人教A版高中数学必修5同步检测单元评估验收(三)

单元评估验收(三)(时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，在每小在每小题给出的四个选项中题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1不等式不等式 x22x 的解集是的解集是()Ax|x2Bx|x2Cx|0 x2Dx|x0 或或 x2解析：解析：由由 x22x 解得：解得：x(x2)0，所以所以 x0 或或 x2.答案：答案：D2不等式不等式(x3)21 的解集是的解集是()Ax|x2Bx|x4Cx|4x2Dx|4x2解析：解析：原不等式可化为原不等式可化为 x26x80，解得解得4x2.答案：答案：C3已知点已知点 P(x，y)在不等式组在不等式组x20，y10，x2y20表示的平面区域上运表示的平面区域上运动动，则则 zxy 的最小值是的最小值是()A2B2C1D1解析：解析：画出可行域：画出可行域：zxyyxz，由图形知最优解为由图形知最优解为(0，1)，所以所以 zmin1.答案：答案：C4下列函数：下列函数：yx1x(x2)；ytan x1tan x；yx31x3.其中最小值为其中最小值为 2 的个数有的个数有()A0 个个B1 个个C2 个个D3 个个解析：解析：yx1x2x1x2，当且仅当当且仅当 x1x，即即 x1 时等时等号成立号成立，由于由于 x2，因此因此的最小值不是的最小值不是 2；中中 tan x 可能小于零可能小于零，最小值不是最小值不是 2；中中 x3 可能小于零可能小于零，最小值不是最小值不是 2.答案：答案：A5二次不等式二次不等式 ax2bx10 的解集为的解集为 x|1x13 ，则则 ab 的的值为值为()A6B6C5D5解析：解析：由题意知由题意知 a0，1 与与13是方程是方程 ax2bx10 的两根的两根，所以所以113ba，(1)131a，解得解得 a3，b2，所以所以 ab6.答案：答案：B6若不等式若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切对一切 xR 恒成立恒成立，则则 a的取值范围是的取值范围是()A(，2B2，2C(2，2D(，2)解析：解析：当当 a2 时时，不等式不等式40 恒成立恒成立，因此因此 a2 满足题意满足题意当当 a2 时时，不等式不等式(a2)x22(a2)x40 对一切对一切 xR 恒成恒成立立，需满足需满足a20，4（a2）24（a2） （4）0，解得解得2a2.综上所述综上所述，a 的取值范围是的取值范围是21)的最大值为的最大值为()A4B3C4D3解析：解析：由由 x1x15x11x16268(x1)，所以所以 ylog12x1x15log1283，故选故选 D.答案：答案：D10已知已知 a0，b0，a，b 的等差中项是的等差中项是12，且且a1a，b1b.则则的最小值是的最小值是()A3B4C5D6解析解析：因为因为a1ab1b11a1b (ab)111baab5.答案：答案：C11若不等式组若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形表示的平面区域是一个三角形，则则正数正数 a 的取值范围是的取值范围是()A.43，B(0，1C.1，43D(0，143，解析解析：画出前三个不等式表示的平面区域画出前三个不等式表示的平面区域，为图中为图中OAB，当直当直线线 l：xya 在在 l0与与 l1之间之间(包括包括 l1)时不等式组表示的平面区域为三时不等式组表示的平面区域为三角形角形；当当 l 在在 l2的位置或从的位置或从 l2向右移动时向右移动时，不等式组表示的平面区域不等式组表示的平面区域是三角形；又是三角形；又 l 在在 l1，l2的位置时的位置时，a 的值分别为的值分别为 1，43.所以所以 0a1或或 a43.答案：答案：D12定义符号函数定义符号函数 sgn x1，x0，0，x0，1，x0，则当则当 xR 时时，不等式不等式 x2(2x1)sgn x的解集是的解集是()A. x|3 334x3 334B. x|x3 334C. x|x3 334D. x|3 334x3解析：解析：当当 x0 时时，不等式化为不等式化为 x22x1，解得解得 x3，即即 0 x3；当当 x0 时时，不等式恒成立；不等式恒成立；当当 x0 时时，不等式化为不等式化为 x2(2x1)1，即即 2x23x30，解得解得3 334x3 334，即即3 334x0.综上可知综上可知，不等式的解集为不等式的解集为 x|3 334x3.答案：答案：D二二、填空题填空题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，把答案填把答案填在题中横线上在题中横线上)13|x|22|x|150 的解集是的解集是_解析：解析：因为因为|x|22|x|150，所以所以|x|5 或或|x|3(舍去舍去)所以所以 x5 或或 x5.答案：答案：(，5)(5，)14若不等式若不等式 x2(a1)xa0 的解集是的解集是4，3的子集的子集，则则 a的取值范围是的取值范围是_解析解析：原不等式即原不等式即(xa)(x1)0，当当 a1 时时，不等式的解集为不等式的解集为a，1，此时只要此时只要 a4 即可即可，即即4a1 时时，不等式的解集为不等式的解集为1，a，此时此时只要只要 a3 即可即可，即即 1a3.综上可得综上可得4a3.答案：答案：4，315设设 a，b 为正数为正数，且且 ab1，则则12a1b的最小值是的最小值是_解析：解析：因为因为12a1b12a1b (ab)121abb2a32 2.答案：答案：32 216某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物 400 吨吨，每次都购买每次都购买 x 吨吨，运费运费为为4 万元万元/次次，一年的总存储费用为一年的总存储费用为 4x 万元万元，要使一年的总运费与总存要使一年的总运费与总存储费用之和最小储费用之和最小，则则 x_吨吨解析解析：该公司一年购买某种货物该公司一年购买某种货物 400 吨吨，每次都购买每次都购买 x 吨吨，则需则需要购买要购买400 x次次，运费为运费为 4 万元万元/年年，一年的总存储一年的总存储费用为费用为 4x 万元万元，一一年的总运费与总存储费用之和为年的总运费与总存储费用之和为400 x44x万元万元，400 x44x160，当当1 600 x4x，即即 x20 吨时吨时，一年的总运费与总存储费用一年的总运费与总存储费用之和最小之和最小答案：答案：20三三、解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出必要的文字解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10 分分)(1)已知正数已知正数 a，b 满足满足 ab1，求证：求证：a2b212；(2)设设 a、b、c 为为ABC 的三条边的三条边，求证：求证：a2b2c20，则则 abc0，bac0，cab0.平方得：平方得：a2b2c22bc，b2a2c22ac，c2a2b22ab，三式相加得：三式相加得：0a2b2c22bc2ac2ab.所以所以 2ab2bc2aca2b2c2，即即 a2b2c22(abbcca)18(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知 lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求求 xy 的最小值；的最小值；(2)求求 xy 的最小值的最小值解：解：由由 lg(3x)lg ylg(xy1)，得得x0，y0，3xyxy1.(1)因为因为 x0，y0，所以所以 3xyxy12 xy1.所所以以 3xy2 xy10.即即 3( xy)22 xy10.所以所以(3 xy1)( xy1)0.所以所以 xy1，所以所以 xy1.当且仅当当且仅当 xy1 时时，等号成立等号成立所以所以 xy 的最小值为的最小值为 1.(2)因为因为 x0，y0，所以所以 xy13xy3xy22.所以所以 3(xy)24(xy)40.所以所以3(xy)2(xy)20.所以所以 xy2.当且仅当当且仅当 xy1 时取等号时取等号所以所以 xy 的最小值为的最小值为 2.19(本小题满分本小题满分 12 分分)徐州、苏州两地相距徐州、苏州两地相距 500 千米千米，一辆货一辆货车从徐州行驶到苏州车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过规定速度不得超过 100 千米千米/时已知货车每时已知货车每小时的运输成本小时的运输成本(以元为单位以元为单位)由可变部分和固定部分组成由可变部分和固定部分组成：可变部分可变部分与速度与速度 v(千米千米/时时)的平方成正比的平方成正比，比例系数为比例系数为 0.01；固定部分为固定部分为 a 元元(a0)(1)把全程运输成本把全程运输成本 y(元元)表示为速度表示为速度 v(千米千米/时时)的函数的函数，并指出并指出这个函数的定义域；这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？汽车应以多大速度行驶？解解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，则则全程运输成本为全程运输成本为ya500v0.01v2500v500av5v，则则 y500av5v, v(0，100(2)依题意知依题意知 a，v 都为正数都为正数，则则500av5v2500av5v100 a，当且仅当当且仅当500av5a，即即 v10a时取等号时取等号若若 10 a100，即即 0a100，当当 v10a时时，全程运输成本全程运输成本 y最小最小若若 10 a100，即即 a100 时时，则当则当 v(0，100时时，可以证明函可以证明函数数 y500av5v 是减函数是减函数，即此时当即此时当 v100 时时，全程运输成本全程运输成本 y 最最小小综上所得综上所得，当当 0a100 时时，行驶速度应为行驶速度应为 v10a千米千米/时时，全程运输成本最小；全程运输成本最小；当当 a100 时时，行驶速度应为行驶速度应为 v100 千米千米/时时，全程运输成本最全程运输成本最小小20(本小题满分本小题满分 12 分分)某企业生产某企业生产 A，B 两种产品两种产品，生产每一吨生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品产品品种种劳动力劳动力/个个煤煤/吨吨电电/千千瓦瓦A 产品产品394B 产品产品1045已知生产每吨已知生产每吨 A 产品的利润是产品的利润是 7 万元万元，生产每吨生产每吨 B 产品利润产品利润是是12 万元万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个个，煤煤 360 吨吨，并并且供电局只能供电且供电局只能供电 200 千瓦千瓦， 试问该企业如何安排生产试问该企业如何安排生产， 才能获得最才能获得最大利润？大利润？解：解：设生产设生产 A，B 两种产品分别为两种产品分别为 x 吨吨，y 吨吨，利润为利润为 z 万元万元，依题意依题意，得得3x10y300，9x4y360，4x5y200，x0，y0.目标函数为目标函数为 z7x12y.作出可行域作出可行域，如图阴影所示如图阴影所示当直线当直线 7x12y0 向右上方平行移动时向右上方平行移动时，经过经过 M 时时 z 取得最大取得最大值值解方程组解方程组3x10y300，4x5y200，得得x20，y24.因此因此，点点 M 的坐标为的坐标为(20，24)所以该企业生产所以该企业生产 A，B 两种产品分别为两种产品分别为 20 吨和吨和 24 吨时吨时，才能获才能获得最大利润得最大利润21(本小题满分本小题满分 12 分分)某个集团公司下属的甲、乙两个企业某个集团公司下属的甲、乙两个企业在在2014 年年 1 月的产值都为月的产值都为 a 万元万元，甲企业每个月的产值与前一个月相甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等比增加的产值相等， 乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等数相等，到到 2015 年年 1 月两个企业的产值再次相等月两个企业的产值再次相等(1)试比较试比较 2014 年年 7 月甲月甲、 乙两个企业产值的大小乙两个企业产值的大小， 并说明理由并说明理由(2)甲企业为了提高产能甲企业为了提高产能，决定投入决定投入 3.2 万元买台仪器万元买台仪器，并且并且从从2015 年年 2 月月 1 日起投入使用从启用的第一天起连续使用日起投入使用从启用的第一天起连续使用，第第 n 天天的维修保养费为的维修保养费为n4910元元(nN*)， 求求前前n天这台仪器的日平均耗资天这台仪器的日平均耗资(含含仪器的购置费仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用的天数？并求日平均耗资最小时使用的天数？解：解：(1)设从设从 2014 年年 1 月到月到 2015 年年 1 月甲企业每个月的产值分月甲企业每个月的产值分别为别为 a1，a2，a3，a13，乙企业每个月的产值分别为乙企业每个月的产值分别为 b1，b2，b13.由题意由题意an成成等差数列等差数列，bn成等比数列成等比数列，所以所以 a712(a1a13)，b7 b1b13，因为因为 a1b1，a13b13，从而从而 a712(a1a13) a1a13 b1b13b7，所以到所以到 7 月份甲企业的产值比乙企业的产值要大月份甲企业的产值比乙企业的产值要大(2)设一共使用了设一共使用了 n 天天，n 天的平均耗资天的平均耗资P(n)32 000149102491034910n4910n32 00049n10n（n1）20n32 000nn209920232 000nn2099201 69920(元元)，当且仅当当且仅当32 000nn20时时，取得最小值取得最小值，此时此时 n800，即日平均耗即日平均耗资最小时使用了资最小时使用了 800 天天22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知 f(x)x22ax2(aR)，当当 x1，)时时，f(x)a 恒成立恒成立，求求 a 的取值范围的取值范围解：解：法一法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为此二次函数图象的对称轴为 xa.当当 a(，1)时时，f(x)在在1，)上单调递增上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使要使 f(x)a 恒成立恒成立，只需只需 f(x)mina，即即 2a3a，解得解得3a1；当当 a1，)时时，f(x)minf(a)2a2，由由 2a2a，解解得得1a1.综上所述综上所述，所求所求 a 的取值范围为的取值范围为3a1.法二法二：令：令 g(x)x22ax2a，由已知由已知，得得x22ax2a0 在在1，)上恒成立上恒成立，即即4a24(2a)0 或或0，a1，g（1）0.解得解得3a1.