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20132014学年度上学期期中考试 高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1平面向量与的夹角为60，则（ ）（A） （B） （C）4 （D）122若集合则“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件24侧视图 6正视图俯视图453已知平面向量的夹角为且，在中， ，为中点，则( )A.2 B.4 C.6 D.84某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）（A） （B）（C） （D）5已知等差数列中，记，S13=( )A78 B68 C56 D526已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）A B C D7在中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是( )A B. C. D. 28若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ）（A）4 （B）（C）2 （D）9. 在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则该椭圆离心率的取值范围是( ) A B C D10已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥OABC的高为2且ABC=60，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（） A B. C. D. 11已知定义在R上的函数对任意的都满足，当 时，若函数至少6个零点，则取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）12对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”现给出如下函数：； ； ； . 其中为“敛1函数”的有 A B C D 卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为 。14已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sinMCN的最大值为 15.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围_.16已知函数定义在R上的奇函数，当时，给出下列命题：当时， 函数有2个零点的解集为 ，都有其中正确的命题是 三、解答题（共7个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；（2）设,求面积的最大值及此时的值。18. 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.19（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（1）求证：PCAC；（2）求二面角MACB的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离20在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.21已知函数f（x）=alnx+（a0）在（0，）内有极值（I）求实数a的取值范围；（II）若x1（0，），x2（2，+）且a，2时，求证：f（x2）f（x1）ln2+请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22. 如图，已知O的半径为1，MN是O的直径，过M点作O的切线AM，C是AM的中点，AN交O于B点，若四边形BCON是平行四边形.（）求AM的长；（）求sinANC23.已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式。20132014学年度上学期期中考试 高三年级数学（理科）答案一、选择题BAAAD CADBC AC11. 由得，因此，函数周期为2.因函数至少6个零点，可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数进行分类讨论.当时：得，即.当时：得，即.所以取值范围是.12. ；由于函数递增，那么不会存在一个正数，满足不等式。；当x0,c=2,那么存在x，满足题意，成立。 ；对于1x1,c=3，则可知满足题意。故选C.二、填空题13、 14、1 15、 16. 14. 由题意，设C（x0，y0），则C的方程（xx0）2+（yy0）2=x02+（y0p）2把y=0和x02=2py0代入整理得x22x0x+x02+p2=0设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0p，x2=x0+p|MN|=|x1x2|=2p|CM|=|CN|=11cosMCN1，0MCN0sinMCN1，sinMCN的最大值为1故答案为：116. 设，则，故，所以，故错；因为定义在R上的奇函数，所以，又，故有个零点，错；当时，令，解得，当时，令解得，综上的解集为，正确；当时，在处取最小值为，当时，在处取最大值为，由此可知函数在定义域上的最小值为，最大值为，而，所以对任意的，都有，正确三、解答题17、18、（1）是和的等差中项， 当时， 当时， ，即 3分数列是以为首项，为公比的等比数列， 5分设的公差为， 6分（2） 7分 9分, 10分数列是一个递增数列 . 综上所述， 12分19、解：方法1：（1）证明：PCBC，PCAB，PC平面ABC，PCAC（2分）（2）取BC的中点N，连MNPM=CN，MN=PC，MN平面ABC作NHAC，交AC的延长线于H，连接MH由三垂线定理得ACMH，MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为60，在RtAMN中，AMN=60在ACN中，在RtAMN中，在RtNCH中，在RtMNH中，故二面角MACB的余弦值为（8分）（3）作NEMH于EAC平面MNH，ACNE，NE平面MAC，点N到平面MAC的距离为点N是线段BC的中点，点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为（12分）方法2：（1）证明：PCBC，PCAB，PC平面ABC，PCAC（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设P（0，0，z），则，且z0，得z=1，设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得平面ABC的一个法向量为显然，二面角MACB为锐二面角，二面角MACB的余弦值为（8分）（3）点B到平面MAC的距离（12分）20、解析：（） （1分）则椭圆方程为即设则 当时，有最大值为 解得，椭圆方程是 （4分）（）设方程为由 整理得. 由，得. （6分） 则, 由点P在椭圆上，得化简得 （8分）又由即将，代入得 化简，得则, （10分）由，得联立，解得或 （12分）21解：（I）由f（x）=alnx+（a0），得：，a0，令，g（0）=10令或， 则0a2(II）由（I）得：，设ax2（2a+1）x+a=0（0a2）的两根为，则，得当x（0，）和（，+）时，函数f（x）单调递增；当x和（2，）时，函数f（x）单调递减，则f（x1）f（a），f（x2）f（），则f（x2）f（x1）f（）f（）=alnaln=（利用）令，x2则，则函数h（x）单调递增， h（x）h（2）=2ln2+，则，f（x1）f（x2）ln2+22、（）连接，则，因为四边形是平行四边形，所以，因为是的切线，所以，可得，又因为是的中点，所以，得，故. （5分）（）作于点，则，由（）可知，故. （10分）23.解：（）由|xa|m得amxa+m，所以解之得为所求 4分（）当a=2时，f（x）=|x2|，所以当t=0时，不等式恒成立，即xR；当t0时，不等式解得x22t或或x，即；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，当t0时，原不等式的解集为 10分
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