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2019届 北师大版数学精品资料31基本不等式基础巩固1当a,bR时,下列不等关系成立的是()A. Bab2Ca2b22ab Da2b22ab2已知x,yR,下列不等关系正确的是()Ax2y22|xy| Bx2y22|xy|Cx2y22|xy| Dx2y22|xy|3已知ab0,求证:2,并推导出式中等号成立的条件4已知x0,求证:x4.5已知a、b、c是不全相等的正数,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.综合过关6某民营企业生产的一种电子产品,2007年的产量在2006年的基础上增长率为a;2008年又在2007年的基础上增长率为b(a,b0)若这两年的平均增长率为q,则()Aq BqCq Dq与的大小不确定7设a0,b0,给出下列不等式:a21a;(a)(b)4;(ab)()4;a296a;a212.其中恒成立的是_能力提升8已知a、b是正数,且1(x、y(0,),求证:xy()2.参考答案1答案:C2解析:x2y2|x|2|y|22|x|y|2|xy|.答案:A3证明:因为ab0,所以0,0.由基本不等式,得22,即2.当且仅当,即a2b2时式中等号成立因为ab0,a,b同号,所以ab,即式中等号成立的条件是ab.4证明:x0,x0.x24,当且仅当x,即x2时取等号x4.5分析:本题的结论是关于a、b、c的轮换对称式(a、b、c在不等式中的作用对等,交换其中任意两个位置,结论仍成立),只需证明a(b2c2)2abc,其他同理可证证明:b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc. 同理b(c2a2)2abc, c(a2b2)2abc. 因为a、b、c不全相等,所以中至少有两式不能取“”号a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.6解析:设2006年产量为1,则2008年产量为(1a)(1b)(1q)2,即1q1,q.答案:C7解析:a2122a,且a0,2aa,正确;a22,b22,(a)(b)4,当且仅当a1,b1时等号成立,故正确;(ab)()11224,当且仅当ab1时等号成立,故正确;a2926a,当且仅当a3时等号成立,故当a3时,a296a,故不正确;a2122,当且仅当a0时等号成立,又a0,所以等号不成立,故正确答案:8分析:不等式左端是xy(不含a、b),而右端是()2(含有a、b),又知1,所以将xy乘1,也即xy乘可得出相应式子,从而可应用基本不等式证明:左式xy(xy)()abab2()2右式当且仅当,即时取“”,故xy()2.3.2基本不等式与最大(小)值基础巩固1已知a,bR,下列不等式不成立的是()Aab2 Ba2b22abCab()2 D|a|b|22设x,y满足xy40且x,y都是正数,则xy的最大值是()A400 B100 C40 D203已知正数a,b满足ab10,则ab的最小值是 ()A10 B25 C5 D24已知m,nR,m2n2100,则mn的最大值是 ()A100 B50 C20 D105已知p,qR,pq100,则p2q2的最小值是()A200 B100 C50 D206已知0x1,则x(33x)取最大值时x的值为_7求函数yx(x3)的最小值8已知f(x)4x,(1)当x0时,求f(x)的最小值;(2)当x0时,求f(x)的最大值9某公司欲建连成片的网球场数座,用128万元购买土地10 000平方米,每座球场的建筑面积均为1 000平方米,球场总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关,当该球场建n个时,每平方米的平均建筑费用用f(n)表示,且f(n)m(1)(其中nN),又知建五座球场时,每平方米的平均建筑费用为400元,为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和),公司应建几个球场?综合过关10下列结论正确的是()A当x0且x1时,lgx2B当x0时,2C当x2时,x的最小值为2D当0x2时,x无最大值11若ba0,则下列结论不正确的是()Aa2b2 Babb2C.2 D|a|b|ab|12设a、bR,且ab,ab2,则必有()A1ab Bab1Cab1 D.ab113函数yloga(x1)1(a0,且a1)的图像恒过定点A,若点A在一次函数ymxn的图像上,其中m,n0,则的最小值为_能力提升14设ab0, 那么 a2 的最小值是()A2 B3C4 D515已知a,b,c正实数且abc1.求证:(1)(1)(1)8.参考答案1答案:A2解析:xy()2400,当且仅当xy20时等号成立答案:A3解析:ab22,当且仅当ab时等号成立答案:D4解析:mn50,当且仅当mn或mn时等号成立答案:B5解析:p2q22pq200,当且仅当pq10或pq10时等号成立答案:A6解析:0x1,1x0,则x(33x)3x(1x)3()2,当且仅当x1x即x时取等号答案:7分析:可将原函数解析式变形,凑配成积为定值的形式解:yx33,x3,x30,0,y235,当且仅当x3,即x4时,y有最小值5.8分析:由,4x的积是定值,因此可以利用基本不等式求最值,但要注意x的符号解:(1)x0,4x0,4x28.当且仅当4x,即x时取最小值8,当x0时,f(x)的最小值为8.(2)x0,x0,则f(x)(4x)28,当且仅当4x时,即x时取等号当x0时,f(x)的最大值为8.9分析:每平方米的综合费用为f(n)每平方米的购地费用,利用n5,f(n)400求出m,这样用n表示每平方米的综合费用,用基本不等式求出最小值解:设建成n个球场,则每平方米的购地费用为,由题意知n5,f(n)400,则f(5)m(1)400,所以m400,所以f(n)400(1)20n300,从而每平方米的综合费用为yf(n)20(n)300202300620(元),当且仅当n8时等号成立,所以当建成8座球场时,每平方米的综合费用最省10解析:A中,当x0且x1时,lgx不一定是正数,所以A不正确;C中,当x2时,x22中的等号不成立,所以C不正确;D中,当0x2时,可以证明函数yx是增函数,则其最大值是f(2),所以D不正确;B中,满足基本不等式的条件一正二定三相等,所以B正确答案:B11解析:a2b2(ab)(ab)0,所以A正确;abb2b(ab)0,所以B正确;由于0,0,且,则22,所以C正确;当b2,a1时,|a|b|121|ab|1,所以D不正确答案:D12解析:从所给的选项来看,就是要比较ab、1与的大小关系,最基本的方法就是采用差值比较法,也可利用不等式a2b22ab及其变形来考虑,并且注意等号取得的条件是否具备由ab2,且ab,得()21ab.答案:B13解析:A(2,1),则12mn,又m,n0,所以4428,当且仅当即m,n时取等号,则的最小值为8.答案:814解析:由 ab0, 可知0b(ab)(b)2a2,所以 a2a24,当且仅当a,b时等号成立答案:C15分析:不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1,可由此变形入手证明:a,b,c正实数,abc1,1,同理1,1.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,(1)(1)(1)8.当且仅当abc时取等号
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