高等数学向量代数与空间解析几何复习试题

.第五章向量代数与空间解析几何5.1 向量既有大小又有方向的量表示 ： AB 或 a（几何表示）向量的大小称为向量的模，记作 | AB|、 |a|、 | a |1 方 向 余 弦 ： (cos , cos ,cos )x , y,zr （ x ， y ， z ） ,|r| r | | r | |r |= x2y 2z22 单位向量a(cos, cos,cos )模为 1 的向量 。3 模| a |x2y2z2a a4 向量加法（减法） ab( x1x2 , y 1y2 , z 1 z2 )5aba | |b |cosx xy yzz |121221abab 0（ ab b a）6 叉积 、外积ijk|a b |=| a | b |sin=axayazbxbybza/ bx1y1z 1a b 0 .( a b= - b a )y2x2z27 数乘 ： k aka(kx, ky,kz)例 1 | a |2,| b |1， a 与 b 夹角为，求 | ab | 。3解 | a b |(a b) ( a b )a a 2 a bb b| a | 22 | a | b | cos| b | 2222 2 1 cos173.例 2 设 (ab) c2 ，求 ( ab)(bc) ( ca) 。解根据向量的运算法则( ab)(bc)(ca)( ab)b(ab)c(ca)( ab)b ( ca)( ab)c (ca)(ab)(ca)( ab)ca(ab) c(ac) a(bc)a(ab) c(ab) c2(ab)c4例 3设向量 aijk ， b3i 4 j5k ， x ab ，为实数 ，试证：当模 x最小时，向量 x 必须垂直于向量b 。解 由 aijk ， b3i4 j5k 得 | a | 23,| b | 250 ， a b12，于是| x |2(ab)2| a |22 | b | 2 2 a b232450 250632525由此可知 ，当6 时，模 | x | 最小，因而 x a6 b7 ,1 ,52525252525故x b7 ,1 ,5(3, 4,5)0252525所以 ，当模 x 最小时，向量 x 必须垂直于向量b。8 向量的投影Prjab |b|cosbaa b|a |Prjab为向量在向量上的投影 。.5.2 空间平面与直线空间平面点法式方程 ：与定点 p 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 连线和非零向量n （ a ， b ，c ）垂直的点的集合。a( xx0 )b( yy0 )c( zz0 )0 。平面的一般方程： AxByCzD0 ， n（ A， B， C）截距式方程 ： xyz1abcxx1yy1zz1三点式方程x2x1y2y1z2z10x3x1y3y1z3z1例 1 求过 O(0,0,0) ，A(1,3,2) ， B(2,1, 1) 点的平面方程ijk解（ 1）点法式n OA OB 132( 1,5, 7)。211则平面方程为(x 0)5( y0)7( z0)0 ，即 x5 y7z0 。解（ 2 ）设平面方程为AxByCzD0 ，代入 O(0,0,0) 得 D0 。代入 A(1,3,2)， B(2,A3B2C05A,C7 A1,1)得解之得 B2ABC0代入方程消去A，得方程为x5 y7z0例 2 一平面通过点(1,2,3) ，它在正x 轴，正 y 轴上的截距相等，问此平面在三坐标面上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。xyz，由于点 (1,2,3)在此平面上，故解 依题意设所求平面的截距式方程为a1有 1ac231，解之 c3a 。aaca3四面体之体积V1 a a3a1 a 3， V1 3a 2 (a 3) a 3，6a 3 2 a 32( a 3) 2.令 V 0得 a9 , c 9。2例 3求过点 A(1,1,1)， B(2, 2,2) 和 C(1,1,2) 三点的平面方程 。x1 y1 z1解 由三点式方程3330023故所求方程为3( x1)9( y1)6( z1)0 ，即 x 3y2z0空间直线方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为v (l , m, n) ，则直线的对称式方程为x x0y y 0z z 0lmn一般式方程：A1x B1 y C 1 z D 10A2 x B 2 y C 2 z D 20xx0mt,参数式方程： yy0nt,zz0pt .例 1求过点 (1,1,2)点，且与直线y3x1平行的直线方程z2x5xx解 将直线写成y3x1 ，以 x 为参数 ，则 v(1,3,2)，故直线方程为z2x5x1 y1z2132例2求 过 点 p0( 1,2, 3)且平行于平面: 6x2y 3z 10，又与直线x 1y1z 3相交的直线方程。325解 设 Q (x, y, z)为两直线的交点，则/,0 即P0QP0Q n,6(x 1)2( y2)3( z3)0 ，（1）.又Q在L上：x 1y 1 z 3（2）325令（ 2） = t 解得 x, y,z 代入 (1) 解得 t0 ，在反代入（ 2）得 Q 的坐标为(1, 1,3) ，得直线为x1y 2z32365.3 点、平面、直线的位置关系1 点到平面的距离点 P0 ( x0 , y0 z0 ) 到平面 Ax+By+ Cz+ D= 0 得距离公式为：| Ax 0 By 0Cz0 D |d =B2C 2A2例 1求平面 x 2 y 2 z60 和平面 4xy8z80 的交角平分面方程 。平分面上的点到两面之间距离相等，故 | x2 y2z6 | 4xy 8z8 |12222421282整理得 ： x 7 y14x260 或 7 x 5y2z100例 2求平行于平面xyz9 且与球面 x 2y2z24相切的平面方程。解 由于所求平面与xyz9 平行 ，故可设其为: xy z D 0 。因为与球面 x 2y2z24 相切，所以球心(0,0,0)到的距离|000D|2，解之， D23 ，故所求平面方程为121212x y z 2 3 0 和 x y z 2 302 点到直线的距离点 M1 到直线 L 的距离为d| M 0M 1 s | s |例 3 求点 M 0(3,4,4)到直线x 4y 5z 2 的距离 。221.解M 0M(1,9, 2) ， | s |22 ( 2) 2123 ，于是所求距离| M 0 M s | 5i 5 j 20k |511162d5| s |333. 两平面之间的夹角平面1 和平面2 的夹角 ,cos| A1A2 B1B2 C1C2 |222222BCBCA111A2221 、2互相垂直相当于A 1 A2B1B2C1C2 0；1 、2 互相平行或重合相当于AA1B1C1.2B2C24 两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.直线 L1 和 L2 的夹角cos=| m1m21n21p2|np(5)m12n1212m222p22n2p两直线 L1 、 L2 互相垂直相当于 m 1m21 2 p1 p2 0 ；n n两直线 L1 、 L2 互相平行或重合相当于m1n1p1 .m2n2p25. 直线与平面的夹角直线 s =( m ， n， p )，平面 n （ A ， B ， C ）夹角为sin | AmMn Cp |A2B2C 2 m 2n2p2直线垂直于平相当于ABC；mnp直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.6 平面束过直线 LA1 xB1 yC1zD10,(11) 的平面束方程为A2xB2 yC2 zD20(12).A1 xB1 yC1 zD 1( A2 xB2 yC2 zD 2 )0例 1 求直线 l :x 2x yz 1312在平面: 2x3y 3z 80 上的投影直线的方程 。x3y 40解 直线 l 的方程即为，故过 l 的平面束方程为2x3z10x 3y 4( 2x 3z1)0即(1 2 )x3y3 z4 0因为此平面与平面垂直 ，故有(12 ,3, 3 )(2,3,3)115011解得5，于是与 2x3y3z 80垂直的平面方程为22(1) x 3 y33 z1140555即 9x5y11z39x5y11z300，从而所求投影直线方程为2x3y3z805.4 其它（旋转曲面方程）f ( y, z)绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入x 0故绕 z 轴旋转 ， yx2y2 ，得 f (x2y2 , z)0 为旋转曲面方程。22例 1x 2z21绕 x 轴转得x2y2z21 ，绕 z 轴转得x2y2z21 。aca2c 2a 2c2y0例 2 曲线 xx(t ), yy(t ), zz(t) 绕 z 轴旋转，求旋转曲面方程。解 绕 z 轴旋转时， x2y2x2 (t0 )y 2(t0 ) ， zz(t0 ) ， t0t 1 ( z) ，代入上式得x2y2x2 (t 1 (z)y2 (t 1 (z).x例 3求yz绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程。326x2 (t0 ) y2 (t 0 ) ， 令 x解承 上 题 ： x2y2yz t ， x3t ， y 2t ，z 6t3262则 x2y213t 213 z13 z2求直线 l : x636例 41yz 1 在平面: xy2 z 10 上的投影直线 l0 的方程 ，111并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程。xy10解将直线 l 改写为，所以经过l 的平面方程可设为yz10xyz( yz 1)0，即 x (1) yz (1) 0 。由于它与平面垂直 ，故有 1(1)20，解得2 。 于是经过l 且垂直于的平面方程为 xxy2z1 03 y 2z 1 0 。从而 l0 的方程为3y2z 10xx2 y化为参数方程为yyz1 ( y1)2于是 l0 绕 y 轴旋转一周生成的曲面方程为x2z24 y21 ( y 1) 24即4x217 y24z 22y1 0。欢迎您的光临，W文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做金钱、权利的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。.