第五、六章导数与微分、微分学基本定理及其应用(全面版)资料

第五、六章导数与微分、微分学基本定理及其应用（全面版）资料第五六章导数与微分、微分学基本定理及其应用这两章主要内容包括：导数概念、单侧导数、导函数、导数的几何意义、导数的四则运算；反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数与微分、一阶微分形式的不变性、微分在近似计算中的应用、高阶导数与高阶微分、隐函数与参数方程求导法则；费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理、近似计算、洛比达法则、导数在函数性态研究上的应用等。重点与难点：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理及其在一些复杂证明、计算中的应用典型例题例1.确定常数a, b使f xax b2x:1在每点可导.解：当x 1时，f X a.当x 1时,x 2x.lim -一12 .x 1 x 1ax b 1ax af x可导，则f x连续.所以a b 1. limlima f 1x 1 x 1 x 1 x 1 a 2. b 1.2例 2. x acost，o t .求史，业yasintdxdxd1 nyddy解:dyy tbcott，adtdxbdxx tdx2dxa2 si nx sin 0 x是连续的.f 0 limx一x 0 x 0tdt例3.yxx xx ( x0），求y .解：yx ln xxx ln xx ee1 xx 1 ln xxx xx 1 In x ln2xx例4.证明函数fx2.1 sinx 00有不连续的导数.0解：lim f x 0x 0例5.解：f x2 . 1x sinx2xsin 丄x是不连续的.x2ax bX。Xocos， lim f xx 为使f X在Xxo处连续且可微，应如何选aXo处连续，则ax0 b2Xof X在X Xo处可微,则f X。xo.f XolimX Xo2 2xXoXXo2xo , fxolimX X)axb x2xXoax bax0 blimx X0x x02xo, bx(/2x,2Xo .说明:一个函数在某点xo处的右导数f xo不一定是导数在X。处的右极限.2 . 1例.对函数f X x sin；0o，当 Xo11o 时，f x 2xsin- cos，lim fxx x o2.1门x sino不存在.但lim xx o+ x o例6.函数f x在xo上可微且limxf X存在，由此能否推出lim f XX在？. 2解：不能.如函数f X =在X0,上可微,x 2cosx2. 2 sin x2Xlim f x不存在.X例7.有界函数f x在xo,上可微且lim fxx存在,由此能否推出lim fX存在?解：不能.如f Xcos ln x， f x sin ln X，lim fXx o，但 lim cos ln xX不存在.例8.当a为何值时，y ax2与y In x相切?解:1ax2与y In x相切得2ax -，即x211，也即x2a2aax2将x, y代入yIn x ,In2I1 ln2aIn2，2a例9.写出曲线1a .2ex 2t t2 上t y 3t t21处的切线方程与法线方程31 t，当t1 时，dx3.2解: dy=二3-dx 2 2t切点的坐标是1,2，斜率k 3.故所求切线方程是y 23 x 1，法线方程是y 2- x 13中一致例10.若函数f x于区间a, b内有有界的导数f x，贝U f x于a,b 连续证明：令M 0且对x a,b ， f x M .N，x2 ，x1,x2a,b，为 x2， f x2f fx2 .a,b ，f为 f X2M X2为. 只需取 一，即有当为，X2Mx- x?时有 f 捲 f X2.例11.证明若函数f x于无穷区间x0,内可微且lim f xx1xlim 0xx证明：T limfX 0，0，N1 0，当x N1时有f Xx2取xoN1，XXo，有1:Xf X0fX x0 .N2X。，当XN2时有f x0-x2f XfXqf|x xq|丨X I IX11 x I2 2 .f X lim xX0.例 12. f x在a,上有界，f x存在且limXf x b，求证b 0证明：T limXfXb，对Xn，若 Xn，贝U lim f xnb .X如果 xn使得limXfXn0,则 b 0.n cd n对nn2nnnn2o例13.设f x在0,1上连续,0,1内可导,证对 x-!,x20,1，有 f x1X2证明：, X20,1，若 xX210,2f X2X1X2X1 .1若X1, X2,1也有f2X1X2若X1,X2X2时，可知fx-1fx2X2X21X1f x2x.f x2X1X2X1X21例14.若函数f(1)在闭区间a,b上有二阶导函数f x(2)则在区间 a,b至少存在一点c，4 2说明：涉及到二阶导数的地方，一般用泰勒公式，在特殊点展开，再把x换成特殊值.证明：由泰勒公式得a, x x,b把x 口带入上式得2r a bf 1 b a a bf2 b aff a，-ff b -22222442两式相减得02max，其中c 1或c 2.a,b ,st.例15.1o,1，求证 0f X dx其中为任意正实证明：把f X在x0处用二阶泰勒公式展开得之间.x dx f0f x例16.设函数f其中M2max fx a,b证明:取Xof x dxabf x dxa1 dx1dxx二阶可微，求证bf x dx baa b2m224在xo处用二阶泰勒公式展开得f XoXoX XoX XodxxXoM224例17.试问如下推证过程是否正确?t2s in1 t0在 0,x上应用拉格朗日定理得2 1x sin xxsin丄cos-，o1 1x.即得 cos 2 sin.1xsi nx由上式可知1limcos 0 .0说明:错了 1 limcos 01o，并不代表limcos o .0例18.设f x在a,b内可导，对xoa, b ，求证 Xna,b，使得lim XnnXo且 lim f xnf X).n证明:f yx0lim y Xy X0f Xo.令X01a,b ， X0nyn，则ynXo.Xof ynf x0lim - lim fnXn,Xn介于X0与X0XnXo ,lim f xnf x0 .n例19.x在a,b内一阶可导,a,b内二阶可导,0.证明:(1)存在a, b，使 f(2)存在a, b，使 f证明：(关于(1)般找到两点Xi，X2a,b ， s.t. f x1f X2b同号且都不为零,不妨设Xff alimax a X af X f bf b lim.X b x bf a 0，f b 0,因此存在Xi,X2 a,b , st. A 与f a同号,x1 a丄J2 LL与f b同号.而f a f b 0，因此 “ 2 0.X2 bXi a X2 bf f X20，由介值定理知a,b , s.t. f 0.（2）（对于要证，s.t. ff 及f f 的题，一般建立函数F x f x eX）令 F x f x eX , F a F b 0, F a F b 0.a,b，使得F 0.在a,上应用罗尔定理知i , s.t. F i e 1 f i f i 0, i a,在,b上应用罗尔定理知2,b ， s.t. F 2 e 2 f 2f 20要证ff.令Gxx ef x f x ，则 G xex f x f xf xf xexf x f x . f 1 f 1 ， f 2f 2G 1 G 20.1, 2 ， s t. G0，ff.例20.设f x在0,1上连续可导，且f 00 , f 11 ,求证f x f x dx e 1.0证明：（里面出现了 f x f x及e1，因此想到考虑F x exf x ）f x ，x 0,1 .因此令 Fx e x f x ， F x e x f xf X f x| f x xf x ef x ex dxx dxx dx0F Xdx例21.已知f x在0,1上连续,在0,1内可导且f 0f 10，求证0,1 ， s.t. f4f .证明：令 F x e4xf x，f 0f 10.，st. F 0，0,1，F e4 f 4f 0. f 4f .例22.已知f x在0,1上连续，在 0,1内可导且f 10，求证 0,1，st. 4ff .证明：令 F xx4f x，F x4x3f xx4f x，F 0 F 10.0,1 ， s.t. F 0. 4f0. 4f例23.设f x在a,b上连续，在a,b内可导，其中a 0，求证存在 a,b ，st. f b f abIna证明：即证丄 La 1(用柯西定理即可)In b In a 1例24.设f x在0,1上连续，在0,1内可导，f 00，求证如果在0,1上不恒为零，则存在0,1，使得ff0.证明：分析 2f xf xf2 x，即证f2 x0.假若f2 x0,则f2 x单调减，当x 0时，f2 x f 0 .又f0 0， f2 x 0 .f x 0.产生矛盾.例25. f x在R上上二次可微，且x尺有f xM(0，f xM2.(1)写出fx h , f x h关于h的带拉格朗日余项的泰勒公式求证对h 0，有f刈 2m2-(3)求证 f x2jM0M2 .解：(1) f x h f x f x h，1介于之间f x h f x f x h产h2，2介于x，x h之间.(2)将(1)中两式相减得f x h f x h f x 2hf x(3)业hMoM0M222时取等号则h空2M 0 hh 2x2(M0M2 .例26求证：1)2)证 1)令 g(x)2时,1时,21ln(1x)ln(1f(x)g (x)1-)xx2x x(2 x2(x 1)21)x,当(1x2xxg(x)递增而 lim g(x)x0,x(x 0)在(0,)严格单调递减g (x) 0g(x) 0,原证结论成立2) f(x) (1 -)xx因此，匸凶，则 In f (x)(xf (x)f(x) ln(1f (x)g(x)例27.求证:x 0时,证：令F(x)1-)xxr1 -x0 因此f (x)在(0,彳 241 x x飞xx52 41 x x3 5x x x2nx2n 1x1)ln(1-)x1 xln(1 )2 g(x)x x x)上严格单调递减2nx2nx且等号仅当xn1时成立.2n 2x2nx(1 xF (x)n(12n 22n 1、x ) (n 1)(x x )F (x)nx(1 x2n)令 g(x)n(1x ) (n 1)(x x )g(x)(n1)2 nx2n(x 1) x2n 1g (x)(n1)x2n 1(2n 4n2)(x 1)且 g (x)g (x)在 x1取最大值0 , g (x) 0g(1) 0x 1 时 g(x) 0; x 1 时 g(x)0x 1F(x)0x 1 CT x2n 0,x 1)0x 10 ; x000f (x)0 ,所证成立.1 时 g(1) 0.例28 f (x)在a,b上连续且单调增加xa x x证：令 F(t) tf(t)dt - - f(t)dta2 a求证:bxf(x)dxabf (x)dx aF (t)1 xa - a1 xxf(x) a f(t)dtf(x)f(x) a f(t)dt2 a 2 2 2 a1 -1 -f (x)dt - f (t)dt f(x) f(t)dt2 a2 af(x)f(x) f (t)F (t) 0F(a)0, F(x) 0,F (b)0所证成立例29设f(x)在0,1上有连续的一阶导数,且f (x) O,f(x) 0.- 1若 F (x) o f (t)dt.求证:对任意的-(0,1),都有 xF(1) F(x) 2 0 F (t)dt .1 - - 1证：1)证-f (t)dt f (t)dt .令G(x) f (t)dt - f (t)dt0 0 0 01G(x) f(x) 0f(t)dt G (x) f (x) 0G(x)是凸函数.TG(0)G(1) 0 G(x)在-轴上方 G(x) 0xF(1) F(x)- 1 -F (x) f(x)2)证 0 f (t)dt 20F(t)dt. F(x) 0 f(t)dt,F (x) f (x)0 F(x)是凸函数且 F(0)0F(t)dt1尹(0)F(t)dt11FF(1) 1(曲边梯形面积 梯形面积)1 -2 0F(t)dt F(1) q F(t)dt,所证成立.例30设f(x)在0,1上可微且0f (x) 1, x (0,1), f(0) 0, 1 2 1 3 求证：(f(x)dx)2o f 3(x)dx次-ox o证：令 F(x) ( o f(t)dt)2q f3(t)dtX-F (x) 2f(x) 0 f(t)dt f3(x)f(x)2 0 f(t)dt f2(x)f (x)0. f (0)0 f (x)0Ax2令 g(x) 2 0 f (t)dt f (x), g(0)0g(x) 2f(x)1f(x)0(0 f (x)1)g(x) g(0)0 F (x)0,F(0)0 F(x) F(0) F F (0)所证成立例31.设f(x) 0在0,1上连续，f(1) 0 .求证：存在 (0,1),使得 f( )0 f(x)dxx1证明：令 F(x) f(x) q f (t)dt, F(0) f (0) , F(1) q f(t)dt 01)若f(0) 0,则F(0) F(1) 0,则由介值定理可得存在(0,1),使得F( )0,因此要证明得结论成立.2)若f (0)0,则f (0)0若f(Xm)M是f (x)在0,1上的最大值.F(Xm)f(xm)口1风，其中1是0,1上某一点，因此有F)f( )0 f(x)dx.F(1) 0.因此由介值定理可以知道存在(0,1)使得例32.设f(x)在0,1上连续，使得f (x)0 求证:a1dta f(t)2)对于任意自然数n ,存在唯一的Xn(0,1)使得Xn1 f (t)dtn1 1Xnf(t)dt 且1)存在唯一的a (0,1)使得o f(t)dtlim Xn a .nX证明:1)令 F(x)0 f(t)dt1 丄 dt,x f(t)F (x) f(x)F(x)单调 F(0)0,F(1)0存在唯一的a (0,1)使得 F(a) 0a1 10f(t)dtaf(t)dtxin f (t)dtn“ fk)dt12) Fn( ) Fn(1) 0 人使得n其中&(X)1 f(t)dtn询dt.下面说明的增减性.Fn i(x) Fn(x)0所以 Fn (X)对 n 是增的.Fni(Xni)0,Fn i(Xn)Fn(Xn)Fn l(Xn)Fn 1(Xn 1)Xn1XnXn单调有界令Hm XnX1n f (t)dtn1 1dt且积分上下限函数连x f (t)b0f(t)dt冷由1)知ba (唯一的a).例33.设0x 1,求证:xe证：两边取对数有：InxIn x1-,即证2lnx1-0(0 x 1)x令 F(x) 2I nx x 1x(x)1 2x x1 -2 2XXF(x) , F(x) F(1)0,F(x) 0得证.利用凸凹性来证明不等式例34. 1)设f(x)是在R上得凹函数,f (x)可微且f (x)0,求证:对 ”，X2,必 R 有：f(X1)f(X2)f(Xn)f(2)求证:当Xk 0(k 1,2,n)时，有证:1) f(x)f (X0)f (X)(X X0)f(x)f (X0)f(X0)(X X0)令X0X1x2yXn令XXn时成立.(X X0时取等号)nX1 X2nf ()2当 X-!X2f( 0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点（见图5-10）.-CorQ图6-9,r”J,9V ”图 6-104. 中心型如 =0，则轨线方程成为:C 或 x2y2 C2它是以坐标原点为中心的圆族 .在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心综上所述，方程组-J WdX AX （det Adt经过线性变换 X TX，可化成标准型0)(6.4)dXdtJX(6.5)由A的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型当det A 0 ,根据A的特征根的不同情况可有如下的类型:相异（非零）实根实根重（非零）实根实部不为零一一焦点 复根_1实部为零一一中心同号一一结点 异号一一鞍点临界结点退化结点因为A的特征根完全由 A的系数确定，所以 A的系数可以确定出奇点的类型就有 2李雅普诺夫稳