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第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布x1p1x2p2xipixnpn 数学期望数学期望 aE(X)b a2D(X) 3两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差均值均值方差方差变量变量X服从服从两点分布两点分布E(X)_D(X)_XB(n，p)E(X)_D(X)_pp(1p)npnp(1p)(3)正态曲线的性质：正态曲线的性质：曲线位于曲线位于x轴轴_，与，与x轴不相交；轴不相交；曲线关于直线曲线关于直线_对称；对称；曲线在曲线在_处达到峰值处达到峰值 ；曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为_；当当一定时，曲线随着一定时，曲线随着_的变化而沿的变化而沿x轴平移；轴平移；当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定_，曲线越，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中；表示总体的分布越集中；_，曲线越，曲线越“矮胖矮胖”，表示总，表示总体的分布越分散体的分布越分散上方上方xx1越小越小越大越大(4)正态总体三个基本概率值正态总体三个基本概率值P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_.0.682 60.95440.99741随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？【提示【提示】随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的差是一个变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差均值、方差趋于随机变量的均值与方差2若若XN(0,100)，YN(0,81)，你能比较，你能比较P(X1)与与P(Y1)的的大小吗？大小吗？【提示【提示】因为因为10081，所以，所以X对应的正态曲线对应的正态曲线“矮胖矮胖”，Y对对应的正态曲线应的正态曲线“瘦高瘦高”，并且两曲线的对称轴相同，故，并且两曲线的对称轴相同，故P(X1)P(Y1)1(教材改编题教材改编题)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则，则P(0)()A0.16B0.32C0.68D0.84【解析【解析】P(4)0.84，2，P(0)P(4)10.840.16.【答案【答案】A2设服从二项分布设服从二项分布B(n，p)的随机变量的随机变量的期望和方差分别是的期望和方差分别是2.4与与1.44，则二项分布的参数，则二项分布的参数n、p的值为的值为()An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1【答案【答案】B【答案【答案】0.4【答案【答案】2 (2011湖北高考湖北高考)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2，2)，且，且P(4)0.8，则，则P(02)()A0.6B0.4C0.3D0.2【思路点拨【思路点拨】根据正态曲线的对称性求解根据正态曲线的对称性求解 正态分布下的概率正态分布下的概率 【尝试解答【尝试解答】由由P(4)0.8，得，得P(4)0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线由题意知正态曲线的对称轴为直线x2，P(0)P(4)0.2，P(04)1P(0)P(4)0.6，P(02)P(04)0.3.【答案【答案】C 1求解本题关键是明确正态曲线关于求解本题关键是明确正态曲线关于x2对称，且区间对称，且区间0,4关于关于x2对称对称2关于正态总体在某个区间内取值的概率求法关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为轴之间面积为1. 若在本例中，条件改为若在本例中，条件改为“已知随机变量已知随机变量(3,1)，且，且P(24)0.682 6，”求求P(4)的值的值 (2011天津高考天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有甲箱子里装有3个白球、个白球、2个黑球，乙箱子里装有个黑球，乙箱子里装有1个白球、个白球、2个个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出随机摸出2个球，若摸出的白球不少于个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖个，则获奖(每次游每次游戏结束后将球放回原箱戏结束后将球放回原箱)(1)求在求在1次游戏中，次游戏中， 摸出摸出3个白球的概率；个白球的概率；获奖的概率获奖的概率(2)求在求在2次游戏中获奖次数次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望的分布列及数学期望E(X) 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 【思路点拨【思路点拨】(1)获奖则摸出获奖则摸出2个白球或摸出个白球或摸出3个白球，个白球，利用互斥事件概率加法不难求解；利用互斥事件概率加法不难求解；(2)在在2次游戏中，获奖的次次游戏中，获奖的次数数X服从二项分布，进而可求分布列与数学期望服从二项分布，进而可求分布列与数学期望1本题求解的关键在于求一次游戏中获奖的概率，要正本题求解的关键在于求一次游戏中获奖的概率，要正确利用互斥事件和相互独立事件概率计算公式确利用互斥事件和相互独立事件概率计算公式2求离散型随机变量的均值与方差，求离散型随机变量的均值与方差，(1)关键是先求随机关键是先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解(2)若随机若随机变量变量XB(n，p)，则可直接使用公式，则可直接使用公式EXnp，DXnp(1p)求解求解 (2012东莞调研东莞调研)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机(即等可能即等可能)为你为你打开一个通道，若是打开一个通道，若是1号通道，则需要号通道，则需要1小时走出迷宫；若是小时走出迷宫；若是2号、号、3号通道，则分别需要号通道，则分别需要2小时、小时、3小时返回智能门再次到小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止令迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间表示走出迷宫所需的时间(1)求求的分布列；的分布列；(2)求求的数学期望的数学期望 期望与方差在决策中的应用期望与方差在决策中的应用 (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每每一年的利润和本金继续用作投资一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总，问大约在哪一年的年底总资产资产(利润本金利润本金)可以翻一番？可以翻一番？(参考数据：参考数据：lg 20.301 0，lg 30.4771)【思路点拨【思路点拨】对投资项目的评判，首先从收益的期望值进行比对投资项目的评判，首先从收益的期望值进行比较，若相同，则进一步选择方差较小的投资项目较，若相同，则进一步选择方差较小的投资项目 1(1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列列(2)第第(2)问中易忽视问中易忽视2012年年初投资与总资产的年底核算，年年初投资与总资产的年底核算，错误回答错误回答2016年年底翻一番年年底翻一番2随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定 随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件次件次品亏损品亏损2万元设万元设1件产品的利润件产品的利润(单位：万元单位：万元)为为.(1)求求的分布列；的分布列；(2)求求1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即的均值的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为一等品率提高为70%.如果此时要求如果此时要求1件产品的平均利润不小于件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？ (3)设技术革新后的三等品率为设技术革新后的三等品率为x，则此时，则此时1件产品的平均利润为件产品的平均利润为E()60.72(10.70.01x)x(2)0.014.76x(0 x0.29)，依题意，知依题意，知E()4.73，即，即4.76x4.73，解得解得x0.03.所以三等品率最多为所以三等品率最多为3%. 从近两年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方从近两年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题常与排差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题常与排列、组合、概率综合命题，考查学生的理解能力与数学运算能列、组合、概率综合命题，考查学生的理解能力与数学运算能力，预计力，预计2013年高考，离散型随机变量的均值与方差仍是高考年高考，离散型随机变量的均值与方差仍是高考的重点，注重与统计的交汇和实际的应用是命题的方向的重点，注重与统计的交汇和实际的应用是命题的方向创新点拨：创新点拨：(1)本题把统计知识与离散型随机变量的均值本题把统计知识与离散型随机变量的均值相结合，引入相结合，引入“性价比性价比”可进一步理解频率与概率的关系，并可进一步理解频率与概率的关系，并赋予时代气息赋予时代气息(2)随机变量的均值与频率分布表在实际生活中应用广泛，随机变量的均值与频率分布表在实际生活中应用广泛，增强学生对数学的应用意识增强学生对数学的应用意识应对措施：应对措施：(1)正确理解题意，有效地实施文字语言与图正确理解题意，有效地实施文字语言与图表符号语言的转化对于新定义表符号语言的转化对于新定义“性价化性价化”，首先利用给出的，首先利用给出的公式计算公式计算“性价化性价化”，然后以，然后以“性价化性价化”为标准作出准确的判为标准作出准确的判断断(2)注重统计与概率的综合训练，强化数据处理能力的培注重统计与概率的综合训练，强化数据处理能力的培养，注意方程思想的应用养，注意方程思想的应用 2(2012淮南模拟淮南模拟)袋中有袋中有20个大小相同的球，其中记上个大小相同的球，其中记上0号的号的有有10个，记上个，记上n号的有号的有n个个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，现从袋中任取一球，表示所有取球的标号表示所有取球的标号(1)求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差；(2)若若ab，E()1，D()11，试求，试求a，b的值的值
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