江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第7讲 解三角形应用举例课件

第第7讲解三角形应用举例讲解三角形应用举例 知 识 梳 理 1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 的角叫仰角，目标视线在水平视线 的角叫俯角(如图)上方 下方 (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏北60等；(3)方位角指从正北方向 转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数顺时针 图1 2测量高度问题(3)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(4)如图2，B，C，D三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为和()，则可以求出A点距地面的高度AB.()图2 2解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.规律方法 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决 【训练1】 (2013茂名二模)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45.就可以计算出A，B两点的距离为_m.规律方法 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形答案3 审题路线分清已知条件和未知条件设行驶t小时，则CD，BD可求在ABC中，用余弦定理求BC，用正弦定理求sinABC在BCD中，用正弦定理求BCD可推出BDBC再求t回到实际问题中去规律方法 (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量 【训练3】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos _. 1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模(准确地画出图形)求解检验作答 2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值 3解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解 审题一审条件：“南偏西60”转化到ABC中，即BAC120；二审条件：“北偏东”可得BCA；三审条件：“刚好用两小时追上”指|AC|20 海里反思感悟 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理进行求解 【自主体验】一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里