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第23章知识升华一、知识网络二、典例分析1、分类讨论题例1、在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且，则BCA的度数为_.解析：（1）当高AD在ABC内时，如图1. ，又ADBCDA，ADBCDA，BADACD.CADACD90，CADBAD90.B25，BCA65.（2）当高AD在ABC外时，如图2.同理可证ADBCDA，ABDCAD25，ACD65，BCA180ACD115.说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.2、新定义图形题例2定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：（1）如图3，已知ABC中C90，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由. （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为.若DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当n1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）.解析：（1）如图5，过点C作CDAB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线.理由：BB，CDBACB90，BCDACB.（2）DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，.当时，当n6时，当n7时，.当n6时，.说明：这道题的求解过程反映了标准所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.3、网格证明题例3如图6，在44的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：ABC_，BC_；（2）判断ABC与DEF是否相似，并证明你的结论.解析：（1）ABC135，；（2）能判断ABC与DEF相似（或ABCDEF），这是因为ABCDEF135，ABCDEF.说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.4、情景应用题例4、如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且ABCD900米，ADBC1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？解析：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路.如图8所示.（2）（米），（米）.ABECFE，得，（米），BHECFE，得， （米）.ABEDGA， （米）所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）.说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.5、运动变化题例5如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着ABC的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？解析：（1）由阳光与影子的性质可知DEAC，BDEBAC，BEDBCABDEBAC， ，.（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是.说明：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置.6、作图说理题例6、小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明.（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明. 解析：（1）小胖的话不对.小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面. OPBC，ACBC，OBPABC，OBPABC，.又此跷跷板是标准跷跷板，BOOA，而AC1米，得OP0.5米.若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a0），如图10-2所示，BDa米，AEa米，即DOOE.，同理可得DOPDEF，由OP0.5米，得EF1米.综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高.（2）方案一：保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半.使，则.由BOPBEF，得，EF1.25米.方案二：如图10-3所示，只将支架升高0.125米.，又米，米说明：本题为探究结论型开放题.第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化.第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比.它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视.7、计算求值题例7、 若，则 解析：根据已知条件，可用设k法，把x，y，z都用k表示，就可算出比值设x2k，y3k，z4k，则【说明】设k法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用k来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法8、 开放性问题例8、如图11，在RTABC中，为直角，于点，BC3，AB5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比 _ 图11解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有ABCACDCBD)，如选ABCCBD，则AB，BC为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为25：9 【说明】本题考查相似三角形的判定和性质图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系9、学科间综合题例9、如图12，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB12米，BP18米，PD12米，那么该古城墙的高度是( )A6米 B 8米 C18米 D24米图12解析：要求古城墙CD的高度，就要列出有关CD的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出ABPCDP，从而得，解得CD8米【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合10、探究说理题例10、在等边ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且BPF60 (1)如图13-1，写出图中所有与BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；(2)若直线向右平移到图13-2、图13-3的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；(3)探究：如图13-1，当BD满足什么条件时(其它条件不变)，？请写出探究结果，并说明理由(说明：结论中不得含有未标识的字母)解析：(1) (2)根据已知BPF60以及等边三角形中60的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与BPF相似的三角形；(3)探索成立的条件，可考虑30角所对的直角边与斜边的关系，故猜测为的平分线(1)，以为例，证明如下：BPFEBF60，(2)均成立，均为，(3)当平分时，证明：BD平分ABC，ABPPBF30BPF60，BFP90又B EF603030ABP，BPEP【说明】这是一个开放性问题, 既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，复习时要注意多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思11、方案设计题例11、有一块直角三角形木板如图14-1所示，已知C90，AB5cm，BC3cm，AC4cm根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长图14-2图14-3图14-1解析：要在RtABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图14-2和14-3，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在ABC的边上)方案一：如图14-2，作CMAB于M，交DE于N设正方形边长为xcm由得,DEAB，CDECAB，即：方案二：如图14-3，设正方形边长为y cm EFAC， BFEBCA 即 xy ， 方案二裁出的正方形的面积最大这时正方形的边长是cm【说明】解决实际应用问题，探究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的第23章章末测试题一、选择题：1、已知ABCDEF，且AB：DE=12，则ABC的面积与DEF的面积之比为（ ）A.12 B.14 C.21 D.412、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1个 B可以有2个 C有2个以上但有限 D有无数个3、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm4、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A，若OA=0.2米，OB=40米，AA=0.0015米，则小明射击到的点B偏离目标点B的长度BB为 （ ）A3米 B0.3米 C0.03米 D0.2米5、如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm26、在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为（ ）A9.5B10.5 C11D15.57、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）8、语句：“所有度数相等的角都相似；所有角相等的菱形都相似；所有的正方形都相似；所有的圆都相似”中准确的有（ ）A.4句 B.3句 C.2句 D.1句备用：1.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，连结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是（ ）A.2 B.5.6 C.12 D.上述各值都有可能答案：D2.D、E分别是ABC中边AB、AC上的点，若DEBC，且，则ADDB=（ ）A. 11 B.1 C. D. 答案：D二、填空题：9、如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49则ABC的面积是 10、如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE、BD，交于点O，如果已知ADE的面积是6，试写出能求出的图形面积 （要求写出四个以上图形的面积）.11、有一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30，OC=OD=50，现要求桌面离地面的高度为40，那么两条桌腿的张角COD的大小应为 .12、阳光通过窗口AB照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区ED，如图，已知亮区一边到窗下墙角的距离CE=8米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC= .13、下面这些三角形中，选出相似的三角形 14、如图，在ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使ACPABC的条件是 15、如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米16、将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 17、如图，在88的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与OAB的位似比_18、升旗仪式上，小明通过建立直角坐标系发现旗杆底端的位置在点A（3，1），顶端在点B（3，10），升旗前旗的三个顶点的位置分别在点P（3，2）、Q（3，3）、R（5，2），写出当旗的顶端Q升到旗杆的顶部B处时，点P和点R对应点的坐标分别为 .三、解答题：19、如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法20、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高21、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为多少时，DAP与PBC相似，并说明你的理由22、如图，点C、D在线段AB上，且PCD是等边三角形 (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ACPPDB； (2)当PDBACP时，试求APB的度数23、已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.24、如图，有两个动点分别从正方形的两个顶点同时出发，以相同速度分别沿边和移动，问：（1）在移动过程中，与的位置和大小有何关系？并给予证明（2）若和相交点，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来25、如图：已知A（0，2），B（2，1），C（3，2）.（1）求线段AB、BC、AC的长.（2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A、B、C的坐标,求AB、BC、AC的长.（3）ABC与ABC的形状相同吗？（4）ABC与ABC是位似图形吗?若是,请指出位似中心和位似比26、已知：ABC中，AB=10（1）如图，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长；（2）如图，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；（3）如图，若点A1，A2，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，B10根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+A10B10的结果27、如图，在水平桌面上的两个“”，当点，在一条直线上时，在点处用号“”测得的视力与用号“”测得的视力相同（1）图中，满足怎样的关系式？（2）若cm，cm，号“E”的测试距离m，要使测得的视力相同，则号“E”的测试距离应为多少？28、某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离.实验工具：3米长的卷尺；铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长。实验数据：线段ABCDADEFBF长度(米)2.510.81.20.6问：根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米)；参考答案一、选择题：18、BBABCDAB二、填空题：9、答案：144;10、如，以及相互组合成的图形的面积.11、答案：12012、答案：3米13、答案：、相似，、相似，、相似14、答案：ACPB或APCACB或15、答案：116、答案：或2;17、需根据图形,位似比可为11或21.18、（3，9）、（5，9）三、解答题：19、解：方法一：过点D作DEBC交BC边于E点，则由，且A=A ，可知ADEAC B.方法二：作ADE=ABC交AB边于E点，又有A=A，可知ADEA BC.方法三：过点D作DEAB交BC边于E点，则由，且C=C ，可知CDECA B.方法四：作CDE=B交BC边于E点，又有C=C，可知CDECBA.20、解 ，又，又厘米米，厘米米，米，米即电线杆的高为6米21、设AP=x，则BP=6-x ADBC，B=90，A=90，A=B.(1)当时，APDBPC ， ，x=.(2)当时，APDBCP，x=2，或x=4，所求的AP长为，2，或4 22、(1)ACD为等边三角形 PC=CD=PD,PCD=PDC=CPD=60 PCA=PDB=120，当时,ACPPDB CD2=ACDB(2)ACPPDB， BPD=A .APC+BPD=APC+A=PCD=60，APB=(APC+BPD)+CPD=60+60=12023、解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，DC900，由RtADPRtQCP或RtADPRtPCQ得：或，由此解得：CQ1或CQ，从而或，故当或时，ADP与QCP.24、解：（1）在正方形中，（SAS）.，.在中，.（2）有5对相似三角形：25、(1)(2)A(0,-4)、B(-4,2)、C(6,4)，.（3） ， ABC 即此两个三角形相似. (4) ABC与ABC是位似图形,位似中心为点O,位似比为26、（1）依据三角形中位线定理，有DE=AB=5（2）设A1B1=x，则A2B2=2xA1，A2是AC的三等分点，且A1B1A2B2AB由梯形中位线定理，有x+10=4x，解之得x=这时A1B1+A2B2=10（3）同理，可求出A1B1+A2B2+A3B3=15，A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，从而A1B1+A2B2+A10B10=5027、(1)由相似的性质可知b1b2=l1l2即b1l2=b2l1 (2)把数据代入上式即可求得 (m)28、解：（1）过作,垂足为,则,.答：支架顶端P到地面的距离为8.3米.
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