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第四单元第四单元 平面向量与复数平面向量与复数第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算基础梳理基础梳理1.向量的有关概念及表示法大小方向 长度 模 记作0 0 长度为 的向量,其方向是任意的 零向量 向量 模 既有 又有 的量;向量的大小叫做向量的 (或 ) 向量 表示法定义名称ABAB01 e e 相同 相反 a ab b 共线 相等 相同 a a=b b (1)a a与b b为相反的向量,则(2)0 0的相反向量为0 0长度 且方向 的向量 相反向量 长度 且方向 的向量 相等向量 向量又叫做共线向量 共线向量 a a与b b共线可记为 0 0与任一向量 方向 或 的非零向量 平行向量 常用 表示 长度等于 的向量 单位向量 表示法定义名称相等 相反 a a=-b b 平行 2.向量的线性运算三角形平行四边形b b+a aa a+(b b+c c)三角形|a a|相同相反0()a a(a a)= ;(+)a a=(a a+b b)=(1)|a a|= .(2)当0时,a a与a a的方向 ;当0时,a a与a a的方向 ;当=0时,a a= .求实数与向量a a的积的运算 数乘 法则 求a a与b b的相反向量-b b的和的运算叫做a a与b b的差 减法 (1)交换律:a a+b b= .(2)结合律:(a a+b b)+c c= 法则 法则 求两个向量和的运算 加法 运算律 法则(或几何意义) 定义 向量运算 a a+a aa a+b b3. 共线向量定理非零 存在 向量a a与向量b b共线的充要条件: 一个实数,使b b=a a基础达标基础达标1. （教材改编题）化简 得( )A. B. C. D. 0 0ACBDDCBA AB DA BC 2. 对于向量a a,b b,且 =a a+2b b, =-5a a+6b b, =7a a-2b b,则共线的三点是( )A. A、B、C B. A、B、D C. A、C、D D. B、C、DAB CD BC D B 1.解: 原式0ACDBCDBAACCDDBBA 2.解析： =2a4b2， ，又BD与AB有公共点B，A、B、D三点共线 BDBCCD BDAB 3. (2011福州模拟)如图e e1,e e2为互相垂直的单位向量，则向量a a-b b可表示为( )A. 3e e2-e e1 B. -2e e1-4e e2 C. e e1-3e e2 D.3e e1-e e2C 解析：如图所示，记向量a，b的终点分别为A，B，则ab e13e2.AB 4. (2011南京模拟改编)设ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H. 若OA=a a,OB=b b,OC=c c,用a a,b b,c c表示OH为 . a a+b b+c c 解析： = ab， =abc.ODOAOB OHOCOD经典例题经典例题题型一题型一 平面向量的有关概念平面向量的有关概念 【例1】给出下列命题： 若|a a|b b|，则a a=b b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a a,b b满足|a a|b b|且a a与b b同向,则a ab b； 若a a/b b,b b/c c，则a a/c c. 其中正确命题的序号是 . （请把正确命题的序号都填上）解：不正确. 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确；AB=DC，|AB|=|DC|且ABDC，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则ABDC且|AB|=|DC|，因此，AB=DC;向量不能比较大小,故不正确; 不正确,考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是. 题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【例2】（2010全国改编）ABC中，点D在边AB上，且AD=2DB，若CB=a a,CA=b b， 则CD=( )A. a a+ b b B. a a+ b b C. a a+ b b D. a a+ b b1323231323454535 解：如图，由题意得AD+2BD=0,又CD=CA+AD,CD=CB+BD,+2，得3CD=CA+2CB=b b+2a a,CD= a a+ b b.2313题型三题型三 向量的共线及应用向量的共线及应用【例3】（2010苏州模拟改编）设a a、b b是不共线的两个非零向量.(1)若OA2a ab b，OB3a ab b，OCa a-3b b，求证：A、B、C三点共线；(2)是否存在实数k使8a akb b与ka a2b b共线，若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：AB=(3a a+b b)-(2a a-b b)=a a+2b b,而BC(a3b b)(3a ab b)2a a4b b2AB，AB与BC共线. 又有公共点B，A、B、C三点共线. (2)假设存在实数k,使8a akb b与ka a2b b共线，则存在实数，使得(8a akb b)(ka a2b b)(8k)a a(k2)b b0，a a与b b不共线，8k0,k208222，k=4.经验证，k=4均适合.变式变式3-13-1（2010湖北）已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0 0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解:由MA+MB+MC=0 0得MA+MB=-MC，设AB的中点为D,则MA+MB=2MD，从而-MC=2MD ，即CM=2MD，所以M点为ABC的重心. 设BC的中点为E，则AB+AC=2AE,所以AE=m2AM,由三角形重心的性质知:m=3.解析：由|AB+AC|=|AB-AC|可得ABAC,即得ABC是以BC为斜边的直角三角形，则|AM|=12|BC|=124=2.答案：C链接高考链接高考 （2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( )A. 8 B. 4 C. 2 D. 1知识准备：1. 要掌握平面向量加、减法的几何意义;2. 要知道直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质.
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