新编高三数学复习 第6节　正弦定理和余弦定理及其应用

第6节正弦定理和余弦定理及其应用 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、5、8、9、11与三角形面积有关的问题2、4判断三角形的形状3、10实际应用问题7、15综合应用6、12、13、14、16A组一、选择题1.(20xx广东湛江十校联考)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30,C=15,则a等于(A)(A)22(B)23(C)6-2(D)4解析:A=180-30-15=135,由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212,即a=22.故选A.2.(20xx潮州二模)在ABC中,A=3,AB=2,且ABC的面积为32,则边AC的长为(A)(A)1(B)3(C)2(D)2解析:SABC=12ABACsin A=122ACsin3=32,AC=1.故选A.3.(20xx湛江高考测试(二)若三条线段的长分别为3,5,7,则用这三条线段(C)(A)能组成直角三角形(B)能组成锐角三角形(C)能组成钝角三角形(D)不能组成三角形解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够构成三角形,边长为7的边所对的内角的余弦等于32+52-722350,故cos A=12.答案:1210.在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则ABC的形状为.解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0或sin A=sin B.0A、B,A=2或A=B,ABC为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题11.(20xx广东六校第二次质检)如图,四边形ABCD中,AB=5,AD=3,cos A=45,BCD是等边三角形.(1)求四边形ABCD的面积;(2)求sin ABD.解:(1)由题意及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=10,cos A=45,sin A=35.四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=12ABADsin BAD+12BD2sin DBC=9+532.(2)由正弦定理得ADsinABD=BDsinA,sin ABD=ADBDsin A=91050.12.(20xx深圳市二调)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角C的大小;(2)求sin(B+3)的值.解:(1)由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=32+52-72235=-12,0C,C=23.(2)由正弦定理可得bsinB=csinC,sin B=bsinCc=5sin 237=5314,C=23,B为锐角,cos B=1-sin2B=1-(5314)2=1114,sin(B+3)=sin Bcos 3+cos Bsin 3=531412+111432=437.B组13.(高考新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(D)(A)10(B)9(C)8(D)5解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=125,又因为ABC为锐角三角形,所以cos A=15.在ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b615,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故选D.14.在ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且ab,则B=.解析:由ab,得ab=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A0,故cos B=12,因此B=3.答案:315.如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=0.1 km.(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B、D的距离.解:(1)如图所示,在ADC中, DAC=30,ADC=60-DAC=30,CD=AC=0.1 km,又BCD=180-60-60=60,CED=90,CB是CAD底边AD的中垂线,BD=BA.(2)在ABC中,ABC=75-60=15,由正弦定理得ABsinBCA=ACsinABC,AB=0.1sin60sin15=32+620(km),BD=32+620(km).故B、D间的距离是32+620km.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若a=1,c=2,求ABC的面积S.(1)证明:在ABC中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,sin BsinAcosA+sinCcosC=sinAcosAsinCcosC,sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,A+C=-B,sin(A+C)=sin B,sin2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b2=ac,a,b,c成等比数列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=2,cos B=a2+c2-b22ac=12+22-2212=34,0B,sin B=1-cos2B=1-342=74.ABC的面积S=12acsin B=121274=74.