第(16)次作业答案——二次型.

班级学号姓名第五章相似矩阵及二次型，作业第(16)次 第五节二次型及其标准形第七节正定二次型1写出二次型的矩阵A,并求二次型的秩f(x21,x2,x3)=x21-5x3+2x1x2+6x1x3 ?解:二次型的矩阵 A= 113?100? 30-5? 113? 10A= 100? 0? 013? 30-5? ? 00-5?故二次型的矩阵的秩为R(A)=32 若二次型 f(x=2x2221,x2,x3)1+2x2-6x1x2+x3，(1) 写出二次型的矩阵A；(2)写出一个正交矩阵P,化矩阵A为对角阵；(3)求一个正交变换x=Qy，化二次型为标准形.? 2-30?解：(1)A= -320?001?(2) 由A-入E=(可得 入仁1入2=1,入3=5解(A-入E)x=0可得 入仁1 p仁(0,0,1)T5入 T2=1, p2=(1,1,0),入 3=5 p3=(-1,1,0)T 取? 0 A =?1-1?,P=,? 0? 5? 100?P-1AP=A ? 0 取 Q=P=0? ?,则Q为正交阵，100?满足Q-1AQS =QTAQ。令 x=Qy，贝Uf(T1x,2x,xxAx)=yTy A y=2y22-5y。 +33已知二次型f=5x2+5x2x212-21x2+cx3+6x1x3-6x2x3的秩为2.(1)求参数c及此二次型矩阵的特征值；指出方程f=1表示何种二次曲面 ？5-13? -15-解：(1)A= -15-3? 3? 023-3c?，? ? 00c-3?-1? R(A)=2，故 c=3。由 A-入 E=0S得入仁0 入 2=4 入 3=9(3) 由特征值可知，A与对角阵diag (0,4, 9) 相似，即存在正交阵P,当x=Py时，f(x,x2212,x3)=4y2+9y3所以f=1即4y222+9y3=1，表示一个椭圆。4判定下列二次型的正定性(1) f=-2x2-6x22 12+2x1x2-4x3+2x1x3(2) f=x2x221+22+2x1x2+3x3-4x2x3?-1?解：(1)A= 211-60?中，a11=-20，21221-6-2111-60=-380,? 0-23? a11a12a=1=10，A=-10，故既不21a222是正定矩阵也不是负定矩阵。5 设 f=x2221+x2+2ax1x2+5x3-2x1x3+4x2x3 为正定二次型，求 a. ?a-1?解：A=1 a12?中，顺序主子式均正，则？-125? a11a12aaa=2122a=1-a20? -1a0? -4a0 -1255故-45a06设A为正定矩阵，证明AT,A-1,A*也是正定矩阵.证明：A为正定矩阵则A特征值入均正。AT的特征值与A相同，故均正，AT为正定矩阵。A-1的特征值为1入均正，A-1为正定矩阵。iA*=AA-1,特征值为A入,A为特征值之积，为正；I故A入符号为正，A*为正定矩阵。I