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23.2平面向量的正交分解及坐标表示23.3平面向量的坐标运算1理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量(重点)2掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算(难点)3了解向量的坐标表示与平面内点的坐标(易混点)一、平面向量的坐标表示1向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解2向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a_，则有序数对 叫做向量a的坐标，记作a ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标互相垂直单位向量(x，y)(x，y)xiyj二、平面向量的坐标运算向量的加、减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量 实数与向量的积若a(x，y)，R，则a ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 .(x1x2，y1y2)相应坐标的和(差)(x，y)相应坐标(x2x1，y2y1) 终点 起点 在平面直角坐标系中，若ab，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？提示：若ab，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同(2)平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等(3)符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)(4)由于向量的坐标表示的引入，使向量有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示，另一种是坐标法，即用一对有序实数表示，有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标【思路点拨】题目中给出了向量a、b、c的模以及与坐标轴的夹角，要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形式，然后写出其相应的坐标(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标【特别提醒】(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系(2)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的(3)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关【借题发挥】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则给出了向量的另一种表示坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算 (12分)已知点A(1,0)、B(0,2)、C(1，2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标D点的坐标为(2,0)(如图中的D3)综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，4)或(2,4)或(2,0).12分【题后总结】注意数形结合及分类讨论，利用向量相等时，其坐标对应相等，从而求得点或向量的坐标3本例若已知点A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，其他条件不变，如何求D点的坐标？(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，3)；(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)综上可知，D点可能为(0，1)或(2，3)或(6,15)误区：对向量表达式思考不严密而漏解【纠错心得】研究点在直线上的问题时，要考虑点是内分点还是外分点，避免出现漏解现象本题点P可能在线段AB内，也可能在线段AB的延长线上，因此，需分类讨论
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