.三个等价关系三个等价关系3.3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及个函数的零点或相应方程的根的存在性以及个 数的判断数的判断行动与不满足是进步的第一必需品。
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