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1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan .(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()1(2016天津模拟)过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4答案A解析依题意得1，解得m1.2(2016合肥一六八中学检测)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A0， B，)C0，(，) D，)，)答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是，)3如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a .答案1或2解析令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1，依题意2a1，解得a1或a2.5过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 答案3x2y0或xy50解析当直线过原点时，直线方程为yx，即3x2y0；当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya，将点A(2，3)代入，得a5，即直线方程为xy50.故所求直线的方程为3x2y0或xy50.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2016北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为，斜率为k，那么“”是“k”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 答案(1)B(2)(，1，)解析(1)当时，k时，”是“k”的必要不充分条件，故选B. (2)如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180)思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)(2017南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150 B135 C120 D不存在答案A解析由y得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|22，所以SAOB21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k(k舍去)，故直线l的倾斜角为150.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (00，b0)，把点P(3,2)代入得12，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解(2016潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求直线l的方程解依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(1)(4k)5(k)5(k)549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时直线l的方程为2xy60.11求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2)得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1(2016北京顺义区检测)若直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是()A6k2 B5k3Ck2答案A解析解方程组得因为直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，所以k60且k20，所以6kx02，则的取值范围为()A(，) B(，C(， D(，0)答案A解析设A(x1，y1)，k，则y0kx0，AB的中点为P(x0，y0)，B(2x0x1,2y0y1)A，B分别在直线x2y10和x2y30上，x12y110,2x0x12(2y0y1)30，2x04y020，即x02y010.y0kx0，x02kx010，即x0.又y0x02，kx0x02，即(k1)x02，即(k1)()2，即0，解得k0，bc0，bc0Cab0Dab0，bc0答案A解析由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为yx.易知0，故ab0，bc0，a1)的图象恒过定点A，若点A在mxny10(mn0)上，则的最小值为 答案4解析函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)把A(1,1)代入直线方程得mn1(mn0)()(mn)24(当且仅当mn时取等号)，的最小值为4.11(2016太原模拟)已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围解(1)当m1时，直线AB的方程为x1，当m1时，直线AB的方程为y2(x1)即x(m1)y2m30.(2)当m1时，；当m1时，m1，0)(0，k(，)，)(，综合知，直线AB的倾斜角，12已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过点P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上可得直线l的方程为x2或3x4y100. (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式，得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A、P、B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.
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