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第五节第五节“概率与统计概率与统计”大题增分策略大题增分策略概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键：一是能概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键：一是能读懂、理解陈述的材料，深刻理解题意，将文字语言转化为数学语言；二是能将转化后的数读懂、理解陈述的材料，深刻理解题意，将文字语言转化为数学语言；二是能将转化后的数学语言构建为数学模型，化新情景问题为已学知识，找到解题突破口；三是还需具备快速准学语言构建为数学模型，化新情景问题为已学知识，找到解题突破口；三是还需具备快速准确的计算能力，具备足够的心理定力确的计算能力，具备足够的心理定力.为突破为突破“概率与统计概率与统计”这一高考大题，本节将分设两课这一高考大题，本节将分设两课时给予突破时给予突破：第一课时第一课时解题能力解题能力“过三关过三关”(从必备技能上给予指导从必备技能上给予指导)；第二课时第二课时高考高考命题命题“三交汇三交汇”(从考查题型上给予点拨从考查题型上给予点拨).第一课时第一课时解题能力解题能力“过三关过三关”(审答怎么办审答怎么办)文字关文字关抓关键语句，破干扰信息抓关键语句，破干扰信息例例 1调查表明调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设城市建设、物价与收入物价与收入的满意度有极强的相关性的满意度有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为现将这三项的满意度指标分别记为 x，y，z，并对它们进行量化：，并对它们进行量化：0表示不满意，表示不满意，1 表示基本满意，表示基本满意，2 表示满意表示满意.再用综合指标再用综合指标xyz 的值评定居民对城市的的值评定居民对城市的居住满意度等级：若居住满意度等级：若4，则居住满意度为一级；若，则居住满意度为一级；若 23，则居住满意度为二级；，则居住满意度为二级；若若01，则居住满意度为三级，则居住满意度为三级.为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取市居民中随机抽取 10 人进行调查，得到如下结果：人进行调查，得到如下结果：人员编号人员编号12345(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)人员编号人员编号678910(x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在这在这 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人，求这人，求这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 相同的概率；相同的概率；(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为 m，从居住满意度不是一，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为级的被调查者中任取一人，其综合指标为 n，记随机变量，记随机变量 Xmn，求随机变量，求随机变量 X 的分布列的分布列及其数学期望及其数学期望.解解(1)记事件记事件 A 为为“从从 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人人， 这这 2 人的居住满意度指标人的居住满意度指标 z 相同相同”，则居住满意度指标则居住满意度指标 z 为为 0 的只有编号为的只有编号为 9 的的 1 名；居住满意度指标名；居住满意度指标 z 为为 1 的编号有的编号有 2,4,5,7,10共共 5 名；居住满意度指标名；居住满意度指标 z 为为 2 的编号有的编号有 1,3,6,8 共共 4 名名.从从 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人人，所有可能的结果为所有可能的结果为 C21045(种种)，这这 2 人的居住满意度指人的居住满意度指标标z 相同的结果为相同的结果为 C25C2410616(种种)，所以在这所以在这 10 名被调查者中任取名被调查者中任取 2 人人，这这 2 人的居住人的居住满意度指标满意度指标 z 相同的概率为相同的概率为 P(A)1645.(2)计算计算 10 名被调查者的综合指标，可列下表：名被调查者的综合指标，可列下表：人员编号人员编号12345678910综合指标综合指标4462453513其中居住满意度为一级的编号有其中居住满意度为一级的编号有 1,2,3,5,6,8 共共 6 名，则名，则 m 的值可能为的值可能为 4,5,6；居住满意度；居住满意度不是一级的编号有不是一级的编号有 4,7,9,10 共共 4 名，则名，则 n 的值可能为的值可能为 1,2,3，所以随机变量，所以随机变量 X 所有可能的取值所有可能的取值为为 1,2,3,4,5.P(X1)C13C12C16C1414，P(X2)C13C11C12C12C16C14724，P(X3)C13C11C12C11C11C12C16C14724，P(X4)C11C11C12C11C16C1418，P(X5)C11C11C16C14124，所以随机变量所以随机变量 X 的分布列为的分布列为X12345P1472472418124E(X)1142724372441851242912.关键点拨关键点拨本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解快速了解“无关信息无关信息”(如本例第一句话如本例第一句话)；(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母如本例字母 x，y，z，所指什么所指什么)；(3)明确题目所求内容明确题目所求内容.图表关图表关会转换信息，建解题模型会转换信息，建解题模型例例2(2019石家庄质检石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普若普通通6座以下私家车座以下私家车投保交强险第一年的费用投保交强险第一年的费用(基准保费基准保费)统一为统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动因素浮动比率浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮下浮 10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮下浮 20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮下浮 30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮上浮 10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮上浮 30%某机构为了研究某一品牌普通某机构为了研究某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况座以下私家车的投保情况，随机抽取了随机抽取了 60 辆车龄已满三辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型类型A1A2A3A4A5A6数量数量105520155以这以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：(1)按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，a950.记记 X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求求 X 的分布列与数学期望的分布列与数学期望；(数学期望值数学期望值保留到个位数字保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损假设购进一辆事故车亏损 5 000 元，一辆非事故车盈利元，一辆非事故车盈利 10 000 元：元：若该销售商购进三辆若该销售商购进三辆(车龄已满三年车龄已满三年)该品牌二手车该品牌二手车， 求这三辆车中至多有一辆事故车的求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；概率；若该销售商一次购进若该销售商一次购进 100 辆辆(车龄已满三年车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值该品牌二手车，求他获得利润的期望值.解解(1)由题意可知，由题意可知，X 的可能取值为的可能取值为 0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.由统计数据可知：由统计数据可知：P(X0.9a)16，P(X0.8a)112，P(X0.7a)112，P(Xa)13，P(X1.1a)14，P(X1.3a)112.所以所以 X 的分布列为的分布列为X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP161121121314112所以所以 E(X) 0.9a16 0.8a1120.7a112a131.1a141.3a11211.9a1211 30512942.(2)由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13， 三辆车三辆车中至多有一辆事故车的概率为中至多有一辆事故车的概率为 P1133C13132322027.设设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为的可能取值为5 000,10 000.所以所以 Y 的分布列为的分布列为Y5 00010 000P1323所以所以 E(Y)(5 000)1310 000235 000，所以该销售商一次购进所以该销售商一次购进 100 辆辆(车龄已满三车龄已满三年年)该品牌的二手车获得利润的期望值为该品牌的二手车获得利润的期望值为 100E(Y)500 000 元元.关键点拨关键点拨概率与统计问题的考查离不开图表概率与统计问题的考查离不开图表(频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等)，解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题.计算关计算关重计算能力，防不慎失分重计算能力，防不慎失分例例 3某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的 1 000 名男生和名男生和 800 名女名女生中按分层抽样的方法抽取生中按分层抽样的方法抽取 45 名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课将学生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：余参加体育锻炼时间的情况分三类：A 类类(课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过超过 3 小时小时)， B 类类(课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 3 小时小时)， C 类类(课课余不参加体育锻炼余不参加体育锻炼)，调查结果如表：，调查结果如表：A 类类B 类类C 类类男生男生18x3女生女生810y(1)求出表中求出表中 x，y 的值；的值；(2)根据表格统计数据根据表格统计数据，完成下面的列联表完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过 3 小时与性别有关小时与性别有关.男生男生女生女生总计总计A 类类B 类和类和 C 类类总计总计(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选取三人中男女都有且男生比女生多的概率取三人中男女都有且男生比女生多的概率.附：附：K2n adbc 2 ab cd ac bd ，其中，其中 nabcd.P(K2k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解解(1)由题意，由题意，21x18y54，21x18y45，x4，y2.(2)22 列联表如下所示：列联表如下所示：男生男生女生女生总计总计A 类类18826B 类和类和 C 类类71219总计总计252045K245 181278 2252026194.6643.841，能在犯错误的概率不超过能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过炼的时间超过 3 小时与性别有关小时与性别有关.(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取 3 人进一步了解情况，人进一步了解情况，有有C3510 种情况种情况，选取三人中男女都有且男生比女生多选取三人中男女都有且男生比女生多，有有 C23C126 种情况种情况，故所求概率为故所求概率为6100.6.关键点拨关键点拨(1)本例在计算本例在计算 K2的值时应仔细的值时应仔细，计算中易出错计算中易出错，要明确公式中要明确公式中 n，a，b，c，d 所表示的所表示的值值.(2)利用最小二乘法求利用最小二乘法求“b”时，应注意避免计算出错时，应注意避免计算出错.
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