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1 1I题源探究黄金母题【例1】已知，与的夹角为，求【解析】II考场精彩真题回放【例2】 【20xx浙江高考卷】已知向量，若对任意单位向量，均有 ，则的最大值是_【答案】【解析】，则，即最大值为【例3】（天津高考理）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）ABCD【答案】B【例4】 【天津高考理】在等腰梯形中,已知，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为_【答案】【解析】因为，所以，则，所以，当且仅当，即时的最小值为【例5】【20xx广东高考卷文】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（）ABCD【答案】D【例6】【20xx山东高考卷理】在中，已知，当时，的面积为_.【答案】【解析】由得，所以，精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第105页例3【母题评析】本题中是利用两个已知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两个新向量的数量积，求解时通常直接利用数量积公式可直接解决高考命题常常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向量的数量积【思路方法】求由两个已知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的数量积，通常利用乘法法则展开，然后利用两个已知向量模与夹角进行求解【命题意图】本类题主要考查平面向量数量积的求法【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中【难点中心】（1）平面向量的数量积公式有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（2）在平面几何图中进行向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个向量的模及夹角是已知的III理论基础解题原理考点一向量数量积的定义及运算公式已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即，其中为与的夹角规定：零向量与任意向量的数量积为0数量积的坐标形式：若向量，则考点二向量的投影叫做向量在方向上（在方向上）的投影考点三向量数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积考点四数量积的性质（1）（2）当与同向时，；当与反向时，特别地或（3）【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇【技能方法】（1）求已知两个向量的数量积，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据向量数量积的大小或关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量数量积公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为两步：简化向量的表达式；利用向量夹角公式建立方程（组）；解方程（组）求得参数；（3）求向量的投影通常可利用数量积的变形公式，即向量在方向的投影为【易错指导】（1）正确理解向量的数量积，注意它与普通乘法的区别；（2）确定数量积中向量的夹角时必须注意向量的方向，易错误确定为夹角的补角；（3）利用平面向量的数量积公式的变形公式时，易错误认为向量在方向的投影为V举一反三触类旁通考向1求向量的数量积【例1】【20xx重庆市巴蜀中学第三次月考】已知中，所在平面内一点满足：，则（）A B C D【答案】A【归纳总结】求两个向量的数量积主要有三种题型：（1）求给出坐标的两个向量的数量积，利用公式求解；（2）求非坐标形式的两个向量的数量积，利用公式求解；（3）在平面几何图求向量向量的数量积，有两种策略：选择基底，将所求向量利用基底表示，然后利用公式求解；建立平面直角坐标系，将向量利用坐标表示出来，然后利用公式求解【跟踪训练】已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（）A4B-3CD-2【答案】D【解析】由已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则，即，所以或，故选D考向2根据平面向量的数量积求解参数问题【例2】【20xx湖北黄冈中学高三5月一模】已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为_【答案】【名师点睛】根据向量的夹角求相关参数的值或取值范围，无论是坐标形式的向量还是非坐标形式的向量夹角，都必须要建立方程（组）来解决考向3求数量积的最值或取值范围【例3】【20xx成都七中高三下三练】已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】建立坐标系如图所示，设，其中，易知，而若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.【方法归纳】求平面向量的数量积的最值或取值范围通常有如下途径：（1）根据条件建立函数，通常求函数的最值来解决，而建立函数时有时可通过建立坐标系来处理；（2）如果条件中的向量具有几何意义，可转化为平面几何问题，利用图形的直观性来解决【跟踪训练】在等腰直角中，为边上的两个动点，且满足 ，则的取值范围为_【答案】【解析】建立直角坐标系，设，则利用可设，其中，那么，则.考向3利用平面向量的数量积求向量的投影【例3】【20xx湖北襄阳五中高三5月高考模拟一】若向量满足，则在方向上投影的最大值为（ ）A B C D【答案】B【技巧点拨】求向量在上的投影主要有两种途径：（1）利用公式求解；（2）根据向量的数量积公式的变形公式求解，即考向4平面向量的数量积与三角函数的交汇【例4】【20xx江西南昌市八一中学等高三上期末联考】已知三点的坐标分别是，若，则=_.【答案】 【解析】由题，又，得，化简的得：，则 又，得【例5】【20xx河北衡水中学二调】已知、分别为的三边、所对的角，向量，且（1）求角的大小；（2）若，成等差数列，且，求边的长【答案】（1）；（2）【规律总结】平面向量的数量积与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的数量积大小或范围，求解三角函数问题或向量问题等解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量数量积公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量数量积公式求解考向5平面向量的数量积与函数的交汇【例6】【20xx福建上杭县一中高三12月考】已知函数的图象是开口向下的抛物线，且对任意，都有，若向量，则满足不等式的实数的取值范围_【答案】或.【解析】，从条件“对任意，都有”得到抛物线的对称轴为，结合图象，即利用绝对值的定义去掉绝对值符号，得或，解得或【方法点睛】（1）本题关键是先根据，找出抛物线的对称轴，结合开口向下利用抛物线的对称性去掉，把抽象不等式转化为具体的绝对值不等式；（2）解绝对值不等式时，利用绝对值定义去掉绝对值符号，转化为对数不等式；（3）解对数不等式时要注意限制真数大于零，化同底，根据对数函数的单调性转化为不等式组求解考向6平面向量的数量积与解析几何的交汇【例7】【20xx山东实验中学高三一模】已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（）A1B0CD【答案】A【解析】由题意得，即为，其中为圆外点到圆心的距离，为半径，以内当取最小值时，的取值最小，可知的最小值为，故的最小值，故选A【例8】【福建省厦门市高三5月月考】已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】设,因,且,故，所以， ，故选B【名师指引】因为解析几何中曲线上的点是利用坐标表示的，这与向量的坐标运算完全融合在一起，因此圆锥曲线中的数量积问题与平面向量中的数量积问题也有紧密联系解答此类题主要是抓住向量的坐标表示及坐标间的关系，有时与韦达定理结合来处理
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