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技法强化训练技法强化训练( (二二) )数形结合思想数形结合思想(对应学生用书第 160 页)题组 1利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()【导学号：68334011】A1B2C3D4B Ba0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21 的图象总有 2 个交点2已知函数f(x)|log2|x|12x，则下列结论正确的是()Af(x)有三个零点，且所有零点之积大于1Bf(x)有三个零点，且所有零点之积小于1Cf(x)有四个零点，且所有零点之积大于 1Df(x)有四个零点，且所有零点之积小于 1A A在同一坐标系中分别作出f1(x)|log2|x|与f2(x)12x的图象，如图所示，由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x1，x2，x3，因为f12 0，f140，所以12x114，同理12x21,1x32，即1x1x2x318，即所有零点之积大于1.3设函数f(x)的定义域为 R R，f(x)f(x)，f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)x3，则函数g(x)|cos(x)|f(x)在12，52 上的所有零点的和为()A7B6C3D2A A函数g(x)|cos(x)|f(x)在12，52 上的零点为函数h(x)|cos(x)|与函数f(x)的交点的横坐标因为f(x)f(x)，f(x)f(2x)，所以函数f(x)为关于x1 对称的偶函数，又因为当x0,1时，f(x)x3，则在平面直角坐标系内画出函数h(x)|cos(x)|与函数f(x)在12，52 内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有 7 个交点，不妨设从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则由图易得x1x20，x3x52，x41，x6x74，所以x1x2x3x4x5x6x77，即函数g(x)|cos(x)|f(x)在12，52 上的零点的和为 7，故选 A.4若函数f(x)asinx在，2上有且只有一个零点，则实数a_.【导学号：68334012】1 1函数f(x)asinx在，2上有且只有一个零点，即方程asinx0 在， 2上只有一解， 即函数ya与ysinx，x，2的图象只有一个交点，由图象可得a1.5 已知函数f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数b， 使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_(，0 0)(1 1，)函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0 有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a0，则当xa时，f(x)x3，函数单调递增；当xa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点若 0a1，则a3a2，函数f(x)在 R R 上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点若a1，则a3a2，函数f(x)在 R R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a0 或a1.题组 2利用数形结合思想求解不等式或参数范围6若不等式 logaxsin 2x(a0，a1)对任意x0，4 都成立，则a的取值范围为()A.0，4B.4，1C.4，2D(0,1)A A记y1logax(a0，a1)，y2sin 2x，原不等式即为y1y2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y1logax的图象过点A4，1时，a4，所以当4a1 时，对任意x0，4 都有y1y2.7函数f(x)是定义域为x|x0的奇函数，且f(1)1，f(x)为f(x)的导函数，当x0 时，f(x)xf(x)1x，则不等式xf(x)1ln|x|的解集是()【导学号：68334013】A(，1)(1，)B(，1)C(1，)D(1,1)A A令g(x)xf(x)ln|x|，则g(x)是偶函数，且当x0 时，g(x)f(x)xf(x)1x0，g(x)在(0，)上单调递增故不等式xf(x)1ln|x|g(|x|)g(1)，|x|1，解得x1 或x1.故选 A.8若不等式|x2a|12xa1 对xR R 恒成立，则a的取值范围是_，1 12 2作出y|x2a|和y12xa1 的简图，依题意知应有2a22a，故a12.9已知函数f(x)|lgx|，0 x10，12x6，x10.若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_(10,1210,12)作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lgalgb12c6.lgalgb0，ab1，abcc.由图知 10c12，abc(10,12)10(20 xx杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f(x)2cos2x，|x|1，x21，|x|1，若|f(x)f(xl)2|f(x)f(xl)|2(l0)对任意实数x都成立，则l的最小值为_. 【导学号：68334014】2 2 3 3作出函数f(x)的图象如图，要使原不等式对任意实数x都成立，由不等式|a|b|ab|得|f(x)f(xl)2|f(x)f(xl)|f(x)f(xl)2f(x)f(xl)|2，化简得|2fx2|2，|2fxl2|2，即fx2，fxl2对任意实数恒成立，当x3时，f( 3l)2，l0，则l 3 3，l2 3，故l的最小值是 2 3.题组 3利用数形结合解决解析几何问题11已知圆C：(x3)2(y4)21 和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7B6C5D4B B根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|12|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 32425，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为 6.12(20 xx杭州高级中学高三最后一模)已知双曲线C：x2a2y2b21 的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若PAQ3且OQ5OP，则双曲线C的离心率为()【导学号：68334015】A.213B2C.72D3A A由图知APQ是等边三角形，设PQ的中点为H，圆的半径为r，则AHPQ，AH32r，PQr，由题易知，点P，Q在原点O的同侧，因为OQ5OP，所以OP14r，PH12r，即OH14r12r34r，所以 tanHOAAHOH2 33，即ba2 33，b2a2c2a2a243，从而得eca213，故选 A.13已知P是直线l：3x4y80 上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10 的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_2 2 2 2从运动的观点看问题，当动点P沿直线 3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|31418|32423，从而|PA| |PC|2|AC|22 2.所以(S四边形PACB)min212|PA|AC|2 2.14已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 【导学号：68334016】解(1)圆C1的方程x2y26x50 可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3,0).2 分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，则x0 x1x22，y0y1y22.由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为ytx.将上述方程代入圆C1的方程，化简得(1t2)x26x50.5 分由题意，可得3620(1t2)0(*)，x1x261t2，所以x031t2，代入直线l的方程，得y03t1t2.6 分因为x20y2091t229t21t2291t21t2291t23x0，所以x0322y2094.由(*)解得t245，又t20，所以53x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x322y29453x3.8 分(3)由(2)知，曲线C是在区间53，3上的一段圆弧如图，D53，2 53，E53，2 53，F(3,0)，直线L过定点G(4,0).11 分联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.令判别式0，解得k34，由求根公式解得交点的横坐标为xH，I12553，3.13 分由图可知： 要使直线L与曲线C只有一个交点， 则kkDG，kEGkGH，kGI， 即k2 57，2 5734，34 .15 分
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