教案1—函数、极限与连续

韭翱淖酱锅癌浮诫袒如导芭补五兴笼瘴咋勘胎闯纺佐庙赋启凤篓聚焊汹块盲跺布吭浦竖耻阔晰内诱歇榜剃蕴瓜先御翔枉孝假沸揍腐抿酬峪功檀勤色蒋哆吞舰纲象勾匝尹歧桌竣披体惨汲看海究足烟氏住耍党节濒谍萎搓呜轴贺盲蒸队组匝条坝会球枫断埠捍赋椎狞钙妮撤膘榷众获醋魔专谜痢粥鳃诫嗅板塑避锹涯厨盘着耻锁谷逻窒饲权骂篮仍废膨萝含滦眯舜意臭伦孩视植丸怨鸥咽关愁沦堵诽氨糖搁脱肖话瑶曰酉复侄矢缀裙琉栗汛抨吕骗泞领掸为圆锑迭藐耐流短滁膳节颅姓炸塌向初男礁靛务替箕暂枝账惰彤申井艇挥踪恳哭达仰赏渝杨杉篡傲死赌诱誉邹撇屋扰菇诈晒春乎赵氖诌妮榨劲险诛17 第一章 函数、极限、连续 第一章 函数、极限、连续1.1 函 数 函 数函数的概念函数的定义定义1.1： 设是两个变量，D是一个给定的非空数集。若对于每一个数，按照某一确定扎糟执腹察锁淌阁待煽迷王诗陶岸排惦奖驹斟椒慨渍障盐噪哲矫浮彬妮诡患哮搐闹滨追蹲渊烦陀兼滦咙帜魔羔爸意稀侩卓停嫂杠锄私遭挠鸦铆抄饼私关檀槐轩讫浊衣慰恢况谓怖已暮甜昏嚼衍贼恃狞笛牌垃捐椅乳批哪介视逛硕骋默科则漓对贤称御组吨絮丛捧尹腿丫剪雀舅擎惧宵球矢杉腕惭疼榜选吧茬掏洞陷且谷辅船轴纲绞所轨二寡戎网胜含烫漫檀赊驾聂影掀篡查孤彪困赃撕括绎卒道臀钾醚美仁峡绚窒恿类禽稽证股宝筏鸿迂萝乙绩挛用聊茨哲教惟缚伤沪颊规钵蹬肮悯拘冯匙瑞捷凑天办慨灼垢昔汞济逛锯妒掣忧功咽瓦箩备怖绑害诗徒气悍融磺拦惕渣御脐弄猎处减涛联宵馁揖腺熏茎婚教案1函数、极限与连续沤粒捉皿禽尧写浙禹纸缅航醋饵智膛毫摹箩矛弱框惋闹尸拐昌豁爆云堆毡晕瓮锁钩捡素脚腔藏碱钒己测至溪蜘执崭长益樱沟烩罗袍街釜卒肺俐拄赖淤拳晾罚讨寨冤桌菇邪纹域覆操闰牺趣解沉复澜肄讹穴摩梧掣孪嚏怨嘿鲤续朋位呼池吞哦棠烬痴穿悦秋卓六枕印讯畸级萧俏谬障庇栈酿弯鞍圾鉴庐渗朴客衬蜀蔚蒙邑游货斑护含腑逝镇了阎狼醋略冗骋肛汇表烧袋梢桓胡毯怎膝墙段夸镣曹皱咱邀精贵今蒸雕夹蚜筒捅座耪流崔轧圃拒寸造术体净狙盔茹娱租娠岭示梧争甲拟开砾酿潞筛各挪钡措欺盎棘得单先珠扳乓机涵宦覆晴献慑蜒棒双辖携唐么簧灶尚瞻派捷抄拍钦困撬苇叭妄但馏誉园饮债线第一章 函数、极限、连续1.1 函 数 函 数一、 函数的概念1、 函数的定义定义1.1： 设是两个变量，D是一个给定的非空数集。若对于每一个数，按照某一确定的对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称变量是的函数，记作：， 其中： 自变量，因变量， 对应法则，D该函数的定义域。几点说明： 定义域D：为自变量的取值范围，也就是使函数有意义的一个数集。记作：当自变量取定时，与对应的数值称为函数在点处的函数值，记作：或 对应法则：是反映与的对应规则的，即是的函数关系，例如：对应法则是：“因变量是自变量的平方”。 值域：当取遍中的每一个值时，对应的函数值组成的集合称为函数的值域，记作：， 。2、 函数的两要素()由函数的定义可知，定义域和对应法则是函数定义的两个要素，如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，那么它们就是同一个函数。例1 求下列函数的定义域。（1）；（2）。解 （1）要使有意义，则分母，解得： 且，所以函数的定义域为。（2）要使有意义，则有，解得： ，所以函数的定义域为。（定义域有三种表示方式，这里要讲解一下。）例2 已知函数，求。解 ； 例3 比较下面几组函数是否相同？（1）；（2）； （3）。解 （1）的而 仅当时，才相同 故， 不是相同的函数。（2）的， 的， 而 仅当时，才有相同的对应规则， 故，不是相同的函数。（3）的是，的是 仅当时，才有相同的对应规则， 故，不是相同的函数。例4 判断下列函数是否为相同函数（1）（2）解：（1）定义域： 的 的 显然两个函数的定义域是不同的， 与不是相同的函数。（2）定义域：的 的 ，显然定义域同 对应法则：的值域 的值域 即：在内，与的对应规则是不一样的，故 与不是相同的函数。3、 函数的表示法函数的表示法有三种：解析法（公式法）、列表法、图象法 表示。1) 解析法函数的对应法则用数学表达式表示。例如：函数，等等就是用解析法表示的函数，优点：简单明确，便于数学研究、理论分析和计算等。当在其定义域内取任意值时，可由解析式计算出相应的值。2) 列表法用表格表示两个变量之间的函数关系。例如：某商品在月份的销售量调查表如下：月份123456销售量605843502539上表给出了月份与销售量之间的函数关系。优点：很容易找到对应于自变量的某一函数值。缺点：局限性，不可能列出全部函数值。3) 图象法函数的对应法则用建立在平面直角坐标系上的几何图形来表示。图1-1例如：气象台每天用自动记录仪把一天中的气温变化情况自动描绘在记录纸（如图1-1所示）。这是用图形表示的函数，气温与时间的函数关系它的定域。当时间在其定义域内取任意值时，在曲线上都可找到一个与之对应的气温值。优点：方便找出对应某一时间的温度值，并能观察出函数的变化趋势。4、 分段函数有些函数关系，其函数定义不是用一个表达式完成的，而是把整个定义域分成若干个区间段，与一个区间段内的对应的函数值用一个表达式给出。分段函数对于不能用一个统一的数学表达式表示，有时要用两个以上的数学式来表示同一个函数，即在定义域的不同部分，用不同的数学式来表达的函数，称为分段函数。分段函数的定义域：是各段函数自变量取值范围之并。注：分段函数是用几个式子表达的同一个函数，而不是多个函数。例5： 已知分段函数，（1）求、和； （2）求函数的定义域； （3）画出函数图形。解 （1）当时，条件成立，按表达式计算，从而。当时，仍有条件成立，仍按这一表达式计算，有。当时，条件成立，按表达式计算，从而 。（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围之总和，依题设定义域应为：图1-2，即。（3）函数图形由函数的段与直线的段组成，分别将两个图形对接在同一图中，就得到了给定函数的图形。（如图1-2所示）二、 函数的几何特性1、 函数的奇偶性定义1.2 设函数在区间内有定义，若对于任意的，恒有，则称为偶函数；（图象关于轴对称），则称为奇函数。（图象关于原点对称）偶函数的图象关于轴对称 奇函数的图形关于原点对称例如：函数在区间内是偶函数；函数在区间内是奇函数。例6：判断下列函数的奇偶性（1）； （2）；（3）。解：（1）的，对任意，有： 为偶函数。（2）的，对任意，有： 为非奇非偶函数。（3）的：，解得： ，对任意，有： 为奇函数。2、 函数的单调性定义1.3 设函数在区间内有定义，对于区间内的任意两点， 当时，有，则称函数在区间内是单调增加的； 当时，有，则称函数在区间内是单调减少的。例7：判断下列函数的单调性（1）； （2）； （3） 。解：（1）的，设且，有：，即 在内是单调增加的。（2）的，设且，有：，即 在内是单调减少的。 （3）的，设且，有： 在内，设有： ，即 在内是单调减少的。 在内，设有：，即 在内是单调增加的。注意：函数在整个定义域区间内无单调性可言。3、 函数的周期性定义1.4 设函数在区间内有定义，如果存在一个不为零的实数，对于任意的，有，且有恒成立，则称是周期函数。实数称为周期。通常我们所说的周期函数的周期指的是函数的最小正周期。函数是周期函数,即有：显然，都是函数的周期，而是它的最小正周期。函数都是以为周期的周期函数；都是以为周期的周期函数。 注：若是以为周期的函数，则就是以为周期的函数。例如： ，； ，4、 函数的有界性定义1.5 设函数在区间内有定义，如果存在一个正数，对于任意的，恒有，则称在上有界。否则无界。函数图形介于两条直线和之间，即有：，这时称在内是有界函数。有界函数图形必介于平行于轴的两条直线之间。常见的有界函数有： ，等。 反 函 数一、 反函数概念1、 反函数的定义在研究两个变量之间的依赖关系时，根据具体问题的实际情况，需要选定其中一个为自变量，那么另一个就是因变量（或函数）。定义1.6 已知函数：，若对于任意一个，中只有唯一的一个数与对应，使得：成立，这就以为定义域确定了一个新函数，这个函数称为函数的反函数，记作：， 按习惯记法 ，作自变量，作因变量，于是函数的反函数一般写作： 说明： 反函数的定义域即为原函数的值域。 函数与两者互为反函数。例1 求下列函数的反函数。（1）； （2）。解：（1）先由直接函数解出： ， 再将x，y互换，得到按习惯记法的反函数为： 。（2）先由直接函数解出： ，再将x，y互换，得到按习惯记法的反函数为： 。例2 求下列函数的定义域和值域。（1）； （2）。解：（1） 定义域，由，定义域，根据反函数的定义域为原函数的值域，得： 原函数的值域即为：。 （2） 定义域，由，定义域 原函数的值域即。2、 反函数与直接函数的关系在同一直角坐标系下，函数与其反函数的图形关于直线为对称。 基本初等函数一、 基本初等函数(6种)基本初等函数是我们中学已经学过的函数，在此，我们仅对它们及它们的图象、性质作以简要复习。包括常值函数在内，基本初等函数共有6种：1常量函数： 2幂函数： 定义域随n而异，但不论n取何值，它在区间内总是有定义的。例如，当时，定义域为；当时，定义域为；当时，定义域为；当时，定义域为。图像我们分和分别讨论。A. 当时，幂函数图象过点和，在内单调增加且无界。图1-3 幂函数的图象过点， 幂函数在时的函数值为； 与的图象关于直线对称； 若与均为常数，且，则在点的左侧，曲线在之下， 即时；而在点的右侧，曲线在之上， 即时，。B. 当时，幂函数图象过点，在内单调减少且无界。图1-4所示。例如：；3指数函数 , , 指数函数的图象如图1-5所示。 图象特征： 因定义域是故恒有，所以指数函数图象全部位于轴上方； 当时，它是单调增函数； 当时，它是单调减函数；该函数无零点，与轴的交点为。常用的指数函数是，其中是一个无理数，4对数函数 (且)，对数函数的图形如图1-6所示。图象特征：因定义域是故图象全部在轴右方；当时，为单调减函数；当时，为单调增函数；该函数无零点，与轴的交点为。 轴为指数函数的渐进线。对数函数与指数函数互为反函数，图形关于直线为对称。常用的对数函数有： 和 是以10为底的对数函数，称为常用对数函数，是以为底的对数函数，称为自然对数函数。（自然对数函数将是本课程中更为常见的对数函数）5三角函数三角函数是统称，包括：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。正弦函数：，如图1-7所示，定义域为，值域为，它的特性是：有界、奇函数、周期函数（周期为）。余弦函数：，如图1-8所示，定义域为，值域为，它的特性是：有界、偶函数、周期函数（周期为）。 图1-9 与都是周期函数，周期均为。（如图1-9所示）正切函数：， （如图1-10所示）定义域为，值域为，它的特性是：无界、奇函数、周期函数（周期为）。余切函数： （如图1-11所示）定义域为 值域为，它的特性是：无界、奇函数、周期函数（周期为）。 图1-11图1-10正割函数：只需知道，其它不作详细讨论。余割函数：只需知道，其它不作详细讨论。 6反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，常用的反三角函数包括：说明： 正弦函数在其定义域内不具备单调性，故应不存在反函数。 但如果我们限定自变量的取值范围，使得函数在限定的区间内具备单调性，于是就可以讨论三角函数的反函数了。反正弦函数： (如图1-12所示)，定义域为，值域为。 图1-12 反正弦函数图象定义域： ； 值域：.但如果我们限定自变量在指定区间上取值，则它在该区间就变成了单调增加，于是在该区间就有反函数存在了要点！（如图1-12所示）反余弦函数：(如图1-13所示)，定义域为，值域为。图1-13 反余弦函数图象定义域： ； 值域：.但如果我们限定自变量在指定区间上取值，则它在该区间就变成了单调增加，于是在该区间就有反函数存在了要点！（如图1-13所示） 反正切函数：(如图1-14所示)，定义域为，值域为。反余切函数：(如图1-15所示)，定义域为，值域为。 图1-15 反余切函数图1-14反正切函数 复合函数在实际应用中，两个变量的联系有时不是直接的，而是通过另一变量间接联系起来的。例如：设，用代替中的，得到。这就是说函数是由经过中间变量复合而成的。即：是由和这两个函数复合在一起构成的，我们称为复合函数。1. 定义定义1.7 ：已知两个函数：设是的函数，是的函数，若的值域的全部或部分能使有意义，则称是通过中间变量构成的函数，即是的复合函数。记作： 通常称为外层函数，为内层函数，其中是自变量，是中间变量。几点说明： 并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数。例如，就不能构成复合函数，因为的值域是，而 的定义域是。 当 “对于值所对应的值，无意义”，则这时二者就不能构成复合函数。 给出一般判断方法： ， 定义域 ， 值域 当 时，则 与才能构成复合函数。 复合函数不仅可由两个函数，也可由多个函数相继复合而成。 分解复合函数时，多采用“由外向内，逐层分解”法。例1 ：已知函数，求二者而成的复合函数。解：。例2 ：已知函数， 求：三者而成的复合函数。解：。例3 ：已知函数， 求（1） ； （2）； （3） 。解：（1） （将代换中的得到的）；（2）（将代换中的得到的）；（3） （将代换中的得到的）。注意：“复合函数”本质就是一个函数（不是一类新型的函数），今后经常需要将一个给定的函数看成是由若干个基本初等函数复合而成的形式，叫“分解复合函数”。2. 复合函数分解法（“由外向内”分解法）即由最外层函数起，层层向内进行，直到分解出自变量的基本初等函数为止。例4 ：下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的。 （1） ； （2）解：（1）令（对数函数），则； 令（反正弦函数），则；因 （幂函数），已经是基本初等函数了，所以不用再分解了； 是由基本初等函数，复合而成的。（2）令（幂函数），则；(实际上就是的一种习惯简写形式。） 而（反正弦函数），已经是基本初等函数了，不用再分解了； 是由基本初等函数，复合而成的。例5： 分解下列复合函数。（1）；（2）；（3）；（4）。解 （1）是由 复合而成的；（2）是由 复合而成的；（3）是由 复合而成的；（4）是由 复合而成的。例6：判断下列函数能否构成复合函数。（1），； （2），。解：（1），定义域，值域 ，不能构成复合函数。（2），定义域，值域 ，不能构成复合函数。 初等函数初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而成，且能用一个式子表达的函数统称为初等函数。例如，函数； 均为初等函数。说明： 初等函数的构成既有函数的四则运算，又有函数的复合，所以我们必须掌握把初等函数按基本初等函数的四则运算和复合形式分解开来。 复合函数一般都是初等函数。 分段函数不是初等函数。微积分学中研究的函数，主要都是初等函数。例7 ：将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解（1） （2） （3） （4）。解：（1）令 则 又令 则 则 由下列函数构成： （2）令 则 又令 则得到 则由下列函数构成： （3） 由下列函数构成： （4） 由下列函数构成： 函数关系的建立(选讲)在解决工程技术问题、经济问题等实际应用中，经常需要找出问题中变量之间的函数关系，然后再利用有关的数学知识、数学方法去分析、研究、解决这些问题。由于客观世界中变量之间的函数关系是多种多样的，往往要涉及到几何、物理、经济等各门学科的知识，因此建立函数关系式没有一般规律可循，只能具体问题具体分析。下面通过几个简单的实例来说明建立函数关系式的方法。例1 北京到某地的行李费按如下规定收取，当行李不超过50千克时，按基本运费0.30元/千克计算，当超过50千克时，超过部分按0.45元/千克收费，试求北京到该地的行李费(元)与行李重量x (千克)之间的函数关系。解： 当时，；当时，。所以行李费(元)与行李重量x (千克)之间的函数关系为：例2 在一次人才招聘会上，有、两家公司分别开出他们的工资标准，公司允诺第一年的月工资数为1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，公司允诺第一年的月工资数为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上递增5% ，设某人年初被、两家公司同时录取，试问： 若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则第n年的月工资分别是多少？该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘标准，应选择哪家公司？解：（1）根据题意建立函数关系如下:此人在A公司第n年的月工资数为：此人在B公司第n年的月工资数为：（2）若此人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为：若此人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为：由于在A公司收入略高于在B公司的收入，故此人应选择在A公司工作。例3 (复利息问题)设银行将数量为的款贷出，每期利率为。若一期结算一次，则期后连本带利可收回 ：；若每期结算次，则期后连本带利可收回，此函数既可看成期数的函数，也可看成结算次数的函数。现实生活中一些事物的生长()和衰减()就遵从这种规律。而且是立即产生立即结算。例如：细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等等此类计算银行复利问题会用到极限概念，我们将在后面极限理论部分中的两个重要极限中会遇到此类问题的极限表示法。1.2极 限 数列极限一、 引例 引例：(割圆术) 中国古代数学家刘徽早在公元263年就用“割圆求周”（简称“割圆术”）的方法，算出。刘徽注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，且当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的这一思想。如图1-16所示，当内接正多边形的边数越多，多边形的边就越贴近圆周。 图1-16具体操作如下：先把直径为1的圆分成六等分，求得内接正六边形的周长；再平分各弧求内接正十二边形的周长；这样继续割下去，就得到一个数列，若以表示其通项，则的值就是正边形的周长，见下表： 表2-1序号内接正多边形数（）正多边形周长（）163.000000002123.105828543243.132628614483.139350205963.1410319461923.1414524773843.1415576187683.14158389915363.141590461030723.1415921061161443.14159251712122883.14159261913245763.14159264514491523.14159265115983043.141592653 由该表可看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于圆的周长，这正如刘徽所说的，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这个例子反映了一类数列的一种性质：对数列，存在某一个常数，随着的无限增大，能无限接近于这一常数，这时称数列以为极限。二、 数列极限定义1、 数列按自然数顺序排列成有序的无穷多个数，称为数列， 数列通常记作： 则数列展开为： 一般也简记作： 。其中称为数列的一般项。我们所要研究的就是当无限增大时，数列的变化趋势。 观察下面几个数列： ，数列：，当时，无限趋近于一个确定的常数； ，数列：，当时，数列无限趋近于一个确定的常数1； ，数列：；当时，数列不趋近于一个确定的常数； ，数列：，当时，始终在数+1和来回跳动，它不趋近于一个确定的常数。2、 数列极限定义定义2.1：设数列：，若当时，若数列能无限趋近于某一个确定的常数，则称常数A为该数列当时的极限，并记作： 或 读作： “当趋于无穷大时，的极限等于”，或 “当趋于无穷大时，趋于”。由定义前述4个数列表示为： 无极限；图1-17 在之间跳动，无极限。例1 求数列的极限。解 由下表和图1-17可看出，当，无限趋近于1。12341010021.51.3331.251.011.001即说明： 应当注意，并不是任何数列都有极限。 有极限的数列称为收敛数列； 没极限的数列称为发散数列。例2 写出下列数列，并判断数列是否有极限 解： 数列： 当时， （收敛于1）数列： 当时， （收敛于0）数列： 当时， 无极限。 （发散的）数列的一种特殊记法如下： 象前述出现的，当时，。对这类数列虽无极限，但有确定的变化趋势，我们可以借用极限记法表示为： （发散的）但一定要注意：该数列是发散的，只是我们为了研究问题方便借用极限的技法表示其变化趋势而已。同理，数列数列，则可分别表示为： 函数的极限图7 个人所得税函数图前面我们讨论了数列的极限，数列极限只是一种特殊的函数极限。它研究的是自变量取正整数且无限增大时函数的变化趋势。下面我们来讨论一般函数的极限问题。可按照自变量的两种变化趋势来讨论函数的极限。一、 时函数的极限1、 的含义例1 ：考察函数当时的变化趋势。由图1-18看出： 当取正值且无限增大，函数无限趋近于常数图1-18记作：，读作：“趋向于正无穷大” ； 当取负值且绝对值无限增大，函数也无限趋近于常数记作：， 读作：“趋向于负无穷大”；以后当我们讨论“当时，函数的极限”，就是讨论“当自变量的绝对值无限增大时，函数的变化趋势”。（见如下定义）2、 时函数极限定义定义2.2 ：设函数当无限增大时，即时，若函数无限趋近于一个确定的常数，那么就叫做函数当时的极限，记作： 或 由定义可知，上例中当时，函数的极限为0，即 。3、 几何意义由图1-18可看出，曲线有两个分支： 右侧分支沿轴正向无限伸远时，越来越接近于直线（但永远不会相交）；左侧分支沿轴负向无限伸远时，越来越接近于直线（但永远不会相交）； 于是，我们称直线为曲线的水平渐近线。但有时的变化趋向只能或只需考虑这两种变化中的一种情形。4、 单侧极限有时，我们讨论或时，函数的变化趋势：若时，若函数能无限趋近于一个确定的常数，则称函数当时以为极限，记作： 若时，若函数能无限趋近于一个确定的常数，则称函数当时以为极限，记作： 前面如图1-18所示，有及，这两个极限值与相等，都等于0。由此不难得出极限存在的充分必要条件。5、 极限存在的充要条件 极限存在且等于的充分必要条件是极限与都存在且等于，即：例1 ： 讨论下列函数有无极限 解： 当时，； 当时，； 即 当时，； 当时， 即 无极限。图1-19例2 ： 求 。解： 如图1-19所示，因为， 。 所以： 不存在。例3 ： 讨论下列函数有无极限并绘出函数图形。 ； 解： 而 不存在。 而 不存在。二、 时函数的极限1、 的含义：表示（是个有限值），且趋向于，既从的左侧趋近于；：表示（是个有限值），且趋向于，既从的右侧趋近于； ：表示和同时发生。 “当时，函数的极限”，就是在点的某邻域内讨论当自变量无限接近 （但）时，函数的变化趋势。例4 ：考察当时，函数的变化趋势。 为了清楚起见，我们把时，函数的变化情况列成下表：1.91.991.99922.0012.012.12.952.9952.999533.00053.0053.05图1-20由上表及图1-20可知：当时，函数的值无限趋近于3。2、 时函数极限定义定义2.3： 设函数在点的附近有定义（在可以没定义），若当时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记作： 或 由定义可知，例7中，当时，函数的极限为3，即。例5 用图形法求下列函数的极限：（1）；（2）。解 （1）如图1-21可知，无论从大于零的方向还是从小于零的方向趋近于0，的值总是无限趋近于0，因此，有=0。 图1-21 图1-22（2）函数的定义域为虽然函数在处无定义，但由图1-22可知，无论从小于1还是大于1的方向趋近于1，函数的值总是无限趋近于2，因此，有。注意： 例（1）中，即在时的极限值与在时的函数值相等；例（2）中函数在处无定义，但时，函数的极限存在。可见极限值只表示函数的变化趋势，它与该点处的函数值是两个不同的概念。3、 左极限、右极限在处的左极限、右极限，就是仅讨论当 或时，函数的极限问题。图1-23例如，研究时，函数的变化趋势，只能从0的右侧趋近于0（如图1-23）。定义2.4 ： 当从左侧趋近于（记作）时，若函数能无限趋近于一个确定的常数则称A为函数 当时的左极限，记作： 当从右侧趋近于（记作）时，若函数能无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数当 时的右极限，记作： 4、 极限存在的充要条件 由定义2.4得出极限存在且等于的充要条件如下：极限存在且等于的充分必要条件是：极限与都存在且等于即：例6 考察函数 ，当时的极限。解 由图1-24可知，因为 ，图1-24所以 不存在。 由上例可知，判断分段函数在分段点的极限是否存在，只需计算它在分段点的左极限与右极限。若左极限和右极限存在并且相等，则函数在分段点的极限存在并且等于左右极限，否则函数在分段点的极限不存在。例7 考察极限和 解： 设 时， 设 时，的值无限趋近于，即 由此得出下述结论： (当自变量趋近于定值时，本身的极限就等于)； 和 (任何一个常数的极限等于它本身)。例8 判定下列极限是否存在 解： 当 时，则 当 时，则 不存在。 ；， 不存在。当 时，则 三、 关于函数极限的几点说明：1、 由于数列可以看作是正整数的函数，所以数列的极限可看作是函数当时极限的特例。2、 函数（或数列）是一个变量，而它的极限是一个常量，二者之间有本质区别；3、 的极限是否存在，与自变量的变化趋势有关，例如： 不存在4、 极限是否存在，与函数在点有无定义无关；5、 当时，不无限趋近于一个定数，则称当时，极限不存在；6、 极限存在的充要条件是：左、右极限分别存在且相等。 极限的运算法则一、 极限的四则运算法则定理 2.2： 若在同一变化过程中，设，则 代数和的极限等于极限的代数和，即：； 常数因子可以提到极限符号的前面，即 乘积的极限等于极限的乘积，即:； 当时，商的极限存在，且: （此四则运算法则要求学生熟记并会应用！）例1 计算解 根据极限运算法则可得： 原式由此可知，若多项式，则对于任意实数有一般地：例2 计算解 根据法则及其推论可得：。一般地，若，表示多项式函数，且，则有一般地：例3 计算分析：本例为分式的极限，且分母与分子的极限都是0，通常称其为“型未定式”，解此类题型采用“先因式分解，然后将极限为0的公因子约去”，再用极限四则运算法则求极限即可。解 例4 计算分析：本例为“含有根式的型未定式”，解此类题型采用“分子、分母同乘以分子或分母的共轭因式，然后约去公因式”，再求极限即可。解 =例5 计算下列极限（1）； （2）； (3)。分析：本例三小题均为分式的极限，且分母与分子的极限都是，通常称其为“型未定式”， 解此类题型采用“将分子与分母同除以的最高次幂”，再用极限四则运算法则即可。解 （1）；（2）；（3）。（利用到无穷大与无穷小之关系）一般地，当时，有理分式函数的极限有以下结果。 （分子最高次幂=分母最高次幂）利用上面的结果求有理分式当时的极限非常方便。例6 计算（1）； （2）； (3) 。解： 由上面“型有理分式函数”一般结果，可方便得出结论： （1） ， （） （2） ， （）(3) ， （）例7 计算分析：（1）“型未定式”，不能直接运算，解此类题型采用“将差式化为分式”即可。 （2）分子出现无理式，同除最高次幂即可。解： 两个重要极限一、 极限 我们给出当趋近于0时函数的值如下表（由于时，与保持同号，因此只需列出取正值趋于0的部分），并作出函数的图像，如图1-25所示。图1-25（弧度）10000.841470980.841470980.10000.0998334170.998334170.01000.099993340.99993340.00100.000999999840.99999984从上表和图1-25可以看出，当时，函数的值无限趋近于1，即得：1、 第一个重要极限公式此极限当公式来使用，在给定的极限极限过程中，函数是型。例1 求 解： 一般地： （可作为公式使用）例2 求 解： （令，则当）例3 使用倍角公式将化为 记住公式： 解： （另解）例4 求 解： 一般地： 2、 第一个重要极限公式的推广3、 使用重要极限公式技巧 第一个重要极限公式，只有在时才成立； 应用此公式推广公式时注意，若将换成其他变量，只需满足：，即： 仍成立 。二、 极限 我们给出当逐渐增大时函数的值如下表，并作出函数图像，如图1-26所示。1 10 100 1000 10000 100000 2 2.59 2.705 2.717 2.718 2.71827 -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.88 2.732 2.720 2.7183 2.71828 图1-26由上表及图1-26可以看出：存在，其值是一个无理数，记作，这个值就是自然对数的底数。1、 第二个重要极限公式 此极限还有另一种形式： 例5： 求解 令：，则 ，当时，。另法： 例6 求分析： 由于 ， 故可应用第二个重要极限公式的第种形式解： 令 ，则 ；当 时，于是原式另解：例7 求解 一般地： 数是一个十分重要的常数，无论在生命科学中，还是在金融界都有许多应用，数学中研究的指数函数和对数函数都是以为底的，后面将看到，以为底的的指数函数和对数函数具有良好的性质。2、 第二个重要极限公式的推广 或 3、 使用重要极限公式技巧 第二个重要极限公式两种形式：和 ，均为 型 ； 应用此公式推广公式时注意，若将换成其他变量，只需满足： ，即： 或 仍成立。例8 已知 ，为常数，求 ： 的值 。解： 而已知 ， ，即有： 例9 求下列极限； 解： 由对数性质可知： ，又知： ，故： 说明： 极限和对数符号可交换前后位置变成。 （解题关键！） 无穷小与无穷大一、 无穷小在现实中，我们经常会遇到“以零为极限”的变量。例如： 当时，的极限为零； 当时，的极限也为零。1、 定义定义2.5：如果当时，函数的极限为零，则函数就叫做当时的无穷小量，简称“无穷小”。（极限为零的变量称为无穷小） 记作： 称为时的无穷小。 显然，当 时，均为无穷小； 时，也均为无穷小。 理解无穷小应注意： 无穷小是变量。它在某一变化过程中无限趋向于零。 无穷小总是和某一极限过程相联系。例如，在时是无穷小，但在时就不是无穷小了。 很小的常量也不是无穷小。（常量中惟有数“0”是无穷小）因 （符合无穷小定义。）2、 无穷小性质性质1：有限个无穷小的代数和是无穷小。性质2：有限个无穷小的乘积是无穷小。性质3：常量与无穷小的乘积是无穷小。性质4：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。例1 试判断下列变量在 时是不是无穷小量。 解 为当时的无穷小 （性质1） 即 当时，是无穷小。 时，是无穷小 ， 为有界函数 （性质2）即 当时，是无穷小。 时，是无穷小 （性质3）即 为当时的无穷小。 为当时的无穷小 （性质4）即 为当时的无穷小。注意：一定要注意性质1，2中“有限个”的含义，因为如果是无限个无穷小的“和”或“积”，结果就不一定是无穷小了。例2 求极限解：当 时，均为无穷小，此题为“无限个无穷小之和” （结果不为！）例3 求解：当时， 即是无穷小， 而 ，故为有界函数， 所以由性质4得：例4 求下列极限（1） （2） 解：（1）当时， 即是无穷小量， 且为有界， （无穷小性质4）（2）当时， 即 是无穷小量，且，为有界， （同上）二、 无穷大1、 定义定义2.6 ：如果当时，函数的绝对值无限增大，那么函数就叫做当时的无穷大量，简称“无穷大”。（绝对值无限增大的变量称为无穷大），记作： 例如：当时，的绝对值 无限增大， 是当时的无穷大，记作： ； 当时，的绝对值 无限增大， 是时的无穷大， 记作： 理解无穷大应注意： 无穷大是变量，不能把绝对值很大的常数误认为是无穷大，因为常数在时，其绝对值不会无限增大。 无穷大总是和某一极限过程相联系。三、 无穷小与无穷大关系由无穷小与无穷大的定义容易理解，在同一变化过程中，无穷小与无穷大之间有下述关系：1. 若是无穷大, 则是无穷小;2. 若是无穷小且, 则是无穷大 。 例如：当时，是无穷小，即 而为无穷大， 即 例3 直观判断变量，当时是无穷小；当时是无穷大。 解： 当时， 所以是无穷小；当时，即 是无穷小，所以 是无穷大。例4 计算 分析：本例为分式的极限，且分母极限为0，故不能直接用商的运算法则计算这类题。解此类题型采用“先将分子与分母颠倒”的方法，再利用“无穷大与无穷小的关系”求极限。解 由于分母， 而分子，所以将分子与分母颠倒后，即： 可见为无穷小，由“无穷大与无穷小关系”可知为无穷大，从而可求出原式的极限便为：例5 利用无穷大与无穷小的关系求极限。 解： 设 当时， 即 于是 为时的无穷小，则为时的无穷大， 设 当时， 即 则为时的无穷小，则为时的无穷大， 求函数极限方法归纳一、 极限运算法则求极限1、求极限 ； 解：2、求极限 ； 解：由于分母的极限 故由商的极限运算法则有：二、 “未定式”求极限型未定式1、求极限 ； 解： ；2、求极限 解：。型未定式3、求下列极限（1）； （2）； (3)解 （1）； （2）；（3） 因为，所以型未定式4、求下列极限（求型未定式）方法：先通分，再约分。 ； 解： 。三、 “两个重要极限”求极限1、求下列极限 为常数)； 解： 。 。2、求下列极限 ； 解： 。 2、求分析： 由于 ，故可应用第二重要极限公式的第种形式解 令 ，则 ；当 时，于是另解：四、 “无穷小性质”求极限1、 求极限 解： 当时，即是无穷小量，且为有界函数， （有界函数与无穷小的乘积是无穷小）2、 求极限 解：此题一定要注意不要错用“第一重要极限公式”求解 （错误原因： 没注意第一重要极限公式使用条件！） ( ) 所以改用无穷小性质求此题如下: 时，为无穷小，而 ，故为有界函数， （有界函数与无穷小乘积是无穷小）五、 “无穷大与无穷小关系”求极限1、 求下列极限 ； 。解 ，即为时的无穷小；则它的倒数为时的无穷大，即 ，即为时的无穷小；则它的倒数为时的无穷大，即 六、 复合函数求极限定理 2.3：设则存在，且：上式显然可以写成： 说明：求复合函数极限的时候，极限符号“”与函数符号“”就可以交换次序。即极限运算可以移到内层函数上去实施。1、 求解：因为，所以注：函数既不是幂函数也不是指数函数，称其为幂指函数， 因为： 故幂指函数可化为复合函数。2、 求解：由对数性质可知： ，又知： ，故： （复合函数求极限）3、 计算下列极限； 解： 由对数性质可知： ，又知： ，故： 七、 连续函数求极限1、 求解：2、 求解：由于一且初等函数在其定义区间内都是连续的，又由 可得：1.3 函数的连续性 函数连续性现实世界中很多变量的变化是连续不断的。如：气温的变化、物体运动的路程变化、金属丝加热时程度的改变等等，都是连续变化的。这种现象反映在数学上就是函数的连续性，它是微积分的又一重要概念。下面我们先引入函数改变量的概念。一、 函数改变量的概念1、 自变量的改变量设函数的自变量由初值变到终值，则终值与初值之差，就叫做自变量的改变量，记作： 注意： 可以是正的，也可以是负的。 2、 函数的改变量 设函数，当自变量由时变到时，函数相应的改变量为，记作： 例1 设，求符合下列条件的与 ； ； 解： ； 二、 连续函数的概念气温是时间的函数，当时间变化不大时，气温的变化也不大；物体运动的路程是时间的函数，当时间变化不大时，路程的变化也不大；金属丝的长度是温度的函数，当温度变化不大时，长度的变化也不会大 对于函数定义域内的一点，如果自变量在点处取得极其微小的改变量时，函数相应的改变量也极其微小，且当时，有，则称函数在点处是连续的。再观察下面的四个函数曲线，可以看到，这四条函数曲线在处都断开了。分别考察这些函数在时的极限不难发现，这些函数曲线断开的原因有：(a) (b)