集合中需要注意的几个问题

集合中需要注意的几个问题作为高中数学的基础知识 ,集合概念抽象 ,符号术语多 . 进入高中 ,学习数学的第一课 ,就是集合 .对于初学集合的同学来说 ,常常因为概念不清晰 ,理解不透彻 ,解题思路不严谨 ,造成不必要的错误 ,形成思维障碍 ,甚至影响整个高中数学的学习.本文主要探讨集合学习中需要注意的几个问题 ,仅供大家参考 .一、注意弄清集合元素的类型 ,学会运用元素分析法审视集合的有关问题在集合学习时 ,较多遇到的集合都是数集 ,比较少见的还有点的集合、图形的集合等等 ,有时即使是数集 ,其含义也在很多时候是不同的 .例 1 比较下列集合的异同 ,说出下列集合的元素类型 .(1)x|y=x2+1 (2)y|y=x2+1(3)(x,y)|y)=x2+1(4)y=x2+1分析 此类问题主要抓住元素的属性 ,以及集合的表示方法之间的异同点 .不少同学会认为 (1)与 (2)是相同的 ,没注意它们的元素一个是 x,另一个是 y,还有就是将 (4)的元素看成 y,而不是方程 .解析 (1)自变量的取值范围 ,(2)函数值的取值范围 .(3)抛物线上的点组成的集合 ,是点集 .(4)一个方程组成的集合 ,只含有一个元素 .为了帮助大家加深理解,给出下面的变式:变式 1 集合 M=y|y=x2,x R,N=y|y=2-|x|,x R,则 M N=( )A. (-1,1) B. (-1,1),(1,1)C. y|0 y 2D. y|y 0分析不少同学会由y=x2,y=2-|x|, 解得 x=-1,y=1,或x=1,y=1,错选B.错误的原因就是没有抓住代表元素的属性,我们注意到两个集合中的元素y 都是各自函数的函数值,因此,MN是y=x2和y=2-|x|这两个函数的值域的交集,而不是它们的交点.解析由于 M= y|y 0,N= y|y 2,所以 M N=y|0 y 2,选 C.二、准确地判断集合之间的关系 ,通过对研究对象的分析解决具体问题集合关系是从整体上研究问题的一种思想方法 ,初中阶段对个体 (具体的数 )间的相互关系研究的较多 ,对整体研究的较少 .因此集合关系的研究也是易出错或学习困难的.例 2 集合 A=x|x=2k,k N*,B=x|x=4k,k N*, 试确定集合A与B的关系.分析很多同学都会得AB,因为只从数4 是 2 的倍数关系就想到 AB,并且这种思维方式是带有普遍性的,也很容易导致错误 .我们可把集合所表示的数列举出部分,也可从“集合A表示的哪一类数 ,集合 B 表示又是哪一类数 ,这两类数之间又有什么关系”角度出发 ,从大范围、大角度下手 ,从而轻松地解决问题 .解析 法一 :从个体出发 ,将这两个集合的元素一一列出 , 再引导他们观察 ;法二 :整体把握 ,集合 A 是表示 2 的倍数 ,集合 B 是表示 4 的倍数 ,抓住“ 4 的倍数都包含在 2 的倍数中” .答案:BA.此类题都要求准确确定集合元素 ,从具体的元素关系得出集合间关系 .这类问题难度还可提高 ,只要适当变化形式题型较多 ,在历年高考中都非常重视此类题型 .变式 2 设集合 M=x|x=+,k Z,N=x|x=+,k Z,则 ()A. M=N B. MN C.MN D. M N=分析 本题是一道高考题 ,根据例 2 的思考角度 ,可从两个方面着眼 ,相比较而言 ,从宏观角度出发 ,对培养我们的整体思维以及对快速解决问题都有利 .解析 对集合变形整理 ,得 M=x|x=,k Z,N=x|x=,k Z, 由于 k+2 表示所有整数 ,2k+1 表示奇数 ,因此 MN , 选 C.三、重视空集的特殊性,防止由于忽视空集这一特殊情况导致的解题失误集合关系中有许多问题会考虑到一个特殊的集合-空集 ,而它往往容易被大多数同学忽略.例 3 若 A=x|x2+x-6=0,B=x|mx+1=0,m R,且 AB,求 m能取的一切值 .分析 本题本质是研究集合 A、B 包含关系 ,需要分别解两个方程 ,所以大多数同学想当然的由集合 B 解出 x=-,这样做只想到 m0 时的情况 ,而对 m=0 时 B=也符合条件忽略掉了 ,造成错误 .解析当 m=0 时 ,B=,符合题意 ;当 m 0 时,由 A 解得 x=2或-3,再由 B 得 x=-,所以 m=-或.四、关注形式定义问题,培养新的问题情景下知识的迁移、创新能力集合中有一类型的题是形式定义给出条件的,由于初中没有接触过这类问题,不少同学遇到此类问题时经常是束手无策 ,又或者容易做错.例 4 设 S=x|x=m+n,m,n Z,(1)若 a Z,证明 a S;(2)若 x1S,x2 S,试判断 x1+x2、 x1x2 与 S 的关系 .分析因为在初中学习中没有遇到这种利用形式定义来求解的类似文题,所以大多数同学难于理解此题的题意.实际上让同学正确理解集合S 的含义是关键 :只要能写成一个整数加上另一个整数与的积的形式,则这个数就是S 的元素 .让同学自己试着写出集合S 的几个元素 ,从具体元素体会其特点,再回一般问题的研究.解析(1)若 a Z,则 a=a+0. a,0 Z, a S;(2)若 x1S,x2 S,则 x1=m1+n1(其中 m1,n1 Z),x2=m2+n2(其中 m1,n1 Z),x1+x2=m1+n1+m2+n2=m1+m2+n1+n2=(m1+m2)+(n1+n2).显然 :(m1+ m2) Z,(n1+n2) Z,故 x1 +x2 S.类似可证明x1x2 S(请同学们去完成),此类问题同学们掌握好对后期学习复数及在高考中遇到新定义类题是很有作用的 .变式 3 中学数学中存在许多关系 ,比如“相等关系” 、“平行关系”等等 .如果集合 A 中元素之间的一个关系“ -”满足以下三个条件 :(1)自反性 :对于任意 aA,都有 a-a;(2)对称性 :对于 a,bA,若 a-b,则有 b-a;(3)传递性 :对于 a,b,cA,若 a-b,b-c,则有 a-c.则称“ -”是集合 A 的一个等价关系 .例如 :“数的相等”是等价关系 ,而“直线的平行”不是等价关系 (自反性不成立 ). 请你再列出三个等价关系 : .分析本题将所学知识迁移到集合,在集合中新定义一个关系“ -” ,只需很好地理解关系所满足的三个条件,联系课本所学的知识做出解答,这正是“学于课本,用于课本” .解析答案不唯一 ,如“图形的全等” “图形的相似” “非零向量的共线” “命题的充要条件”等等.这种题型对培养同学们的迁移、创新能力是有一定作用的.同学们在遇到此类问题时尽量理解透彻 ,不要等以后再加强.一般我们在了解高考要求的前题下 ,在相关讲解时努力用高的标准来要求 ,这也体现了突出重点 .五、体会集合中蕴含的数学思想 ,掌握解决集合问题的基本规律布鲁纳说过 ,掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆,领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路” .集合单元中,含有丰富的数学思想内容 ,例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反及运动变化的思想等等.例 5 已知集合 M=x|-1 x2 或 a=2,则 M N 是空集 ,不符合题意 ;如果 a