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第四节三角函数的图象与性质第四节三角函数的图象与性质(2)(2)基础梳理基础梳理1. 作 的图象主要有以下两种方法：sin()yAxsin()yAx(1)用“五点法”作图用“五点法”作 的简图，主要是通过变量代换，设 ，由z取_，_，_，_，_来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)由函数y=sin x的图象通过变换得到 的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”sin()yAxzx0 2322方法一：先平移后伸缩y=sinx 向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位_sin()yxsin()yAxsin()yx 横标变为来1坐原的 倍纵坐标不变 纵标变为来坐原的A倍横坐标不变方法二：先伸缩后平移y=sinx 1 横坐标变为原来的倍纵坐标不变_sinyxsin()yx 向左（0）或向右（ 0且w0的前提下的定义，否则，若A0或w0，则F就不能称为相位叫_， x振幅 周期 频率 相位 初相 基础达标基础达标1. 为了得到函数y=3sin 的图象，只需将函数y=3sinx上的所有点_ 5x解析：将函数y=3sinx上的所有点向右平移 个单位可得函数y=3sin 的图象 55x2. 将函数y=sinx的图象，先向上平移一个单位，再将纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变，所得图象的解析式为_x0，+)表示一个振动量时， 解析：将y=sinx的图象先向上平移1个单位得到函数y=sinx+1的图象，再把纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数y=2sinx+2的图象sin()(0,)2yx 3. (必修4P48第13题改编)已知函数 的部分图象如图所示，则 _,_.解析：由图象可知 ，则 由五点作图法知 T2,2,.326( )sinf xx4. 设点P是函数 的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是 ,4最小正周期是_ 则f(x)的( )sinf xx解析： 的图象的一个对称中心与相邻的对称轴的距离为 ,4,.44TT( )sin()f xAx5. 已知函数 的图象如图所示， 2,23f 则f(0)=_.解析： 11722,3.2121233TTT又 7,012是函数的一个上升段的零点， 7332,122k 求得 2,4kkZ 代入 2,23f 得A= 2 22,(0).33f经典例题经典例题【例1】已知函数y=2sin 2.3x(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin 23x的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到分析：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点(3)只要看清由谁变换得到谁即可解：(1)y=2sin 的振幅A=2，周期T 初相 23x2,2.3,3(2)令x=2x+23x则y=2sin=2sinx. 列表，并描点画出图象：0-20200-1010y=sinx 0 xx2sin(2)3yx2232612371256(3)方法一：把y=sinx的图象上所有的点向左平移 个单位，得到y=sin 的图象，再把y=sin 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到y=sin 的图象，最后把y=sin 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin 的图象 33x23x3x1223x23x方法二：将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象； 12再将y=sin2x的图象向左平移 个单位，得到 6sin2sin(2)63yxx的图象；再将y=sin 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin 的图象 23x23x题型二三角函数 的解析式sin()yAx【例2】(2010 天津改编)下图是函数在区间 上的图象(1)求此函数的解析式；(2)为了得到这个函数的图象，应如何移动y=sinx (xR R)的图象上所有的点？sin()yAx566，分析：根据图象可求出A， ， ，比较两函数解析式可知该如何移动 解：(1)由给出的三角函数图象知，A=1， 2 ，解得 =2，又 206 ，所以 3，即原函数解析式为y=sin 2.3x(2)将y=sinx(xR R)的图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变即可得到函数y=sin 的图象 31223x变式2-1 (2011 重庆南开中学月考)已知函数 (,0,0,0)2xR A的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ,2且图象上一个最高点 ,2 .6M(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间( )sin(),f xAx解析：(1)由相邻两个交点间的距离为 ,2可得T= 2,2.由最高点为 ,2 ,6得A=2，且sin 21,6又 0,2,6( )2sin(2).6f xx(2)令 222,262kxkkZ即 ,36kxkkZf(x)的单调增区间为 ,.36kkkZ同理，f(x)的单调减区间为 2,.63kkkZ变式2-2(2010 徐州三模)若函数(0,0,)2A( )sin()f xAx部分图象如图所示则此函数解析式为 解析：由图象可知 368,4TT而 28.4T由图象知A=2，设y=2sin ,4x将(-1,0)代入，可得2sin 0,4,4kkZ又 ,( )2sin().2444f xx题型三三角函数 模型sin()yAx【例3】如图，某地夏天814时用电量变化曲线近似满足函数 (1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式sin().yAxb分析：在实际背景中抽象出基本的数学关系是解题的关键所在解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)观察图象可知，从814时的的半个周期的图象sin()yAxb11(5030)10,(5030)40.22Ab,10sin()40,66yx将x=8，y=30代入上式，解得 ,6所求解析式为y=10sin 66x+40，x8,14 图象是1 2148,22T变式3-1 下图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一周，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动 角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与 之间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式解析：(1)由已知作图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点，当 2时， .2BOMh=|OA|+0.8+|BM|=4.8sin 2+5.6， 经验证，当 时，上述关系也成立 02(2)点A在O上逆时针运动的角速度是 (已知60秒转动一周)，t秒转过的弧度数为 t.h=4.8sin +5.6，t0，+)3030302t链接高考链接高考( )sin(),(0,(,),0)f xAxAx 12时取得最大值4.(2010 广东)已知函数在x= (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若 212,3125f求sin . 知识准备：1. 三角函数的周期公式T= ；2. 三角函数的性质；3. 三角函数的求值2解析：(1)由三角函数的周期公式可知f(x)的最小正周期为T= 2.3(2)由f(x)的最大值为4，可知A=4，max( )4sin 34,1212f xf即 sin1.0,45,.( )4sin 3.4444244f xx22124sin 3,31231245f(3) 即sin 332,cos2.2552231512sin,sin,sin.555
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