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20132014学年度上学期期中考试 高三年级数学(理科)试卷本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第卷(选择题 共60分)一、选择题:(本题共12个小题,每小题5分,共60分,在四个选项中,只有一项是符合要求的)1平面向量与的夹角为60,则( )(A) (B) (C)4 (D)122若集合则“”是“”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件24侧视图 6正视图俯视图453已知平面向量的夹角为且,在中, ,为中点,则( )A.2 B.4 C.6 D.84某几何体的三视图如右图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )(A) (B)(C) (D)5已知等差数列中,记,S13=( )A78 B68 C56 D526已知双曲线 的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为( )A B C D7在中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是( )A B. C. D. 28若函数的图象在处的切线与圆相切,则的最大值是( )(A)4 (B)(C)2 (D)9. 在椭圆中,分别是其左右焦点,若椭圆上存在一点P使得,则该椭圆离心率的取值范围是( ) A B C D10已知A、B、C是球O的球面上三点,三棱锥OABC的高为2且ABC=60,AB=2,BC=4,则球O的表面积为() A B. C. D. 11已知定义在R上的函数对任意的都满足,当 时,若函数至少6个零点,则取值范围是( )(A) (B) (C) (D)12对于定义域为的函数和常数,若对任意正实数,使得恒成立,则称函数为“敛函数”现给出如下函数:; ; ; . 其中为“敛1函数”的有 A B C D 卷 非选择题 (共90分)二、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置)13. 过点的直线与圆截得的弦长为,则该直线的方程为 。14已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sinMCN的最大值为 15.如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围_.16已知函数定义在R上的奇函数,当时,给出下列命题:当时, 函数有2个零点的解集为 ,都有其中正确的命题是 三、解答题(共7个题, 共70分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置)17如图所示,扇形AOB,圆心角AOB的大小等于,半径为2,在半径OA上有一动点C,过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.(1)若C是半径OA的中点,求线段PC的长;(2)设,求面积的最大值及此时的值。18. 数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足,.(1)求数列、的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明:.19(12分)如图,四边形PCBM是直角梯形,PCB=90,PMBC,PM=1,BC=2又AC=1,ACB=120,ABPC,直线AM与直线PC所成的角为60(1)求证:PCAC;(2)求二面角MACB的余弦值;(3)求点B到平面MAC的距离20在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点()求椭圆C的方程;()设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围.21已知函数f(x)=alnx+(a0)在(0,)内有极值(I)求实数a的取值范围;(II)若x1(0,),x2(2,+)且a,2时,求证:f(x2)f(x1)ln2+请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意:只能做所选定题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。22. 如图,已知O的半径为1,MN是O的直径,过M点作O的切线AM,C是AM的中点,AN交O于B点,若四边形BCON是平行四边形.()求AM的长;()求sinANC23.已知函数。(1)若的解集为,求实数的值。(2)当且时,解关于的不等式。20132014学年度上学期期中考试 高三年级数学(理科)答案一、选择题BAAAD CADBC AC11. 由得,因此,函数周期为2.因函数至少6个零点,可转化成与两函数图象交点至少有6个,需对底数进行分类讨论.当时:得,即.当时:得,即.所以取值范围是.12. ;由于函数递增,那么不会存在一个正数,满足不等式。;当x0,c=2,那么存在x,满足题意,成立。 ;对于1x1,c=3,则可知满足题意。故选C.二、填空题13、 14、1 15、 16. 14. 由题意,设C(x0,y0),则C的方程(xx0)2+(yy0)2=x02+(y0p)2把y=0和x02=2py0代入整理得x22x0x+x02+p2=0设M、N的横坐标分别为x1、x2,则x1=x0p,x2=x0+p|MN|=|x1x2|=2p|CM|=|CN|=11cosMCN1,0MCN0sinMCN1,sinMCN的最大值为1故答案为:116. 设,则,故,所以,故错;因为定义在R上的奇函数,所以,又,故有个零点,错;当时,令,解得,当时,令解得,综上的解集为,正确;当时,在处取最小值为,当时,在处取最大值为,由此可知函数在定义域上的最小值为,最大值为,而,所以对任意的,都有,正确三、解答题17、18、(1)是和的等差中项, 当时, 当时, ,即 3分数列是以为首项,为公比的等比数列, 5分设的公差为, 6分(2) 7分 9分, 10分数列是一个递增数列 . 综上所述, 12分19、解:方法1:(1)证明:PCBC,PCAB,PC平面ABC,PCAC(2分)(2)取BC的中点N,连MNPM=CN,MN=PC,MN平面ABC作NHAC,交AC的延长线于H,连接MH由三垂线定理得ACMH,MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为60,在RtAMN中,AMN=60在ACN中,在RtAMN中,在RtNCH中,在RtMNH中,故二面角MACB的余弦值为(8分)(3)作NEMH于EAC平面MNH,ACNE,NE平面MAC,点N到平面MAC的距离为点N是线段BC的中点,点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为(12分)方法2:(1)证明:PCBC,PCAB,PC平面ABC,PCAC(2分)(2)在平面ABC内,过C作BC的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示设P(0,0,z),则,且z0,得z=1,设平面MAC的一个法向量为=(x,y,1),则由得得平面ABC的一个法向量为显然,二面角MACB为锐二面角,二面角MACB的余弦值为(8分)(3)点B到平面MAC的距离(12分)20、解析:() (1分)则椭圆方程为即设则 当时,有最大值为 解得,椭圆方程是 (4分)()设方程为由 整理得. 由,得. (6分) 则, 由点P在椭圆上,得化简得 (8分)又由即将,代入得 化简,得则, (10分)由,得联立,解得或 (12分)21解:(I)由f(x)=alnx+(a0),得:,a0,令,g(0)=10令或, 则0a2(II)由(I)得:,设ax2(2a+1)x+a=0(0a2)的两根为,则,得当x(0,)和(,+)时,函数f(x)单调递增;当x和(2,)时,函数f(x)单调递减,则f(x1)f(a),f(x2)f(),则f(x2)f(x1)f()f()=alnaln=(利用)令,x2则,则函数h(x)单调递增, h(x)h(2)=2ln2+,则,f(x1)f(x2)ln2+22、()连接,则,因为四边形是平行四边形,所以,因为是的切线,所以,可得,又因为是的中点,所以,得,故. (5分)()作于点,则,由()可知,故. (10分)23.解:()由|xa|m得amxa+m,所以解之得为所求 4分()当a=2时,f(x)=|x2|,所以当t=0时,不等式恒成立,即xR;当t0时,不等式解得x22t或或x,即;综上,当t=0时,原不等式的解集为R,当t0时,原不等式的解集为 10分
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